习题课讲义(级数)
丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T 1(n T^
(n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1)
第九讲：无穷级数 一、 常数项级数
1、概念与性质： （1） 数列t u j 中的各项用加号连接的形式： U1+U 2 +■…
□c
+ u n +…=2 U n 称为无穷项
n 二1
数项级数，第n 项称为一般项（通项）。 n oc
数列s n =送U n 称为级数s U n 的前n 项之和 （部分和）
，若n ms n = S ，则称级数
Z U n 的和为S ，级数艺U n 收敛；若lim S n 不存在, n￡ ni F 则称级数 送U n 发散。
n4
oC oC
若级数2 U n 收敛，r n =S-S n 称为级数送U n n 二 n 二 的余项，lim r n =
0。 n _jpc
例1判定下列级数的敛散性: 解：U n =ln 1 中一1 = 1 n (n +1 )-|n n ， V n 丿 S n = In2-In1+In 3- I n2+…+ln (1+n )-lnn =ln (1 + n l 处(n T 处
故S In nd ：
〔1+1 ］发
散; V n 丿
解: U n
□c
故 2(n +1! 收敛;
③调和级数：2 1
；
n# n
n!
(2) 性质:
ii 、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性;
□C OC
推论：送U n 与无U n 同敛散;
n=1
n =N +
边 1
巳― +
[(2k -1 2
(2k 门
1
—Lh . J , I k#(2k-1f 4
+1Q
1 < 1
解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n
+1 )_|n n , n I n 丿 1 1
S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln (n +1)—1 n n = ln (n + 1 □C 1
（n T 处），故级数2 —发散。
n4 n
④几何级数: Z aq
nA
4-q' 发散,
d e q >1
⑤p —级数: ￡1-
n 吕n P (p >0 冶
［收敛，p A 1 改散,p 兰1
i 、设a 、P 为常数,
□c
若送U n
n =1
oC
oC
Z V n 收敛，则送(a U n
n=1
P V n ）也收敛，且
n=3
推论: 比如: □C 2 (a U n + Pv n ) = aZ ni
□c
常数 k H 0 , 2 ku n n z!
证明级数2： 2
发散
心n □C
U n
n 二
□c
与S u n 同敛散;
n=1
处2 处：
因为￡ -与送-同敛散，又
心n 心n
比1 处2 Z 1发散，故级数￡ -发散; nT n 心 n
注意: 至2 处1
处
Z 2
工22 1
, Z
心门 n^n nd ： o ’1 比 1
+丄 Hy 1
+y —
2 厶
厶 2
iii 、收敛级数“加括
号” 则原级数必发散）
后所得的级数仍收敛于原来的和;
（“加括号”后所得的级数发散,
□C
iv 、若级数W U n 收敛，则
n z1
□C 1
则送沪发散。
n4 v n
3C
_
V 、柯西收敛准则：级数 送U n 收敛u VS >0, W N >0，当n>N 时，对任何p>0,
nA
2、正项级数的审敛法
若U n XO ， n =1,2，…，则称级数送U n 为正项级数。
n=1
由Un =Sn-Sn4>0得^Sn ｝单调增加，可知正项级数的收敛准则： 正项级数收敛二 部 分和有
界。
3C
、无V n 为正项级数，且U n 心 当l = +处时，若送U n 收敛，送V n 也收敛；若送V n 发散，送U n 也发散。 n n # n# nH =3￡— 3k4（2k -1 y , 2 4兀 =—X 一 2 兀 ="6 □c lim U n = 0 （若 lim u^0，则 S U n 发散） n 护 n4 比如：由 lim W'n = 1 H 0， 均有Un + +U n 七+…+ U n 卄 +■■■ 3C (1) 比较审敛法：若5： u n n z1 □C oC 当S V n 收敛时，送U n 也收敛; n z1 n z1 □C oc 当送U n 发散时，￡ V n 也发散。 nzi 比较审敛法的极限形式：若 □C n □C S U n 、送 V n 仝 为正项级数，且 n￥ lim 业=丨，则 Y V n □C 当0 <1 < +处时，s U n n =1 □C 与送V n 同敛散; n z1 3C 当 1 = 0时，若 2 Vn 收敛, n z1 3C 2 Un 也收敛; n z1 3C 无u n 发散， nz1 □C 2 Vn 也发散; n z1 (2)比值审敛法(达朗贝尔判别法) :设U n n4 U H 为正项级数，则当d时， Un ￡ U n收 nU 敛；当业1 >1时, U n □C Z Un发散。n z! 比值审敛法的极限形式: 若Z U n nA 为正项级数, U n j1 且lim 上=1，则当0兰I <1时, U Z Un收 nA 敛；当I >1时, oC Z U n nA 发散；当l =1时，无法确 定。 (3)根值审敛法(柯西判别法) □C __ 设S U n为正项级数，则当y u n n=3 n=3 U n收敛; 当V U n >1时, 发 散。 根值审敛法的极限形式: □C 若送U n n 二 为正项级数，且lim n—jpe =I，则当0兰I <1时，2 Un收n 吕 敛；当I >1时，S U n n壬发散；当I =1时，无法确 定。 (4)积分审敛法：若f(X)( X >0 )为非负的不增函数，则 -be Z f(n )与L f(xdx同敛散。nzi (5)拉阿伯审敛法: 若三U n为正项级数，且n mn / U n 、30 -1严，则当小时，汕收 敛；当0<1 <1时, 送U n发散；当I =1时，无法确定。 nrn 3、交错级数及审敛法: □C oC (1)设U n A0 (n =1,2,…)，级数无(-1『U n或2(T广U n称为交错(项)级数。 n=i n zi □C aC (2)莱布尼兹审敛法：若交错级数送(-^U n或送(-1^ U n满足：U n X Un+(n = 1,2；"), n# n# n mu n =0，则该级数收敛。 4、绝对收敛与条件收敛: □C 则称2 Un 条件收敛。 nU 判断下列级数的收敛性 比 1 例 1: "; 例2: h 卫 J n nrn n 处a n 例 3: 2 u(s >0, a >0) 心n a =lim ----- =J Y(n A n s 处1 当a =1时，艺 丄当0<：S<1时，该级数收敛，当 SA1时，该级数发散. s n zt n 处 1 -1,2 arcsin- 心 n .1 arcs in — * 1 ----- =1,又2 -发散乏三收敛，因此 1 心n □C 若2 |Un |收敛，则称 n =1 □C □C oc oc OC Z Un 绝对收敛，此时2 Un 也收敛；若2 Un 发散，但2 Un 收敛, n z1 n4 解:注意到 In n lnn =e lnnlnlnn =n lnlnn ，当 n 充分大时，In In n A 2，即 In n lnn > n 2 ，故 1 _ 1 In n n ，无2 n4 n □c 收敛，因此工 1 1—收敛. I In n (n +1! (n +1F n! n n 1 -n =lim ----------- f y”1 〕 =1 <1,因此原级数收敛. e ,当0 1时，级数发散; 3C 例4:送1 n =1 -cos 1,^ e n n nrn 1 -cos 1 解:因为 lim ------ 2 =1,|jm n Y 1 <1 丫 n 护 1 2 I n 丿 1 e n -1 ,, =1, n 处 1 处1 乞1 —cos —收敛，送e n n2 n n z1 处 1 -1，送 arcsin — 发散. n n z1 □Q f 、n 例5：送n!(X n4 l n 丿 (x >0); 解:lim U ^1 y U n (n F = lim ---- n _)pc n! J+1丿 f 、n X 1 —I I n 丿 X X X =lim ------- =一，当一 < 1即0 n Y< 1 ^n e e 1 +— I I n 丿 敛;当X Ae 时，级数发散； 当 X = e 时 3 U n e 一->1,故级数发散. 3n 解:由于￥<严" 3n <—— 3 ，及 n m n m 曲=鬪 ^^n ^ 1 ~3 <1故级数收敛. 例7迄 p nz2 n ln n （P 二 0） In In X +处 =-Hz; 2 =1, 及当P >1 时， 1 H 1； 当0 < P <1时，I = +处，因此当0兰P <1时，级数发散；当P A 1时，级数 收敛. 例8:Z 丄 n=2 In n! 解：由于 ln n!=l n1+l n2+l n3+…+lr i n < nln n ,即—，级数 2 发散，故 In n! nin n n=2 nln n 原级数也发散.