特殊的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法（一）

特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高）

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；

2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常

数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

要点二、特殊的一元二次方程的解法

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

要点诠释：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

2.因式分解法解一元二次方程

（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、关于一元二次方程的判定

1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．

【答案与解析】

(1)经整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

对任何实数a，它都是一个一元二次方程．

(2)经整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，

当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．

【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．

类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定

2.已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．

【答案与解析】

将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件

m2-8≠0，即 m≠±．

可知它的各项系数分别是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

参数m的取值范围是不等于±的一切实数．

【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．

举一反三：

【变式】关于x 的方程

的一次项系数是-1，则a .

【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.

类型三、一元二次方程的解（根）

3.已知m ，n 是方程2210x x --=的两根，且(7m 2-14m+a)(3n 2-6n-7)＝8，则a 的值等于 ( )

A ．-5

B ．5

C ．-9

D ．9

【答案】C ；

【解析】根据方程根的定义，m ，n 是方程x 2-2x-1＝0的两根，∴ m 2-2m-1＝0，n 2-2n-1＝0．

变形可得：7m 2-14m ＝7，3n 2-6n ＝3．将变形后的式子代入已知等式中可得：(7+a)(3-7)＝8，

解得a ＝-9．

【总结升华】当看到式子很复杂，别着急，注意与已知条件联系，运用根的定义，注意观察已知等式的

特点，将7m 2-14m 与3n 2-6n 看作整体，运用整体代入法求解．

举一反三：

【变式】（1）x=1是的根，则a= .

（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.

【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.

（2）由题意得

类型四、用直接开平方法解一元二次方程

4.解方程(x-3)2=49． 【答案与解析】

把x-3看作一个整体，直接开平方，得

x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得 x=10．

由x-3=-7，得 x=-4．

所以原方程的根为x=10或x=-4．

【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2

=k 的方

程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：

【变式】解方程： (1)(3x+1)2=7； (2) 9x2-24x+16=11.

【答案】(1)解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5

∴3x+1=± (注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=， x2=.

(2)解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=， x2=.

类型五、因式分解法解一元二次方程

5．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0

【答案与解析】

设x+1＝m，2-x＝n，则原方程可变形为：

22

20

m mn n

-+=．

∴ (m-n)2＝0，∴ m＝n，即x+1＝2-x．

∴

121 2

x x

==．

【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：

【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．

【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．

∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．

∴ x 1＝-2 x 2＝3．

6．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．

【答案与解析】

设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．

整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．

∴ z 1＝3，z 2＝-1．

∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)

∴ z ＝3．

即22x y +的值为3．

【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式

分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设22z x y =+再求z 值，从而求出22x y +的值实际就是换元思想的运用．

易错提示:忽视220x y +>，而得223x y +=或221x y +=-．