【考研】河海大学5结构力学全部核心考点讲义
2013河海大学结构力学(I)
基础知识点框架梳理及其解析
第一章体系的几何组成分析
本章需要重点掌握几何不变体系、自由度、刚片、约束等基本概念，重点掌握几何不变体系组成的三规则——两刚片规则，三刚片规则和二元体规则。
一、基本概念
１、几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系。
２、几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系。
３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
４、自由度的概念：
一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有２个自由度。
一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有３个自由度。
５、约束，是能减少体系自由度数的装置。
1）链杆——一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有１个约束。
2）单铰——一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）具有两个约束。
3）单刚结点——一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
6、必要约束：除去该约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束。
多余约束：除去该约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。
7、无多余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不变体系是超静定结构。
一、几何不变体系的简单组成规则
规则一两个刚片之间的连接（两刚片规则）：（图2-3-1）
两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。
规则二三个刚片之间的接（三刚片规则）：
三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。
规则三刚片与点之间的连接（二元体规则）：
二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，不改变体系原有的自由度数。
利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了。
【例题1】：分析图示体系的几何组成。
解答：DF、FE为二元杆，将其去掉并不影响体系的可变性。将其去掉后，ACD 为铰接三角形，视为
刚片Ⅰ，CBE 为刚片Ⅱ，基础视为刚片Ⅲ。三个刚片通过三个不在同一条直线上的三个铰相连，组成没有多余约束的几何不变体系。即原体系为几何不变体系。
【例题2】：分析图示体系的几何组成。
解答：将基础视为刚片Ⅰ，25、35、23三根杆组成铰结三角形，视为刚片Ⅱ，46杆视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ通过两个链杆组成的虚铰相连，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ通过14杆、链杆组成的虚铰相连，刚片Ⅱ与刚片Ⅲ通过24杆、56杆组成的虚铰相连。这样三个刚片通过三个在同一直线上的三个虚铰相连，组成几何瞬变体系，即图示体系为几何瞬变体系。
习题：对下列平面体系进行几何组成分析。 １、 ２、
A C
D B
E
A
B
C
D
E
３、 ４、
A
B
C
D G
E F
A B
C
D
E
F
G
H
K
５、 ６、
第二章 静定结构受力分析
本章包括章跨梁的静定受力分析，多跨静定梁的受力分析，桁架的受力分析，静定刚架的受力分析，静定组合结构的受力分析及静定结构的性质几个部分。要求同学们掌握荷载与内力的关系，叠加原理，主从和附加部分，结点法和截面法等知识点，能熟练地计算各种静定结构的内力。
第一节 单跨静定梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁。 一、截面法求某一指定截面的内力
1、内力的符号规定
①弯矩M ：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力Q ：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正，反之为负。
③轴力N ：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。
2、截面法的步骤
（1）以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支梁、外伸梁） （2）截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力 二、荷载与内力的关系
1、微分关系：
dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy
N
N
N Q
Q
Q
Q
M
M M
M
2、利用荷载和内力关系的几何意义,可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以及突变点和突变值的大小。
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
三、叠加法作弯矩图
1、简支梁的弯矩图叠加法
2、弯矩图叠加的实质
指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。
基线接力法概念。
3、直杆段弯矩图的区段叠加法
直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是：
（1）计算直杆区段两端的最后弯矩值，画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；
（2）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。
四、用“拟简支梁法”绘弯矩图
用“拟简支梁法”绘弯矩图时，先绘出控制截面的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可用直线相连；若有外荷载作用，则以上述直线为基线，再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。
【例题1】: 试绘制图示外伸梁的内力图
解答：
（一）求支座反力：
∑∑∑===00
A
B M M X )(310)(1300↑=↑==KN V KN V H B
A A
校核：∑=?---+=0
64040160310130Y
（二）绘制内力图：
∑∑∑===00
C
M Y X M KN M KN Q N C C C .1301300=+==
第二节 多跨静定梁的受力分析
基本部分： 结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分。
附属部分：结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。
把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的层叠图，可以清楚的看出多跨静定梁所具有的如下特征：
1) 组成顺序：先基本部分，后附属部分；
2) 传力顺序：先附属部分，后基本部分。
由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁。
【例题2】试作图示多跨静定梁的内力图。
多跨静定梁小结
了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。
计算要点：按先附属，后基本的顺序。
习题：作出下列结构的弯矩图
1、2、
40kN40kN
20kN/m
2m
2m2m2m4m
22
P Pa P
a a a
a
a
第三节静定刚架的受力析
一、静定刚架的计算步骤：
（1）计算支座反力（或约束力）；
（2）计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截面内力；
（3）画各内力图。
二、绘制刚架内力图时应注意的问题
1、计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。
2、计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后用截面法计算。
3、计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。
4、绘Q图、N图必须标正、负号；绘M图不标正负号，M图绘在受拉一侧。
5、求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。
注意：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。
通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。
【例题3】试绘制下图所示刚架的弯矩图。
解答：（１）对整体进行分析，对Ａ点取矩，0M ∑=Ａ，40B Y ??=20+302-，。 利用Ｙ方向的平衡，0i ∑=Ｙ，+B ＡＹＹ＝30，
。 （２）取右半边为隔离体，利用Ｃ点弯矩为０,对Ｃ点取矩，0c M ∑=，+0??=ＢＢＹ２Ｘ４，解得0kN Ｂ
Ｘ＝—１（向左）。 （３）对整体进行分析，0i ∑=Ｘ，+B ＡＸＸ＝0，0kN Ａ
Ｘ＝１（向右）。 （４）绘制弯矩图。 习题：作出下列结构的弯矩图
１、 ２、
l
2
ql
3m 3m
10kN
第四节 平面桁架的受力分析
一、理想桁架假定：
1、桁架中的铰为绝对光滑而无磨擦的理想铰；
2、桁架中的各杆件轴线绝对平直，且通过它两端铰中心；
3、桁架上的荷载和支座都在结点上。
理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件（由以上假定提供的可能性及二力平衡原理）。以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆轴力计算。 二、结构单杆与零杆
仅截面取某结点为隔离体，并且结点连接的全部内力未知，对于仅用一个平衡议程就可以求出内力的，
称为结点单杆。利用这个概念，根据荷载状况可判断此杆内力是否为零。零内力杆简称零杆。
求解桁架前先要找出零杆，将零杆去年以简化计算。
三、结点法
依次取桁架中的单个结点为隔离体，由结点的平衡条件计算桁架内力的方法叫结点法。
由于理想桁架的上述假设，汇交于结点的各杆轴力（包括荷载和支座反力）均过铰结点中心。所以，以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力系，只有两个独立的平衡方程。
一般情况下截取结点的原则是：一个结点只能截断两根待求杆件。
四、截面法
计算桁架内力的截面法，是假想用一个截面将桁架的某些杆件切开，使桁架分成两部分，利用任一部分计算被切断杆件的轴力的方法。
显然，由于桁架被切开后的任一部分没有对其所含的结点数的限制，所以截面法所取的隔离体应是平面一般力系。平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程，因此，截面法切断的待求轴力杆件最多是三根。【例题4】用截面法计算图示桁架中杆a、b、c的轴力。
解答：（1）求支座反力
（2）计算杆件轴力
取截面Ⅱ－Ⅱ以左：
∑Fy=0
FNC√2/2+100–80=0
F NC= –28.28kN
取截面Ⅰ－Ⅰ以左：
∑M4=0
Fax×3+100×6–40×3=0
Fax= –160kN
FNa=(Fax/lax)×la= –164.92 kN
Fay=(Fax/la)×lay= –40 kN
∑Fy=0 Fby –Fay+40–100=0
Fby=20 kN
FNb=(Fby/lby)×lb=33.33kN
FNa= –164.92kN, FN =33.33kN, FNc= –28.28 Kn 习题： 计算图示桁架中杆1、2、3的内力。
a
第三章 静定结构位移计算
本章包括虚功原理，单位荷载法，图乘法，其它外因作用下的位移，互等定理等知识点。其中虚功原理和互等定理只会考小题，需要重点理解。要求会计算外荷载作用下的位移，这就要求熟练掌握单位荷载法和图乘法。其它外因作用下的位移不会考计算，只需了解位移产生的原理。
一、位移的基本概念
结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。
结构的位移通常有两种，如下图：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。
产生位移的原因： (1) 荷载作用；
(2) 温度变化和材料胀缩； (3) 支座的沉降和制造误差。 二、虚功原理的两种表述
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所做的总虚
功，恒等于变形体所接受的总虚变形功。也即有如下虚功方程成立：
e i W W δδ≡
以上为虚位移原理表述，其中有两个状态，位移状态为虚设的，平衡力系为实际状态。虚位移用于求机构的位移，不会考计算题，仅作了解。下面重点讲解虚力原理。
虚力原理：平衡力系为虚设的，而另一种位移状态为真实的，虚设力系在真实位移上做的虚功等于内力在真实位移上做的功。
对于两种状态运用虚力原理可得：
12121K K K K Ka a a a a a K R C R C M ds Q ds N ds κγε??+?+?=?+?+?∑∑∑???
于是得到K
K K Ka a a a a K M
ds Q ds N ds R C κγε?=
?+?+?-?∑∑∑∑???
三、单位荷载法
在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。
单位荷载法由虚力原理推导得到，求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。其步骤如下：
（1）求出在外荷载作于下的内力图.
（2）在所求位移的方向上施加单位力，求出内力图 （3）由下列公式求出所求位移
N Q RK K Md F d F d F c θλη?∑?+∑?+∑?-∑＝
式中，
是结构在集中单位荷载P =1作用下的支反力和内力，它们都可以
有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。
四、荷载作用下位移的计算
荷载作用下（无支座沉降），位移计算的统一公式：
(1) 梁和刚架
由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为
(2) 桁架
桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为
(3) 组合结构
桁粱混合结构中，一些杆件以弯为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为
五、图乘法
根据计算粱和刚架位移的公式：
为避免微分运算，以下介绍一种计算方法----图乘法。
下图为某直杆段AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线( Mi 图),如果抗弯刚度EI 为常数，则可进行以下计算：
上式中y0是在MK 图形心C 对应处的Mi 图标距，A 是MK 图的面积，因此：
位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法应注意两点：
1. 应用条件：杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距y0 应取自直线图形中。
2. 正负号规定：面积A 与标距y0 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。
常见图形的面积和形心
根据图乘法，位移计算主要是计算图形的面积、形心和标距，下面介绍常见图形的形心和面积：
三角形
二次抛物线
二次抛物线
二次抛物线
三次抛物线
n 次抛物线
应用图乘法时的几个具体问题
(1) 如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。
(2) 如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。如下图所示
则计算结果应为：
(3) 如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
如图6-8两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此，
对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物线分解为标准抛物线图形和直线图形。
【例题1】试求出图6-11a 所示刚架结点B 的水平位移,EI 为常数。
解:作实际状态和单位荷载的弯矩图
六、温度改变时的位移计算
河海大学的考研结构力学中，温度改变时的位移计算不会出计算题，只可能出小题，所以这部分对计算不作要求，只要求理解位移产生的原理。
特别注意：对于静定结构而言，温度变化会使杆件发生变形，从而产生位移，但是不会引起内力。对于超静定结构，由于存在多余约束，杆件变形后会产生内力。
温度改变时位移的计算公式：
其中，α为线膨胀系数，
012()/2
t t t =+，
12
t t t ?=-。
正负号的规定：当杆高温的一侧与M 受拉的一侧在同一侧时，上式中第二项的乘积为正，否则为负。 七、互等定理 １、功的互等定理
设有两组外力分别作用在同一结构图，分别称为第一状态和第二状态。
图6-16
对于两种状态应用虚功原理：
外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态，位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态。
于是可得功的互等定理：
第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功。即
２、位移互等定理
如下图所示的两种状态
有功的互等定理可得
当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作δ12和δ21。
于是得
δ12和δ21又可称为位移影响系数，即：Δ12 = P12δ12
这就是位移互等定理：
位移互等定理表明第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移。
注意：这里的荷载和位移都是广义荷载和广义位移，一般情况下定理中的两个广义位移的量纲可能不相同，但是影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。
３、反力互等定理
如上图所示为同一线性变形的两种状态。下面讨论由于图中的变形一起的反力的变化，注意图中的反力在用双下标，第一个下标i表示反力与相应的位移Ci 对应，第二个下标表示位移产生的反力，如F12 表示由位移C2 引起的与位移C1对应的反力。
应用功的互等定理可得：
进一步有