常数项数概念与性质

§11. 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数: 给定一个数列

u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?,

则由这数列构成的表达式

u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? ?

叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞

=1

n n u , 即

3211???++???+++=∑∞=n n n u u u u u ,

其中第n 项u n 叫做级数的一般项.

级数的部分和: 作级数∑∞

=1

n n u 的前n 项和

n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211

称为级数∑∞

=1n n u 的部分和.

级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞

→lim ,

则称无穷级数∑∞

=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,

并写成

3211???++???+++==∑∞

=n n n u u u u u s ;

如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞

=1n n u 发散.

余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞

=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值

r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ? ? ?

叫做级数∑∞

=1n n u 的余项.

例1 讨论等比级数(几何级数)

20???++???+++=∑∞

=n n n aq aq aq a aq 的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比.

例1 讨论等比级数n n aq ∑∞

=0(a ≠0)的敛散性.

解 如果q ≠1, 则部分和

q

aq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0

收敛, 其和为q a -1. 当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞

=0

发散. 如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞

=0

发散;

当q =-1时, 级数n n aq ∑∞

=0

成为

a -a +a -a + ? ? ?,

时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零,

所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞

=0也发散.

综上所述, 如果|q |<1, 则级数n

n aq ∑∞

=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为

q

a -1. 例2 证明级数

1+2+3+? ? ?+n +? ? ?

是发散的.

证 此级数的部分和为

2)1( 321+=

+???+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的.

例3 判别无穷级数

)

1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 的收敛性.

解 由于

111)1(1+-=+=

n n n n u n , 因此

)

1(1 431321211++???+?+?+?=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-

+???+-+-=n n n 从而

1)1

11(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1.

例3 判别无穷级数

∑∞

=+1)1(1n n n 的收敛性. 解 因为

)

1(1 431321211++???+?+?+?=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-

+???+-+-=n n n , 从而

1)1

11(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1.

提示: 1

11)1(1+-=+=

n n n n u n .

二、收敛级数的基本性质

性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛,

且其和为ks .

性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞

=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .

性质1 如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞

=1

.

这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1

n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则

) (lim lim 21n n n n ku ku ku ???++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==???++=∞

→∞→lim ) (lim 21. 这表明级数∑∞

=1

n n ku 收敛, 且和为ks .

性质2 如果级数∑∞

=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1

n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.

性质2 如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞

=s v u n n n )(1.

这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1

n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则

)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+???+±+±=∞

→∞→τ )] () [(lim 2121n n n v v v u u u +???++±+???++=∞

→ σσ±=±=∞

→s s n n n )(lim . 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.

比如, 级数

)1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 是收敛的, 级数 )1(1 43132121110000???+++???+?+?+?+

n n 也是收敛的, 级数 )

1(1 541431???+++???+?+?n n 也是收敛的. 性质4 如果级数∑∞

=1

n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.

应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数

1-1)+1-1) +? ? ?收敛于零, 但级数1-1+1-1+? ? ?却是发散的.

推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.

级数收敛的必要条件:

性质5 如果∑∞=1

n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0

=→n n u .

性质5 如果∑∞=1

n n u 收敛, 则0lim 0

=→n n u .

证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞

→lim , 则

0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞

→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .

应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数

1 3121111???++???+++=∑∞=n n n 是发散的.

例4 证明调和级数∑

∞=11n n 是发散的.

证 假若级数∑∞

=1

1n n 收敛且其和为s , s n 是它的部分和. 显然有s s n n =∞

→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s . 但另一方面,

2

121 212121 21112=+???++>+???++++=-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞

→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n 必定发散.