13
tan tan(4560)2313
A +∴=+=
=---, .4
6
260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=
+=+==
A
1
(sin 2)
2
A =-另解(sin -A
解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2
=ac 。 又a 2
－c 2
=ac －bc ，∴b 2
+c 2
－a 2
=bc 。
在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2
1
，
∴∠A =60°。
在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a
A b sin ，∵b 2
=ac ， ∠A =60°，
∴ac
b c B b ?=60sin sin 2=sin60°=23
。
解法二：在△ABC 中， 由面积公式得
21bc sin A =2
1
ac sin B 。 ∵b 2
=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2
sin B 。 ∴c
B b sin =sin A =2
3。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型4：正、余弦定理判断三角形形状
例4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
D.等边三角形
答案：C
解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 题型5：三角形中求值问题
例5．ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A
2
。
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A
2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；
当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3
2
。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三
角函数的性质求得结果。 题型6：正余弦定理的实际应用
例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛
上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，030，
于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2
≈1.414，
6
≈2.449）
解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，
,ABC sin C
BCA sin ∠=∠A AB 即AB=,20
62315sin ACsin60+=
因此，BD=。
km 33.020
6
23≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 三、思维总结
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；
【答案】D
【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =可得1510sin60sin B =解得3sin 3
B =，又因为b a <，则B A <，故B 为锐角，所以2
6
cos 1sin 3
B B =-=
，故D 正确. 4.（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，13
sin sin 60
A =，即1
sin 2
A =
．由a b <知，60A B <=，则30A =， 180180306090C A B =--=--=，sin sin901C ==
5（2009湖南卷文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ， AC 的取值范围为 . 解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=?=
由锐角ABC ?得0290045θθ<
1803903060θθ<-
故23
3045cos 22
θθ<
<<
， 2cos (2,3).AC θ∴=∈
6.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知
222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2
22a
c b
-=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用
现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在ABC ?中则
sin cos 3cos sin ,A C A C =由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a
c ab bc +-+-=
（角化边） 化简并整理得：2
2
2
2()a c b -=.又由已知2
22a
c b -=24b b ∴=.
解得40(b b ==或舍）.
7．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan 2
tan 32
tan 2
tan C A C A ++的值。
解析：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，
从而2C A +＝60°，故tan 32=+C A .由两角和的正切公式，得32
tan
2tan
12tan 2tan =-+C
A C A 。
所以,2
tan 2tan 332tan 2tan C A C A -=+ 32
tan 2tan 32tan 2tan
=++C
A C A 。 点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 8.（2009四川卷文）在ABC ?中，
A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为
a b c 、、，且510
sin ,sin 510
A B =
=
（I ）求A B +的值；（II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。
解（I ）∵
A B 、为锐角，510
sin ,sin 510
A B =
= ∴ 2225310
cos 1sin ,cos 1sin 510
A A
B B =-=
=-=
253105102
cos()cos cos sin sin .5105102
A B A B A B +=-=
?-?= ∵ 0A B π<
+<,∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34
C π=，∴ 2sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==
得 5102a b c ==，即2,5a b c b =
=
又∵ 21a b -=- ∴
221b b -=- ∴ 1b =
∴ 2,5a c =
=
9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）
在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ∠2222AD DC AC AD DC +-=10036196
121062
+-=-??,
∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°
在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，
由正弦定理得
sin sin AB AD
ADB B
=
∠,
∴AB=3
10sin 10sin 60256
sin sin 452
2
AD ADB B
?∠?===?
10.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）
在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22
+++= 即bc c b a
++=222
由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=
故?=-=120,2
1
cos A A
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sin sin sin sin sin 222
C B C B A ++=
又1sin sin =+C B ，得2
1sin sin ==C B
因为?<
?900,900C B ，
教导主任签名：
