“十字相乘法”是怎样理解,怎样用,原理是什么
“十字相乘法”是怎样理解，怎样用，原理是什么
“十字相乘法”是怎样理解，怎样用，原理是什么1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：
1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目
例1把m2+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳6
所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x2+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解：因为 1 2
5 ╳-4
所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x2-8x+15=0
分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -3
1 ╳-5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程6x2-5x-25=0
分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5
3 ╳5
所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0
所以x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目
例5把14x2-67xy+18y2分解因式
分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y
7 ╳-2y
所以14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3
=10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3）4y -3
7y ╳-1
=10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y –1）
5 ╳4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
说明：在本题中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3）2 x -7y 1
5 x - 4y ╳-3
说明:在本题中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解关于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0
分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解
解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0
x2- 3ax +（2a2–ab - b2）=0
x2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
2 ╳+b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
1 ╳-（a-b）
所以x1=2a+b x2=a-b 两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式
交点式．
利用配方法，把二次函数的一般式变形为
Y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2]
应用平方差公式对右端进行因式分解，得
Y=a[x+b/2a+√b^2-4ac/2a][x+b/2a-√b^2-4ac/2a]
=a[x-(-b-√b^2-4ac)/2a][x-(-b+√b^2-4ac)/2a]
因一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x1，2=(-b±√b^2-4ac)/2a
所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程
ax^2+bx+c=0的两个根
因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点（x1，0），（x2，0）的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式．在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便．
二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：
设方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x1，x2
根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，
有b/a=-(x1+x2),a/c=x1x2
∴y=ax^2+bx+c=a[x^2+b/a*x+c/a]
=a[x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法因式分解练习题及答案 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l
乘法原理与加法原理教案
第十一讲 乘法原理与加法原理 知识提要 理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。 加法原理： m 1＋m 2＋……＋。 乘法原理： m 1×m 2×……×。 经典例题 例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4 条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？ 分析与解： 把从小刚家到学校的路分为两步。 第一步从家到桥，第二步从桥到学校。 这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。 从图中看出从家到学校共有 12种不同的走法： 根据此题，得出如下结论： 乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m 1种不同的方法；第二步有m 2种不同的方法；……第n 步有种不同的方法；那么要完成任务共有： m 1×m 2×……×。 例2 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？ 分析与解： 用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有： 4×3×2=24（个） 例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成： 3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。 例4：下图为4×4的棋盘，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行
加法原理和乘法原理
计数加法与乘法原理 1.问题一 （1－1）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种方法 2 (加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法 3.问题二 （2－1）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法 （2－2）如图,由A 村去B 村的道路有2条，由B 村去C 村的道路有3条从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法
4.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有 12n N m m m =???L 种不同的方法 5.原理浅释 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以. 分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一
高中数学第一册(上)加法原理和乘法原理的应用
加法原理和乘法原理的应用 【教学目标】 1．进一步理解两个基本原理． 2．会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 【教学重点】两个基本原理的进一步理解和体会． 【教学难点】正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性． 【教学过程】 一、复习引入： 1．分类计数原理： 2．分步计数原理： 3．原理浅释 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以． 分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理． 可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同． 这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要合理、灵活而巧妙地分类或分步． 强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 二、范例分析： 例1．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种? 解：取b b+是同一种取法．分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，a+与取a 由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有(10×9)/2=45种取法．根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法． 例2．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种? 解：分类标准一：固定小加数．小加数为1时，大加数只有20这1种取法;小加数为2时，大加数有19或20两种取法;小加数为3时，大加数为18，19或20共3种取法…小加数为10时，大加数为11，12，…，20共10种取法;小加数为11时，大加数有9种取法…小加数取19时，大加数有1种取法．由分类计数原理，得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种． 分类标准二：固定和的值．有和为21，22，…，39这几类，依次有取法10，9，9，8，
加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理 教学内容: 思维训练内容《加法原理与乘法原理》。 教学目标： （1）知识教学目标：理解和掌握加法原理和乘法原理。 （2）能力训练目标：通过分析、探究将现实情景问题转化为加法原理与乘法原理的数学问题来解决。 （3）情感、态度、价值观目标：通过对问题的解决激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系 教学过程： （一）加法原理 如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。 例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法 （二）乘法原理 如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。 例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。 选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法 选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法 选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法 单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数 二、加法原理和乘法原理的区别 什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。 三、加乘法原理的综合应用 有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。在计算做这件事的方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。 例：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
加法原理和乘法原理
教师姓名 学科 数学 上课时间 年 月 日 --- 学生姓名 年级 课题名称 加法原理和乘法原理 教学目标 1、理解加法原理和乘法原理；2、解决具体的加乘原理的题目 教学重点 加法原理和乘法原理 教学过程 加法原理和乘法原理 知识要点一：加法原理——分类计数原理 【知识导入1】 我们先来看这样一些问题： 问题1：从西安到北京，每天有3个航班的飞机，有4个班次的火车，有两个班次的汽车.那么，乘坐以上工具从西安到北京，在一天中一共有多少种选择呢？ 问题2：用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 问题3：一个学生从3本不同的物理资料、4本不同的英语资料、6本不同的课外书中任取一本来学习，不同的选法有多少种？ 【提炼特点】 （1）完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n 类； （2）每一类中的每一种方法都可以完成这件事； （3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数。 【抽象概况】 分类加法计数原理：完成一件事情，可以有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +???++=21 种不同的方法. 注意：○ 1 这个原理也称为“加法原理”； ○ 2 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？ 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类： ①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。 ③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。 所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。 举一反三 1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？ 3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？ 4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决． 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即： 第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法： 3×1=3． 如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法： 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数． 一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有种
不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有 种不同的方法． 这就是乘法原理． 例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？ 例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理 加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。 乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。 例题: 例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法, 例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取 一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法, 例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。 (1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法, (2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法, 例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数, 例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法, B A C D
当堂练: 1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜 色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法, 2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法, 3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数, 课堂作业: 1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张, 2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数, 3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。 (1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法? (2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法, 4. 南京到上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站， 共要准备多少种不同的车票,有多少种不同的票价,(考虑往返) 5.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法, A B C D 6.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不同的配法,
第一讲 加法原理和乘法原理 (练习题)
第一讲加法原理和乘法原理（练习题） 1. 从武汉到上海，可以乘飞机·火车·轮船和汽车。一天中飞机有两班，火车有4班，轮船有2班，汽车有3班。那么一天从武汉到上海，一共有多少种不同的走法？ 2. 商店有铅笔5种，钢笔6种，圆珠笔3种。小红要从中任选一种，一共有多少种不同的选法？ 3. 4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的照法？ 4. 有0、2、3三个不同的数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？ 5. 一列火车从甲地到乙地中途要经过5个站，这列火车从甲地到乙地共要准备多少种不同的车票？ 6. 五个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？ 7. 在5×5的方格中（如右图），共有多少个正方形？
8. 书架上有8本故事书和6本童话书，王刚要从书架上去一本故事书和一本童话书，一共有多少种不同的取法？ 9. 服装店里有5件不同的儿童上衣、4条不同的裙子。妈妈为小红买了一件上衣和一条裙子配成一套，一共有多少种不同的选法？ 10. 从1、3、5、7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？ 11．用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 12．（如图所示）：A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种涂色。如果要求相邻的区域涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？ 13. 从4名男生和2名女生中选出班干部3名，其中至少要有一名女生，一共有多少种不同的选法？ 14. 有红、黄、蓝、白四种颜色的旗各一面，从中选一面、两面、三面或者四面旗从上到下挂在旗杆上表示不同的信号（顺序不同时，表示的信号也不同），一共可以表示多少种不同的信号？
因式分解十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 9、=++342 x x 10、=++1072 a a 11、=+-1272 y y 12、=+-862 q q 13、=-+202 x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 27、=++71522 x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752 x x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(2 2 ++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2 -+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a
23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(2 2 -++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l 35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m -- 37、)35)(4)(1(2 -+++x x x x 38、)8)(2)(3(2 -++-x x x x
四年级数学思维训练：加法原理与乘法原理
四年级数学思维训练：加法原理与乘法原 理 1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？ 分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个 2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？ 分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2*90=180个；
三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166 3=722个，所以本书有722+99=821页。 3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？ 分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：（687+15）2=351个（351- 189）3=54，54+99=153页。 4、从1、2、3、4、 5、 6、 7、 8、 9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。 分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的
两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。 另从15到27的任意一数是可以组合的。 5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213 ，试确定第206788个位置上出现的数字。 分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899 5=33579 4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7. 6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？ 分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1. 二次三项式 多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式. 在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式. 在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式. 2. 十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(?+ ? (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是： (1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并 且a+b为一次项系数。那么它就可以运用公式 [ x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b) 分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕?a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b , 3. 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘 法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤
四年级奥数专题 加法原理和乘法原理
二讲加法与乘法原理 知识导航 加法原理：做一件事情，完成 ．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不 同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m 2 +……+m n 种不同的方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完 成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件 工作共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 精典例题 例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
思路点拨 ①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。 ②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。 模仿练习 孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 思路点拨 要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
十字相乘法因式分解练习题
因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~ 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x+ + = + + + 2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 例1 把2x2-7x+3分解因式。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 =-5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积，即a=a 1a 2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c 1 c 2 ，把a 1 ，a 2 ，c 1 ，c 2 排列如下： a 1 c 1 a 2× c 2 a 1c 2 + a 2 c 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2 +a 2 c 1 ，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系 数b，即a 1c 2 +a 2 c 1 =b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1 x+c 1 与a 2 x+c 2 之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c 1 ）（a 2 x+c 2 ）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二镒项系数不是1的二次三贡式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三贡式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 × -4 1×（-4）+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的历式有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解（x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题
因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次 三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注
3年级加法原理与乘法原理
加法原理与乘法原理 例1 书架上有1 0本故事书、3本历史书、1 2本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2 一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少种不同的车票？ 例3 . 数数图中有多少正方形。 例 4 爸爸、妈妈和小明三人在公园照相，共有多少种不同的照法？ 例5 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走。试问从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？ 例6 书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任 取1本故事书和1本科普书。共有多少种不同的取法？ 例7 用9、8、7、6这4个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？ 例8如图，A 、B 、C 、D 4个区域分别用红、黄、蓝、白4种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，那么共有多少种不同的染色方法？ 例9 如图，小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向的马路。他每天步行从家到学校只能向东或向南 思考与练习： 1．从甲城到乙城，可乘汽车、火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有3班，从甲城到乙城共有多少种不同的走法 2．书架上层放有7本不同的故事书，中层有6本不 同的科技书，下层有4本不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ 3．平面上有8个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两点画一条直线，共可以画多少条直线？ 4．从2、3、5、7 、11、13这六个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数？ 5．十把钥匙开十把锁，但钥匙已经搞乱了，问：最多试多少次即可将钥匙和锁配起来？ 6.用1、2.3.4、5这五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？将它们从小到大排列起来，5124是第几个？ 7．某人到食堂去买饭，主食有3种，副食有5种，他 主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 8．衣架上有2顶帽子、3件上衣、3条裤子。从中任取1顶帽子、1件上衣、1条裤子可以组成一套装束，最多可配成多少种不同的装束？ 9．甲、乙两个班级进行乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛多少场？ 10．从5、7、11、13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成多少个分数？