第三章函数的应用测验题

第三章 函数的应用 本章测试（人教版必修１）

一、选择题

1．已知函数)

(1

)()(x f x f x g -

=，其中x x f 2)(log 2=，R x ∈，则)(x g （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数

2．根据表格中的数据，可以判断方程02=--x e x

必有一个根在区间( )

A. )0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2( 3．函数x

x x f 2

ln )(-

=的零点所在的大致区间是( ) A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)4,3( D ．)3,(e 4．已知x x

x f ln 1

)(-=

在区间(1,2)内有一个零点0x ，若用二分法求0x 的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

5．下列函数零点不能用二分法求解的是( )

A ．1)(3

-=x x f B ．3ln )(+=x x f

C ．222)(2++=x x x f

D ．14)(2

-+-=x x x f

6．设833)(-+=x x f x

，用二分法求方程0833=-+x x

在)2,1(∈x 内近似解的过程中得0)1(

0)5.1(>f ，0)25.1(

D. 不能确定

7．下列函数不存在零点的是( ) A ．x

x y 1

-

= B ．122--=

x x y

C ．?

??>-≤+=0,10

,1x x x x y

D ．?

??<-≥+=0,10

,1x x x x y

8．如图，ABC ?为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且AB l ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则)(x f y =的图象大致为四个选项中的(

)

9．某商品价格前两年每年递增%20，后两年每年递减%20，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )

A ．增加%84.7

B ．减少%84.7

C ．减少%5.9

D ．不增不减

10．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数

第II 卷（非选择题）

二、填空题

11．现测得(x ，y)的两组值为)2,1(，)5,2(，现有两个拟合模型，甲：12

+=x y ；乙：13-=x y .若又测得),(y x 的一组对应值为）

（2.10,3，则应选用________作为拟合模型较好．

12．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是________．

13．设函数???????<≥-=)0(1)0(12

1

)(x x

x x x f ，若a a f >)(，则实数a 的取值范围是 。

14．已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2

-=，则0

15．已知函数1)(2

-=x x f ，则函数)1(-x f 的零点是________．

三、解答题

16．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民

（1）经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求)(x f y =的表达式，并求此函数的定义域． （2）作出函数)(x f y =的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？

17．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10

log 52

Q

v =，单位是s m ，其中Q 表示燕子的耗氧量．

（1）试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

18．已知关于x 的方程01)1(22

=-++-a x a ax ，探究a 为何值时， （1）方程有一正一负两根； （2）方程的两根都大于1；

（3）方程的一根大于1，一根小于1

19．知5100=m ，210=n

， （1）求n m +2的值.

（2）1x ，2x ， ，2010x 均为正实数，若函数x x f a log )(=(0>a 且1≠a )，

且n m x x x f +=2)(201021 ，求)()()(2

20102221x f x f x f +++ 的值.

20．（14分）有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量. 现假

设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合.用)0(])0([)(≥-+=-p e r

p g r p t g t

v r

，表示某一时刻一立

方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），)0(g 表示湖水污染初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析r

p

g <)0(时，湖水的污染程度如何.

21．若方程022

=+-a ax x 在）（1,0恰有一个解，求a 的取值范围．

参考答案

1．D

【解析】略

2．C

【解析】设f(x)＝e x－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C

3．B

【解析】∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－2

3

＞0，

∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．

4．B

【解析】由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分4次．

5．C

【解析】对于C，f(x)＝(x2≥0，不能用二分法．

6．B

【解析】由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，

∴f(1.25)f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B 7．D

【解析】令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－1

2

，1；只有D中函数无零

点．8．C

【解析】设AB＝a，则y＝1

2

a2－

1

2

x2＝－

1

2

x2＋

1

2

a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴

上方．故选C.

9．B

【解析】设该商品原价为a，

四年后价格为a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a.

所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，

即比原来减少了7.84%.

10．D

【解析】一次函数保持均匀的增长，不符合题意；

二次函数在对称轴的两侧有增也有降；

而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；

因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．

11．甲

【解析】图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．12．y＝2x(x∈N*)

【解析】该函数关系为y＝2x，x∈N*.

()

,1

-∞-

【解析】当

1

0,()1,22a f a a a a ≥=

-><-时，这是矛盾的；

当

1

0,(),1a f a a a a <=

><-时；

14．2

()2(0)f x x x x =--<

【解析】略

15．0和2

【解析】由f(x)＝x 2－1，得y ＝f(x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2

－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f(x －1)的零点是0和2.

16．(1) y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *

)

(2) 经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米 【解析】解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …

经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．

(2)作函数y ＝f(x)＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．

作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x 的图象交于A 点，则A(x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值． 因为8

即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米． 17．(1) 10个单位 (2) 15m/s

【解析】解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得 0＝5log 2

Q

10

，解得Q ＝10， 即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得 v ＝5log 2

80

10

＝5log 28＝15(m/s)， 即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s. 18．(1) 0＜a ＜1

(2) 不存在实数a ，使方程的两根都大于1 (3) a ＞0

所以由根与系数的关系得，

解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．

(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，

所以必须满足，或，不等式组无解．

所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1

法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0，

即

?.

所以? ，不等式组无解．

即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.

(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(3)(4)所示，

所以必须满足或，解得a ＞0.

∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1. 19．（1）1（2）2

【解析】本题考查对数的性质和运算法则，考查对数式和指数式的相互转化，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．

（1）由100m =5，10n

=2，知2m=lg5，n=lg2，由此能求出2m+n 的值．

（2）由（1）知f （x 1x 2…x 10）=f （x 1）+f （x 2）+…+f（x 10）=1，由此能求出f(x 12)+f(x 22)+…+f(x 102

)的值．

析：（1）方法一：5101002==m m ，……… 2分

1010101022==?∴+n m n m ，……… 4分

12=+∴n m ……… 5分

方法二：5lg 2,5100

=∴=m m

，……… 2分

2lg ,210=∴=n n ，……… 3分 110lg 2lg 5lg 2==+=+∴n m ……… 5分

（2）由（1）可知f(x 1x 2…x 2010)＝f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(2010)＝1，……… 7分

∴f(2

1x )＋f(2

2x )＋…＋f(2

2010

x )＝2[f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x 2010)] ………

9分

＝2×1＝2. ……… 10分 20．（1）r p

g =

)0(；

（2）污染越来越严重

【解析】解： （1）设210t t <≤，

因为)(t g 为常数，)()(2

1t g t g =，即0]][)0([21

=----t v

r

t v r e e r p g ， 则r

p g =)0(； （2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21

t v r

t v r

e e r

p g ----

=2112])0([t t v

r

t v

r t v

r e

e

e

r

p g +-?-

因为0)0(<-

r

p

g ，210t t <<，)()(21t g t g <. 污染越来越严重 21．a ＜0或a ＞1

【解析】解：设f(x)＝x 2－2ax ＋a. 由题意知：f(0)·f(1)＜0，

即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．

∴a ＜0或a ＞1.