不定积分最全公式
常见不定积分公式
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c
14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c
16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;
17) ∫shx dx=chx+c;
18) ∫chx dx=shx+c;
19) ∫thx dx=ln(chx)+c;
1.∫adx = ax+C (a 为常数)
2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C
3.∫cos(x)dx = sin(x)+C
4.∫tan(x)dx = -log
e |cos(x)|+C = log
e
|sec(x)|+C
5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C
6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C
7. ∫sin 2(x)dx
= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2
= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4
9. ∫cos 2(x)dx
= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2
= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4
11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C
12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C
13.∫sin(ax)sin(bx)dx
= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)
14.∫sin(ax)cos(bx)dx
= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)
15.∫cos(ax)cos(bx)dx
= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)
16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C
17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C
18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C
19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C
20.∫e x dx = e x +C
21.
∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x
不定积分公式大全
Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 1 1μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ?+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22
②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1 csc cot 22 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1 即 例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1
积分大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
定积分公式表
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数 ) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??
不定积分最全公式
常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx d x=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C
5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)co s(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x
常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版
常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
(完整版)定积分公式
二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++?
（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =+ （20） ln |x C =+? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv
附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
不定积分最全公式
不定积分最全公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e|cos(x)|+C = log e|sec(x)|+C
5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12. ∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13. ∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14. ∫sin(ax)cos(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15. ∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16. ∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17. ∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18. ∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19. ∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20. ∫e x dx = e x +C 21. ∫a dx = a log |x| (a 为常数) x
常用求导积分公式及不定积分基本方法
常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
常用微积分公式大全
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常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
定积分基本公式
定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.
例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.
不定积分公式大全 基本公式有哪些
不定积分公式大全基本公式有哪些 inx + C ∫ sinx dx = - cosx + C ∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C ∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C ∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C ∫ sec (x) dx = tanx + C ∫ csc (x) dx = - cotx + C ∫ secxtanx dx = secx + C ∫ cscxcotx dx = - cscx + C ∫ dx/(a + x ) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫dx/√(a- x ) = arcsin(x/a) + C ∫dx/√(x+ a ) = ln|x + √(x+ a )| + C ∫dx/√(x- a ) = ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x- a ) dx = (x/2)√(x- a ) - (a /2)ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x+ a ) dx = (x/2)√(x+ a ) + (a /2)ln|x + √(x+ a )| + C ∫√(a- x ) dx = (x/2)√(a- x ) + (a /2)arcsin(x/a) + C 不定积分的基本公式有哪些
不定积分基本公式
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral ） 课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容： 一、不定积分的基本公式 由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 ( )1222()01 ()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'= '= +'='=- +21 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( ) 1 22 2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++????????????? ?2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+???
常用的求导和定积分公式(完美)
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且
)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+?
不定积分的基本公式
不定积分的基本公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
不定积分 一． 求不定积分与求导数或微分互为逆运算。( 'F )()(x f x = 或 dx x f x dF )()(= ?+=C x F x d x f )()()( ) 1. [] ' )(?dx x f ' )(x f = 或 ?=dx x f dx x f d )()( 2. ?'F C x F dx x +=)()( 或 C x F x dF +=?)()( 3. ??=dx x f a dx x af )()( )0(≠a 二.基本积分公式 1. ?+=C kx kdx 是常数）k ( 2. ?n x 1 1+=+n x dx n C + )1(-≠n 3. C x x dx +=? ||ln 4. C x x dx +=+?arctan 12 5. C x x dx +=-? arcsin 12 6. ?+=C x xdx sin cos 7. ?+-=C x xdx cos sin 8. C x xdx x dx +==??tan sec cos 2 2 9. ??+-==C x xdx x dx cot csc sin 22 10. ?+=C x xdx x sec tan sec 11. ?+-=C x xdx x csc cot csc 12. C e dx e x x +=? 13. C a a dx a x x +=?ln 14. C x xdx +-=?|cos |ln tan 15. C x xdx +=?|sin |ln cot 16. C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec 17. C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc 18. C a x a x a dx +=+? arctan 12 2 19. C a x a x a a x dx ++-=-?||ln 212 2 C x a x a a x a dx +-+=-?||ln 2122 20. C a x dx x a +=-?arcsin 122 21. C a x x a x dx +±+=±?||ln 222 2 22. C b ax a dx b ax ++=+?||ln 1 1 23. C x dx x +=?21 24. C x dx x +-=? 112 可能用到的公式： （1） ???+-=+?+-=+1 1111)1(1n dx n dx n dx n n n n （2） 32233 33b ab b a a b a +++=+）（ （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）x x 22sec 1tan =+ x x 22csc 1cot )5(=+ 2 22112cos ,122sin ,tan )8(1 sec cos )7(1csc sin 6t t t t t +-= +===?=?ααααααα则设）（
不定积分的基本公式
不定积分的基本公式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
不定积分 一． 求不定积分与求导数或微分互为逆运算。('F )()(x f x =或 dx x f x dF )()(=?+=C x F x d x f )()()() 1. [] ' )(?dx x f ' )(x f =或?=dx x f dx x f d )()( 2.?'F C x F dx x +=)()(或C x F x dF +=?)()( 3.??=dx x f a dx x af )()()0(≠a 二.基本积分公式 1.?+=C kx kdx 是常数）k ( 2.?n x 1 1+=+n x dx n C +)1(-≠n 3.C x x dx +=?||ln 4.C x x dx +=+?arctan 12 5.C x x dx +=-? arcsin 12 6.?+=C x xdx sin cos 7.?+-=C x xdx cos sin 8.C x xdx x dx +==??tan sec cos 22 9.??+-==C x xdx x dx cot csc sin 22 10.?+=C x xdx x sec tan sec 11.?+-=C x xdx x csc cot csc 12.C e dx e x x +=? 13.C a a dx a x x +=?ln 14.C x xdx +-=?|cos |ln tan 15.C x xdx +=?|sin |ln cot 16.C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec 17.C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc 18.C a x a x a dx +=+?arctan 122 19.C a x a x a a x dx ++-=-?||ln 2122 20.C a x dx x a +=-?arcsin 122 21.C a x x a x dx +±+=±?||ln 222 2 22.C b ax a dx b ax ++=+?||ln 1 1 23.C x dx x +=?21 24.C x dx x +-=? 112 可能用到的公式： （1） ???+-=+?+-=+1 1111)1(1n dx n dx n dx n n n n