成都市第一次诊断适应性考试
2015届成都市第一次诊断适应性考试
数 学（理）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设集合}021|{≤-+=x x x M ，}2
1
2|{>=x x N ，则M N I =（ ）
A 、),1(+∞-
B 、)2,1[-
C 、)2,1(-
D 、]2,1[- 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．
B 、“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.
C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.
D 、命题“x ?∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ?∈R 均有210x x ++<”．
3、方程()()2
ln 10,0x x x
+-=>的根存在的大致区间是（ ）
A 、()0,1
B 、()1,2
C 、()2,e
D 、()3,4
4、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 、5 B 、7 C 、9 D 、11
5、设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B 、若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α C 、若m β⊥,m α?,则αβ⊥ D 、若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥
6、二项式102)2
(x
x +展开式中的常数项是（ ）
A 、180
B 、90
C 、45
D 、360
7、设a r 、b r 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||
a b a b +=r r
r
r r 成立的是（ ）
A 、2a b =r r
B 、//a b r r
C 、13
a b =-r r
D 、a b ⊥r r
8、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域??
?
??≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则
OA OM +u u u r u u u u r
的取值范围是（ ）
A 、[]51，
B 、[]52，
C 、[]21，
D 、[]
50， 9、已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ）
A 、54
B 、53
C 、4
3
D 、55
10、已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当
]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)
()(2
121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线
6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ） A ．１ B ．２ C ．３ D ．４ 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11、若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 ； 12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ；
13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。
14、若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点 N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ； 15、给出下列命题：①函数y=cos （2x ﹣
）图象的一条对称轴是x=
；②在同一坐标系
中，函数y=sinx 与y=lgx 的交点个数为3个；③将函数y=sin （2x+）的图象向右平移
个
单位长度可得到函数y=sin2x 的图象；④存在实数x ，使得等式sinx+cosx=成立； 其中正确的命题为 ；（写出所有正确命题的序号）． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数)2
,0()sin()(π
?ω?ω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，
x
1x 3
1 2x
37 3x
?ω+x 0
2π
π
23π π2
)sin(?ω+x A
0 3
3-
（1123式；
（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移2
3
个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低
点（如图），求OQP ∠的大小.
211
O
D
C
B A
D 1C 1
B 1A 1
17、（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信
日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选
择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的概率；
(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望. 18、（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD
，11D A D D ==面ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===， O 为AD 中点.
(1)求证：1
//AO 平面1AB C ； (2)求锐二面角C D C A --11的余弦值．
19、（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n n n a a S +=. （1）求1a
（2）求数列{}n a 的通项；
（3）若)12
*∈=N n a b n
n （,n n b b b T +++=........21，求证：n T ＜35
20、（本题满分13分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点2-，且椭圆的离心率1
2
e =．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,A C 及,B D ，设线段AC ，BD 的中点分别为,P Q ．求证：直线PQ 恒过一个定点． 21、（本题满分14分）
已知函数2()ln f x x x =+.
（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；
（2）在(1)的条件下，且1a >，3()3x x h x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值； （3）设2()2()3F x f x x k =--（k ∈R ），若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.
2015届成都市第一次诊断适应性考试
数 学（理）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、C ；
2、C ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
6、A ；
7、C ；
8、A ；
9、B ；10、B ； 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11、45
； 12、4
3； 13、180；14、24-；15、①②
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（本小题满分12分）
解：（1）321-=x ，342=x ，3
103=x ，()3sin()23f x x ππ
=+所以…………………6分
（2）将()f x 的图像沿x 轴向右平移2
3
个单位得到函数()2
g x x π=……………7分
因为P 、Q
分别为该图像的最高点和最低点，所以(3,P Q ……………8分 所以2,4,OP PQ =
=OQ =……………………………………………10分
222cos 2OQ PQ OP OQ QP
θ+-∴==?，所以6
π
θ=……………………12分
法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以
法3
：利用数量积公式cos QP QO QP QO
θ?==?u u u r u u u r
u u u r u u u r ，=30o θ所以。 17、(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.
解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为11113313
88228832
P =?+?+?=. …………4分
(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.
111(400)8864P X ==?=，12136(500)8864P X C ==??= 339(600)8864P X ==?=，12118(700)8264
P X C ==??= 121324(800)2864P X C ==??=，1116(1000)2264
P X ==?= …………8分 综上可得X
………10分 16982416
4005006007008001000775646464646464
EX =?
+?+?+?+?+?=.
z
y x O
D C B
A D 1
C
1
B 1
A
1
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
O
即X 的数学期望为775. …………12分
18、（本小题满分12分）
(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形ABCO 为正方形， 所以11OC AB A B ==，且11////OC AB A B ，
故四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//A O B C ．
又1
AO ?平面1AB C ，1B C ?平面1AB C ， 所以1//A O 平面1AB C . ……………5分
(2)因为11 , D A D D O =为AD 的中点，所以1 D O AD ⊥，
又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，交线为AD ，故1D O ⊥底面ABCD 。 ………6分
以O 为原点，所1 , , OC OD OD 在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的坐标系， 则
()()1,0,0 , 0,1,0 , C D ()()10,0,1 , 0,1,0D A -， ()()11,1,0 , 0,1,1 , DC DD ∴--u u u r u u u u u r ()()1110,1,1 , 1
,1,0D A DC DC --==-u u u u r u u u u r u u u r ，……7分 设(),,m x y z =u r 为平面11CDD C 的一个法向量，由1 , m DC m DD ⊥⊥u r u u u r u r u u u u r ，得00x y y z -=??-+=?
，
令1z =，则()1, 1 , 1,1,1y x m ==∴=u r ． ……9分
又设()111,,n x y z =r
为平面11AC D 的一个法向量， 由111
, n D A n DC ⊥⊥r u u u u r r u u u u r ，得111100y z x y --=??-=?，令11z =， 则()111, 1 , 1,1,1y x n =-=-∴=--r ， …………11分
则1cos ,333
m n <>=
=-?u r r ，故所求锐二面角C D C A --11的余弦值为1
3．……12分 注：第2问用几何法做的酌情给分． 19、（本小题满分12分） 解：（1）令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a Θ ………2分
(2)又n n n S a a 22=+………①有11212+++=+n n n S a a ………… ②…………………3分
②-①得n n n S S a -=++11，0)1)((11=--+++n n n n a a a a
001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-= ……………………6分 ∴n n a n =-?+=)1(11 …………………………7分
(3)n=1时1b =1＜3
5
符合………………………8分
2≥n 时，因为?
?
? ??+--=-=
-
<
121121
2144
4
111222n n n n n
,………………………………10分 所以3532112112151
3121112
=+
n
k Λ ∴n n b b b T +++=........21＜3
5
…………………………12分
第二问方法不唯一，请酌情给分 20、（本题满分13分）
解：(1)由1
2
c e a ==，得2214c a =，即222244()a c a b ==-，即2234a b =． …1分
由椭圆过点
2
-知，
22
33
1
4
a b
+=．……2分
联立（1）、（2）式解得22
4,3
a b
==。故椭圆的方程是
22
1
43
x y
+=．……4分(2)直线PQ恒过一个定点
4
(,0)
7
．……5分
证明椭圆的右焦点为(1,0)
F，分两种情况．
1°当直线AC的斜率不存在时，AC:1
x=，则BD:0
y=．由椭圆的通径易得(1,0)
P，又(0,0)
Q，此时直线PQ恒过一个定点
4
(,0)
7
；……6分
2°当直线AC的斜率存在时，设AC: (1)(0)
y k x k
=-≠，则BD：
1
(1)
y x
k
=--．
又设点
1122
(,),(,)
A x y C x y．联立方程组
22
(1),
3412,
y k x
x y
=-
?
?
+=
?
消去y并化简得2222
(43)84120
k x k x k
+-+-=，
所以
2
122
8
43
k
x x
k
+=
+
．
2
121222
86
(2)(2)
4343
k k
y y k x x k
k k
+=+-=-=-
++
．
2
22
43
(,)
4343
k k
P
k k
-
++
．由题知，直线BD的斜率为
1
k
-，同理可得点
22
43
(,)
4343
k
Q
k k
++
．…………8分
22
22
22
33
7
4343
444(1)
4343
PQ
k k
k
k k
k
k k
k k
+
++
==-
-
-
++
．
222
374
()
434(1)43
k k
y x
k k k
-=--
+-+
，………11分即2
4(74)40
yk x k y
+--=．令40,740,40
y x y
=-=-=，解得
4
,0
7
x y
==．故直线PQ恒过一个定点
4
(,0)
7
；综上可知，直线PQ恒过一个定点
4
(,0)
7
．…13分
21、（本题满分14分）
解：(1)2
1
()()ln,()2.
g x f x ax x x ax g x x a
x
'
=-=+-=+-
由题意，知()0,(0,)
g x x
'≥∈+∞恒成立，即
min
1
(2)
a x
x
≤+. …………2分
又
1
0,2
x x
x
>+≥
x=时等号成立.
故
min
1
(2)
x
x
+=
，所以a≤…………4分
（2
）由（Ⅰ）知，1a
<≤令x e t=，则[1,2]
t∈，则3
()()3.
h x H t t at
==-
2
()333(
H t t a t t
'=-=…………5分
由()0
H t'=
，得t=
或t=（舍去）
，
3
4
(1,[1,2]
a∈
Q，
①若1t
<≤()0,()
H t H t
'<单调递减；()
h x
在也单调递减；
②若2
t
<≤，则()0,()
H t H t
'>单调递增. ()
h x
在2]也单调递增；
故()
h x
的极小值为2
h=-…………8分
(3)法一：设()
F x在
00
(,())
x F x的切线平行于x轴，其中2
()2ln
F x x x k
=--结合题意，
222ln 0;2ln 0m m k n n k --=--=,相减得2ln
()()0m
m n m n n
-+-=，即
22ln
()m m n
m n n m n
-=+?
+. ……9分 000002()20,1(0)F x x x x x =-=∴=>,又022m n x +==,所以2(
1)
2()
ln .
1m
m m n n m n m n n --==++
设(0,1)m u n =∈， 2(1)ln 0((0,1)).
1u u u u --=∈+
…………11分 设2(1)
ln ((0,1))1
u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-
==>+++ 所以函数2(1)
ln 1
u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，
因此，1|0u y y =<=，即2(1)
ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)ln 1m m n
m n n
-<+， ……13分 所以2(1)
2()
ln .1m m m n n m n m n n
--==++无解.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.…14分
法二：分析：即证是否存在02m n
x +=使0'()0F x =，因为0x >时'()y F x =单调递减，且
'(1)0F =，所以即证是否存在02
m n
x +=使01x =。即证否存在,m n 使2m n =-。 证明：2()2ln F x x x k =--.2(1)(1)
'()22x x F x x x x
--+=-=?
'()()x F x F x 、、的变化如下：
即m n << 所以01m n <<< 。 …………10分
构造函数()()(2)G x F x F x =--，其中01x <<
即22()(2ln )[2ln(2)(2)]G x x x x x =-----2ln 2ln(2)44x x x =---+
22
'()42G x x x
=+--2(1)40(2)x x x -=?
≥-，当且仅当1x =时'()0G x =， 故()y G x =在(0,1)单调增，所以()(1)0G x G <=。 …………12分 所以01x <<时，()(2)F x F x <-。又01m n <<<，所以()(2)F m F m <-， 所以()()(2)F n F m F m =<-。 …………13分
因为2(1,)n m -∈+∞、，所以根据()y F x =的单调性知2n m >-，即12
m n
+>。 又2'()2F x x x =-在(0,)+∞单调递减，所以0'()'(
)'(1)02
m n
F x F F +=<=.
即函数()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴。 …………14分