学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块六.排列组合问题的常见模型2.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．

排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．

全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．

组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．

组合数公式：(1)(2)(1)!

C !!()!

m n n n n n m n m m n m ---+=

=-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 知识内容

排列组合问题的常见模型2

组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：1

1C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）

⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元

素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有1

1m n C --．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

分堆问题

【例1】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；

⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；

⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；

⑷平均分给甲、乙、丙三人；

⑸平均分成三堆．

【例2】有6本不同的书

⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？

⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配

方法？

⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？

⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？

⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？

【例3】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；

⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；

⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．

【例4】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

【例5】把一同排6张座位编号为123456

，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）

A．168B．96C．72D．144

【例6】现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？

【例7】3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）

A．90种B．180种C．270种D．540种

【例8】 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一

名志愿者的方案种数为（ ）

A ． 540

B ． 300

C ． 180

D ． 150

【例9】 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少

安排一个班，不同的安排方法共有

种．（用数字作答）

染色问题

【例10】 如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿三种颜色中

的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ） A ． 30种 B ． 27种 C ． 24种 D ． 21种

【例11】 将123，，填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，

则不同的填写方法共有____________．

3

2

1

321321

【例12】 将1,2,3填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，

则不同的填写方法共有（ ）

A ．6种

B ．12种

C ．24种

D ．48种

【例13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只

用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为

（ ）．

D

C

B A

A ．24

B ．36

C ．72

D ．84

【例14】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多

填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________

种（用数字作答）．

【例15】如图所示A、B、C、D、E为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂

色方法？

E

D

C

B A

【例16】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共

有__________种（用数字作答）．

【例17】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有

__________种（用数字作答）．

错位排列

【例18】编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．

【例19】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，问：共有多少种旅游方案?

【例20】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，问：共有多少种旅游方案?

【例21】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D 地，问：共有多少种旅游方案?