指数型函数作图
专题：指数型函数作图
题型一：平移
1、2-2=1-x y
①x y 2=经过怎样的变换可以得到2-2=1-x y ？
②画出函数2-2=1-x y 的图像.（保留作图痕迹）
题型二：对称
1、与函数()x e x f =的图像关于x 轴对称的函数()=x g . 在同一直角坐标系中分别画出他们的图像.
2、若函数()x f 的图像向左平移1个单位后与x e y =的图像关于y 轴对称，则()x f 的解析式为 .
在同一直角坐标系中分别画出他们的图像.
题型三：加绝对值 1、画出函数1-2=x y 的图像. 2、画出函数1-=x e y 的图像.
作 业 1、3+2?4
1=-x y ①12x y ??= ???
经过怎样的变换可以得到3+2?41=-x y ？
②画出函数3+2?4
1=-x y 的图像.（保留作图痕迹）
2、把函数()x f 的图像向左、向下分别平移2个单位得到x y 2=的图像，求函数()x f 的解析式.
3、画出函数x e y =的图像.
4、画出函数1--=x e y 的图像.
第5讲指数与指数函数(学生版)
第5讲 指数与指数函数 1. 化简[(－2)6]12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 2. 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x － 2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 3．函数f (x )＝a x － 1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝log 2(2x ) 4. 若a >1且a 3x ＋1>a － 2x ，则x 的取值范围为________． 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 指数函数的图象及应用 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－ 2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜． 0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y ＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜ ＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有 §4.2 指数函数 4．2.1 指数函数的概念 学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用． 知识点一 指数函数的定义 一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考 为什么底数应满足a >0且a ≠1? 答案 ①当a ≤0时，a x 可能无意义；②当a >0时，x 可以取任何实数；③当a ＝1时，a x ＝1 (x ∈R )，无研究价值．因此规定y ＝a x 中a >0，且a ≠1. 知识点二 两类指数模型 1．y ＝ka x (k >0，a >0且a ≠1)，当a >1时为指数增长型函数模型． 2．y ＝ka x (k >0，a >0且a ≠1)，当00)是指数函数．( × ) 2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × ) 3．y ＝????12x 是指数衰减型函数模型．( √ ) 4．若f (x )＝a x 为指数函数，则a >1.( × ) 一、指数函数的概念 例1 (1)给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋ 1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B 解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是 课题： 指数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质． 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课： 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？ B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ ② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ ③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R . ④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质： ① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1 ()2 x y =， 2x y = （师生共作→小结作法） ④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1 ()2 x y =的图 象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56) 3、例题讲解 例1：（P 56 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值. 例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 母函数 母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至 少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。 母函数是组合数学的一个重要理论。Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于 的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。在18世纪，Euler L对组合方法的发 展做出了重大贡献。他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。 1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。 在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。 本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。在本章的最后，我们就组合计数的常用方法加以归纳，并用母函数的方法来描述SAT问题和顶点覆盖问题，以帮助读者更好地理解母函数的方法。 1普通型母函数 大家对图1所示的三角形一定不会感到陌生，这个三角形就是通常所说的杨辉下角形，在西方则称之为帕斯卡三角形。世界上最早研究帕斯卡二角形的是中国的贾宪。贾宪生活在大约11世纪上半叶。他发展了中国古代数学的算法理论，在算法的抽象化、程序化，一般化方面做出了极大贡献。贾宪总结了《九章算术》以来的开方程序，并创造了“开方作法本源”。在《释锁》一书中，贾宪将0~6次的二项式展开式的系数，从上而下排成三角形，并提出了增乘方求廉法作为造表法，这是世界上最早的帕斯卡三角形。继贾宪后，在杨辉(1261)、朱世杰(1303)、吴敬(1450)的著作中，都有关于帕斯卡三角形的研究。在欧洲，15世纪的阿拉伯数学家Al-KashiG于1427年在《算术之钥》一书中给出了一个二项式展开式的系数表，这是欧洲对帕斯卡三角形的最早研究；而法国数学家Pascal B则于1654年在《算术三角形》中给出了如图2所示的三角形，但没有给出证明。 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3(2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6、、、、的大小关系是： ．248163235894 512--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，， 函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数， 又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912 284162123135258389493859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作 函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函 数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较 大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的 幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或 3.7 4.1)，如例2中的(3)． 例题4（中档题） 第二章 母函数及其应用 问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。 新方法：母函数方法。 基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而 把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。 2.1 母 函 数 （一）母函数 （1）定义 定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞ =≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。 （2）例 例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是。 ()x G ＝n n n n n n x C x C x C C ++++Λ2210＝()n x +1 例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是 ()x G ＝ΛΛ+++++n x x x 21＝ x -11 （3）说明 ● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定； 例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 ΛΛ+++++n x x x 20＝ x x -1 ● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。 （4）常用母函数 （二）组合问题 （1）组合的母函数 定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ???=,,,2211Λ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为 ()x G ＝∏∑==? ??? ??m i n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为r x 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n . 定理2.1.1的优点： ● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。 （2）特例 推论1 {}n e e e S ,,,21Λ=，则r 无重组合的母函数为 G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2) 组合数为r x 之系数C (n ,r )。 推论2 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,Λ21，则r 无限可重组合的母函数为 G (x )＝ ()n n j j x x -=??? ? ??∑∞=110 (2.1.3) 组合数为x r 之系数C (n ＋r -1,r )。 推论3 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21Λ，每个元素至少取一个，则r 可重组合（r ≥n ）的母函数为 G (x )＝n n j j x x x ??? ??-=??? ? ??∑∞ =11 (2.1.4) 组合数为x r 之系数C (r -1, n -1)。 推论4 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21Λ， 每个元素出现非负偶数次，则r 可重组合的母函数为 G (x )＝( ) () n n n x x x x 224211 1-= +++++Λ Λ (2.1.5) 指数型复合函数的单调性(对象：高一学生60-80分) 学习目标：1.理解复合函数的定义。 2.会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型y=(x)f a 和y=f(x a )） 重难点：指数型复合函数的单调性。 内容要点： 1.复合函数的定义。 设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为 中间变量（内函数），y 为因变量（外函数）。例如y= 2x 412x +?? ??? 这样的函数我们称为复合函 数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。 2.接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。 （1）f(x)=24x x + 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2） （2）f(x)=2 23x x -- 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1） (3) f(x)=2x 增区间[-∞,+∞] 3.那么指数型复合函数单调性如何判断？ 例1. 判断y=2412x x +?? ???单调性。 解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=2x 4x +,y=12u ?? ??? (将原函数分解为内函数和外函数) 由u=2x 4x +=2 (x 2)4+-知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=12u ?? ???为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间） 1绪论 母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一. 母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用. 当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的. 一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系. 母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论. 2母函数基本概念 定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120 ()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑ 为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）． 定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数1 2 01 2 ()! 1! 2! k k k x x x f x a a a a k ≥= =+++∑ 为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）． 数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数. R 上的母函数的全体记为[]R x ????.在集合[]R x ????中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素. 定义2.3. 设0 ()k k k A x a x ∞ == ∑与0 ()k k k B x b x ∞ == ∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥， 有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =. 定义 2.4. 设α为任意实数. []0 ()k k k A x a x R x ∞ =??=∈?? ∑,则()0 ()k k k A x a x αα∞ == ∑称作α 与()A x 的数乘积. 定义2.5. 设0 ()k k k A x a x ∞ == ∑与0 ()k k k B x b x ∞ == ∑是R 上的两个母函数. （1）将()A x 与()B x 相加定义为0 ()()()k k k k A x B x a b x ∞ =+=+∑，并称()()A x B x +为() A x 与() B x 的和，把运算“+”称作加法. （2）将()A x 与()B x 相乘定义为011 00 ()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞ -=?=+++∑ ，并称()() A x B x ?为()A x 与()B x 的积，把运算“?”称作乘法. 3母函数的性质 指数、指数函数 ◆高考导航·顺风启程◆ [知识梳理] 1．根式 (1)根式的概念 ①若 x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示： x n ＝a ??? ? x ＝ n a (当n 为奇数且n ∈N * 时)， x ＝ ±n a (当n 为偶数且n ∈N * 时). (2)根式的性质 ①(n a )n ＝a (n ∈N *)． ②n a n ＝??? a ，n 为奇数， |a | ＝??? ? ? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：a m n ＝ n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ③0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 . (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝ a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝ a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝ a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 1．指数函数图象的画法 画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，? ???－1，1 a . 2．应用指数函数性质时要把握的两点 (1)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究． (2)对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围． [知识自测] 1．(2018·青岛调研)已知函数f (x )＝a x － 2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,2) [解析] 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2,3)． [答案] B 2．函数y ＝a x －1 a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( ) [解析] 当a ＞1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0＜1－1 a ＜1，排除A ， B. 当0＜a ＜1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1 a ＜0，故选D. [答案] D 3．函数y ＝8－23－ x (x ≥0)的值域是 ________ . [解析] ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0＜23－ x ≤23＝8，∴0≤8－23－ x ＜8， ∴函数y ＝8－23－ x 的值域为[0,8)． [答案] [0,8) 一、函数图像间的对称性 对称。 的图像关于与函数、函数______212y A x x y ?? ? ??== 若___)(,2)(=-=x f x f x 则， 这两个函数的图像关于____对称。 抽象化：函数对称。的图像关于与____)()(y x f y x f -== 回顾：①轴对称。）关于）与点（点（y ,,y x y x - ②对称。）关于）与点（点（____,,y x y x - ③对称。）关于）与点（点（____,,y x y x -- 扩展为函数性质： 对称。 的图像关于与____)()(y x f y x f -== 对称。 的图像关于与____)()(y x f y x f -== 对称。的图像关于与____)()(y x f y x f --== 对称。 的图像关于与函数、函数)( 33y B x x y --== 别、自对称与他对称的区C （1）轴对称。 于是偶函数，本身图像关函数y y 2x = （2）轴对称。 的图像关于与函数函数y 212y x x y ?? ? ??== 二、函数图像的平移 图像。 分别画出这两个函数的则函数、已知____,)1(,2)(A =-=x f x f x 发现：函数y =)1(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 类似：函数y =)1(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 图像。 分别画出这两个函数的则函数、已知____,1)(,2)(B =-=x f x f x 发现：函数y =1)(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 那么：函数y =1)(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 C 、。）的对称轴为则函数为偶函数已知________2(,)(-x f x f 。）的对称中心为则函数为奇函数已知________(,)2(x f x f + 系？）的图像是什么样的关与函数思考题：函数x f x f -+3()1( 二、指数类绝对值函数图像 的图像变换得来。 的图像，思考如何通过、画出函数x x 指数函数题型总结 典型一：辨析指数函数 例一、下列函数中，那些是指数函数？( ) （1） (2) (3) (4) -1 (5) 变式1、函数（a>0，a≠1）是指数函数，则________ 变式2、函数（a>0，a≠1）,是指数函数，则k=__,b=___. 典型二、图像过定点问题 例2、函数（a>0，a≠1）的图像一定过_______. 变式1、函数（a>0，a≠1）的图像一定过______. 变式2、已知函数（a>0，a≠1）的图像一定过点P，则点P的坐标是______. 典型三、指数函数解析式问题 例3、若指数函数的图像过A（2、4），则 变式1，已知指数函数的图像过（2，4），则 a=________. 典型四、指数函数的图像问题 例4、已知（a>0，a≠1）的图像经过第二、三、四象限，则a的取值范围是________. b的取值范围是________. 变式、已知（a>0，a≠1）的图像经过第一、三、四象限，则a 的取值范围是________. b的取值范围是________. 典型五、利用函数的单调性比较大小，解不等式，求最值。 例6、试比较下列各组数的大小。 （1）、（）和（）（2）（）和1 （3）和（）（4）， 例7、解不等式 （1）（）（2）＜（，） (3)求函数的定义域。 例8、已知指数函数），若在上的最大值为16，则a=_______. 典型六、图像变换 例9、画出下列函数图像，并说明是有的图像怎么变换的。 （1） (2) (3) (4) (5)（6） 典型七、求复合函数的定义域和值域。 （1） (2) (3) 典型8、与指数函数有关的奇偶性问题 例11、下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（） A、 B、 B、 C 、 D、 典例12、已知函数求：1判断并证明的奇偶性。 2、判断并证明的单调性。指数函数典型例题详细解析汇报
指数函数典型例题详细解析
第四章 4.2.1 指数函数的概念
高中数学指数函数及其性质(一)
母函数
指数函数典型例题详细解析
组合数学 2章 母函数
指数型复合函数的单调性
母函数的概念与性质
最经典总结-指数、指数函数
指数型函数的对称、平移与绝对值函数图像,必修一数学 经典函数题
指数函数典型例题总结