层次分析法介绍

2 层次分析法

2.1层次分析法的简单介绍

层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。

在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。

2.2层次分析法的基本层次结构

第一类：最高层，又称顶层、目标层。

第二类：中间层，又称准则层。

第三类：最底层，又称措施层、方案层。

层次结构图

（一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层

(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型

2.3 判断矩阵

设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ?=A 显然，判断矩阵具有性质：

??????

?

??=A nn n n n n a a a a a a a a a ΛM M M ΛΛ212222111211 ,0>ij a ,1

ij

ji a a =

1=ii a )...,2,1,(n j i =

所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。 现在，来看看如何确定ij a 的取值？T.L.Satty 的做法是用数字1～9及其倒数作为标度

（见表2-1）。选择1～9方法是基与下述根据：

（1）在估计事物质的区别时，人们常用五种判断表示，即相等、较强、强、很强、绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较，这样，总共有九个等级，它们有连贯性，便于在实践中应用。

（2）心理学家认为，人们同时在比较若干个对象时，能够区别差异的心理学极限为27±个对象，这样它们之间的差异正好可以用九个数字表示出来。Satty 还将1～9标度方法同另外一种26标度方法进行过比较，结果表明1～9标度是可行的，并且能够地将思维判断数量化。

表2-1

判断值 比较关系 强烈程度 1 j

i

Y Y =

相等 3 j i Y Y ∞> i Y 稍好于j Y 5 j i Y Y >> i Y 明显好于j Y 7 j i Y Y >>> i Y 比j Y 好得多 9 j i Y Y >

i Y 极端好于j Y 1/3 j i Y Y < i Y 稍次于j Y 1/5 j i Y Y << i Y 明显次于j Y 1/7 j i Y Y <<< i Y 比j Y 次得多 1/9

j i Y Y ∞<

i Y 绝对次于j Y

2，4 ，6 ，8及 1/2 ， 1/4 ， 1/6 ， 1/8 表示强烈程度在相应相邻等级之间

2.4一致性检验

虽然通过两两成对比较得到的判断矩阵不一定满足一致性，但人们还是希望能找到一个数量标准，用它来衡量矩阵A 不一致的程度。假如，把一块单位重量的分成块，其重量分别为),,2,1(n i w i Λ=,则n y y y ,,,21Λ在z 中所占的比重可

按其重量排序，即为

T ),,,21n w w w Λ（，i y 与j y 的相对重量为j

i

ij w w a =，这样就能得到判断矩阵

??????

???

??????

????

?=A n

n n

n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w ΛM M M ΛΛ21222

12121

11

显然，矩阵A 是满足一致性的互反矩阵，并且有[]??????=A T n n w w w w w w 1,,1,1,,,2121ΛΛ 记T

=),,,(21n w w w w Λ?，

则 []w n w w w w w w w w n n ρΛρρ=???????=A T

,,,1,1,12

121 即对于一致的判断矩阵而言，排序向量w ρ

就是A 的特征向量。反之，若A 是一致性的正互反矩阵，则有性质：

1=ii a ， ji

ij a a 1

=

， ik ik ij a a a =? 因此j ij i a a a 11=? ，即 j i ij a a a 111=，这样的话，就有()()n n n n ij a a a a a a a 1121111211,,,1,,1,1ΛΛT

????

???==A

类似地可以证明T

???

???='n a a a w 112

111,,1,1Λ 是A 的属于特征根n 的特征向量，并且由于A 是相对变量w 关于目标的判断阵，故w '为诸对象的一个排序。 除了以上性质外，一致的正互反矩阵A 还具有性质：A 的转置T A 也是一致的；的每一行均为任意指定的一行的倍数，从而1)(=A rank A 的最大特征根

n =max λ，其余的特征根为0；设A 的最大特征根m ax λ对应有特征向量

T =),,,(21n w w w w Λρ

，则?=j

i ij w w a

由上面的性质有，当A 是一致阵时，n =max λ，将m ax λ对应特征向量标准化后，

仍记为T =),,,(21n w w w w Λρ，即w ρ

满足

∑==n

i i w 1

1

称w ρ为权向量。权向量w ρ在层次分析法中有很重要的作用，他表示n y y y ,,,21Λ在目标z 中的比重。

关于正互反矩阵，根据Perron-Frobenius 定理有结论：

（1） 正互反阵存在正实数的最大特征根，这个特征根是单根，其余的特征根

的模均小于它，并且这个最大的特征根有正的特征向量（特征向量的每一分量皆为正）。 （2） n 阶正互反矩阵()

n

m ij

a ?=A 是一致阵的充分必要条件是n =max λ。

这样若判断矩阵不具有一致性，则,max n >λ并且这时的权向量就不能真实地反映{}n y y y ,,,21Λ在目标z 中所占的比重，衡量不一致程度的数量指标被称作一致性指标，为 1

max --=

n n

CI λ

由于∑==n

i i n 1

λ，实际上CI 相当于1-n 个特征根n

λλ,,2Λ（最大特征值m ax λ除外）的平均值。当然对于一个阵来说，一致性指标CI 等于0，并且由此可以知CI 的

值越小越好。

但是仅仅依靠CI 值来作为判断矩阵A 是否具有较好的一致性的指标是不够的，因为可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大小有关，即随着值的增大误差将增大。为此，Satty 又提出平均随机一致性指标RI

对于固定的n ，随机构造正互反矩阵A ，其中，ij a 是从9

1

,,31,21,9,,2,1ΛΛ

中随机抽取的，这样的A 最不一致，取充分大的子样（500个样本）得到A 的

最大特征根的平均值m

ax λ'定义 1

max --=

n n

RI λ

令RI

CI

CR =

，称CR 为随机一致性比率，当1.0

性比率RI CI

CR CR 1= 其中1CR 为准则层-目标层的随机一致性比率

121)W CI CI CI CI i Λ，，（= 121)(W RI RI RI RI i Λ，，= 1W 是准则层-目标的

权数向量，i i RI CI 是方案层对准则层各元素的值 n i Λ

2,1=

2.6层次单排序和层次总排序

当判断矩阵为一致性矩阵时，可以用它对应于特征根入的特征向量作为被

比较因素的权向量，当判断矩阵基本符合完全一致性条件，不一致程度可接受，能够允许其特征向量作为权数向量，否则要重新成对比较，对判断矩阵加以调整。

当方案小于等于两个时不用考虑一致性问题，当方案越多，其不一致程度就越大，CI 越大判断矩阵的不一致程度越严重。

所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权数。它是本层次所有因素相对于上一层次而言的重要性进行排序的基础。层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题即对判断矩阵B ，计算满足W max W λ=B 的特征根与特征向量。式中m ax λ为

B 的最大特征根；W 为对应于m ax λ的正规化特征向量；W 的分量i W 只是相应因素单排序的权值。

层次总排序利用同一层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权数，这就是层次总排序。层次总排序需要从上而下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序，假定上一层所有因素m A A A Λ,,

21得到的总排序已完成，得到的权数分别为：m a a a Λ,,21，

与i a 对应的本层因素n B B B Λ,,21单排序结果为：i n i i b b b ,,,21Λ这里，若j B 与i

A 无关则0=i

j

b 层次总排序如表2-2所示。显然111

=∑∑==n i m

j i j i b a 即层次总排序仍然是归

一化正规向量。 表2-2 层次

1A

2A K

m A 层次的总排序

1a

2a K m a 1B

11

b

21

b

K

m b 1

∑=m

i i i b a 11 2B

1

2

b

22

b

K

m b 2

∑=m

i i i b

a 1

2

M

M

M

M

M

M

n B

1

n b

2n b

K

m n b

∑=m

i i

n

i b

a 1

此外最后的层次总排序及一致性检验还可以根据因素层各层从下往上的顺序，每层都作排序和一致性检验，直至得到各因素对目标层）（S 的权数向量W ，以各方案对准则层每个因素的权数向量i W 和准则层的各因素对目标层的权数向量2W 计算组合权数向量，对各方案作最后的排序，并通过一致性检验，组合权数向量W 的计算公式为 23W W W ?=其中3W 为 将i W 作为列向量所构成矩阵。