特征方程法求解递推关系中的数列通项(二)

特征方程法求解递推关系中的数列通项（二）

三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ

若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11

2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=

-a n r

p r p a a c n n 其中 例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3

24++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 .N ,)2

21211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)5

1(521∈-=

-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n

n λλ 即.N ,)

5(24)5(∈-+--=n a n n n

例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

25131+-=

+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a

（2）若,31=a 求;n a

（3）若,61=a 求;n a

（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？ 解：作特征方程.3

2513+-=

x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答. (1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a

(2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n --+-=

)1(11 5

1131)1(531?-?-+-=n ,8

121-+-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5

1751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

11)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ 令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743558

1111∈++=+-+=+=n n n n b a n n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有

.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当1

1351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1

135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.

练习题：

求下列数列的通项公式：

1、 在数列}{n a 中，,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ，求n a 。（key ：

21)1(32---+?=n n n a ）

2、 在数列}{n a 中，,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ，求n a 。（key ：)14(3

1-=n n a ） 3、 在数列}{n a 中，,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ，求n a 。（key ：121-=+n n a ）

4、 在数列}{n a 中，,2,321==a a n n n a a a 3

13212+=++，求n a 。（key ：2)3

1(4147--?+=n n a ） 5、 在数列}{n a 中，,35,321=

=a a )4(3112n n n a a a -=++，求n a 。（key ：1321-+=n n a ） 6、 在数列}{n a 中，,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12，且1=+q p .求n a .（key ：1

=q 时，))(1(a b n a a n --+=；1≠q 时，q

q a b b aq a n n +---+=-1))((1

） 7、 在数列}{n a 中，,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （q p ,是非0常数）.

求n a .（key ： b p

q q p p a a n n )](1[1

---+= (q p ≠)； b n a a n )1(1-+=）(q p =) 8、在数列}{n a 中，21,a a 给定，21--+=n n n ca ba a .求

n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ?--+?--=----α

βαβαβαβ)(βα≠；若βα=，上式不能应用，此时，.)2()1(1122----?-=n n n a n a n a αα

附定理3的证明

定理3(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中

.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11

2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=

-a n r

p r p a a c n n 其中 证明：先证明定理的第（1）部分.

作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++h

ra q pa a d n n n n 11 h

ra h q r p a n n +-+-=λλ)( h d r h q r p d n n ++-+-+=

)())((λλλλ λ

λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ① ∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+?++=

q p h r h r q p λλλλ 将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n r

h rd r p d d n n n λλ ②

将r p x =

代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r

p ≠于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化： .1)(1

1r

p r d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+?-+=--+=+ ④ 由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r

h p -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h r r h p p r r h p h r p r h λλ 将此式代入④式得.N ,11

1∈-+=+n r

p r d d n n λ 令.N ,1∈=

n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r

p r λ-为公差的等差数列. ∴.N ,)1(1∈-?-+=n r

p r n b b n λ 其中.11111λ

-==a d b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=

+=n b d a n n n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=

+=0

001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.

再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,2

1∈--=n a a c n n n λλ

故21111λλ--=+++n n n a a c ，将h

ra q pa a n n n ++=+1代入再整理得 N ,)()(22111∈-+--+-=+n h

q r p a h q r p a c n n n λλλλ ⑤ 由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21r p r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：

N ,2211211∈--+--+

?--=+n r p h q a r p h q a r p r p c n n n λλλλλλ ⑥ ∵特征方程h

rx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ?方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xr p xh q x --=

-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程. ∴222111,λλλλλλ-=---=--r

p h q r p h q 将上两式代入⑥式得

N ,2121211∈--=--?--=-n c r

p r p a a r p r p c n n n n λλλλλλ 当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为

r p r p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有 .))(()(12121111211------=--=n n n r

p r p a a r p r p c c λλλλλλ 当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由2

1λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,11

2∈--=n c c a n n n λλ(证毕)

注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h

ra q pa a n n n ++=+1可化归为较易解

的递推关系,在此不再赘述.