高中物理选修3_2第四章电磁感应中“滑轨”问题(含双杆)归类

电磁感应双导轨问题

1、两根足够长的平行金属导轨，固定在同一水平面上，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离L=0.2m 。磁感强度B=0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两根金属杆并排靠在一起，且都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s ，金属杆甲的加速度为1.37m/s 2，问此时甲、乙两金属杆速度v 1、v 2及它们之间的距离是多少？

R

v v l B F 2)(2122-=安 ① ma F F =-安 ② 21mv mv Ft += ③

由①②③三式解得：s m v s m v /85.1,/15.821== 对乙：2mv t HB =? ④ 得C Q mv QIB 85.12==

又R

BlS R Q 22相对

=?=

φ ⑤ 得m S 5.18=相对

2、如图，水平平面固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L ，右边两导轨间的距离为L ，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场。ab 、cd 两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab 棒的质量为2m ，电阻为2r ，cd 棒的质量为m ，电阻为r ，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd 棒在沿导轨向右的水平恒力F 作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。

⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？ ⑵在达到稳定状态时ab 棒产生的热功率多大？

解：⑴cd 棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为I ，cd 和ab 棒分别受到的安培力为F 1、F 2，速度分别为v 1、v 2,加速度分别为a 1、a 2,则

r

v v BL r BLv BLv r E I 3)2(3232121-=-==

①

F 1=BIL F 2=2BIL

② m BIL F a -=

1 m

BIL

m BIL a ==222

③

开始阶段安培力小，有a 1>>a 2，cd 棒比ab 棒加速快得多，随着（v 1-2v 2）的增大，F 1、F 2增大，a 1减

小、a 2增大。当 a 1=2a 2时，（v 1-2v 2）不变，F 1、F 2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动。将③式代入可得两棒最终作匀加速运动加速度：

m

F

a 321=

m

F a 32=

④

⑵两棒最终处于匀加速运动状态时a 1=2a 2，代入③式得：BL

F

I 3=

⑤ 此时ab 棒产生的热功率为：2

222

922L B r

F r I P =?=

⑥

3、两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L ，足够长，在其上放置两根长也为L 且与导轨垂直的金属棒ab 和cd ，它们的质量分别为2m 、m ，电阻阻值均为R （金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场中。

（1）现把金属棒ab 锁定在导轨的左端，如图甲，对cd 施加与导轨平行的水平向右的恒力F ，使金属棒

cd 向右沿导轨运动，当金属棒cd 的运动状态稳定时，金属棒cd 的运动速度是多大？

（2）若对金属棒ab 解除锁定，如图乙，使金属棒cd 获得瞬时水平向右的初速度v 0，当它们的运动状态

达到稳定的过程中，流过金属棒ab 的电量是多少？整个过程中ab 和cd 相对运动的位移是多大？

⑴当cd 棒稳定时，恒力F 和安培力大小相等，方向相反，以速度v 匀速度运动，有：

F =BIL ……………………………………………………………………………………①

又R

BLv I 2=…………………………………………………………………………………②

联立得： 2

22L

B FR

v =

………………………………………………………………………③ ⑵ab 棒在安培力作用下加速运动，而cd 在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab ，cd 棒开始匀速运动。

设：这一过程经历的时间为t ，最终ab 、cd 的速度为v ′，通过ab 棒的电量为Q 。则对于ab 棒由动量守恒：BILt ＝2mv ′

即：BLQ ＝2 mv ′…………………………………………………………………………………④ 同理，对于cd 棒：－BILt ＝mv ′－mv 0 即： BLQ ＝m （v 0-v ′）………………………⑤

由④⑤ 两式得：BL

mv Q 320=…………………………………………………………………⑥

设整个过程中ab 和cd 的相对位移为S ，由法拉第电磁感应定律得：

t BLS t E =?Φ=…………………………………………………………………………⑦

流过ab 的电量：t R

E

Q 2=

………………………………………………………………⑧

甲

O 乙

由⑥⑦⑧两式得：2

2034L B R

mv S =

…………………………………………………………………⑨

评分标准：①⑥式各3分，②③⑨式各2分，④⑤⑦⑧式各1分，共16分。

4、如图所示，固定于水平桌面上足够长的两平行导轨PQ 、MN ，PQ 、MN 的电阻不计，间距为d =0.5m .P 、M 两端接有一只理想电压表，整个装置处于竖直向下的磁感强度B =0.2T 的匀强磁场中.电阻均为Ω=1.0r ，质量分别为m 1=300g 和m 2=500g 的两金属棒L 1、L 2平行的搁的光滑导轨上，现固定棒L 1，L 2在水平恒力F =0.8N 的作用下，由静止开始作加速运动，试求：

（1）当电压表读数为U =0.2V 时，棒L 2的加速度多大？ （2）棒L 2能达到的最大速度v m .

（3）若固定L 1，当棒L 2的速度为v ，且离开棒L 1距离为s 的同时，撤去

恒力F ，为保持棒L 2作匀速运动，可以采用将B 从原值（B 0=0.2T ）逐渐减小的方法，则磁感应强度B 应怎样随时间变化（写出B 与时间t 的关系式）？

（1）∵L 1与L 2串联 ∴流过L 2的电流为：I =

21

.02.0==r u A ① L 2所受安培力为F ′=BdI =0.2N ② 2.15

.02

.08.02=-='-=

∴m F F a m/s 2 ③ 评分标准：①②③式每式各2分.

（2）当L 2所受安培力F 安=F 时，棒有最大速度v m ，此时电路中电流为I m .则F 安=Bd I m ④

I m =

r Bdv m

2 ⑤ F 安=F ⑥ 由④⑤⑥式得v m =16222=d

B Fr m/s ⑦ 评分标准：④⑤⑥式每式1分，⑦式2分.

（3）要使L 2保持匀速运动，必须回路中磁通量保持不变，设撤去恒力F 时磁感应强度为B 0，t 时磁感应强度为B t ，则B 0ds =B t d

（s +vt ） ⑧ （2分） vt

s s B B t

+=∴0 ⑨ （2分）

5、如图所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间距是L ，上层导轨上搁置一根质量为m ，电阻是R 的金属杆ST ，下层导轨末端紧接着两根竖直平面的半径为r 的光滑绝缘半圆形轨道，在靠近半圆形轨道处搁置一根质量也是m ，电阻也是R 的金属杆AB 。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下的匀强磁场。当闭合开关S 后，当有电荷量q 通过金属杆AB 时，杆AB 滑过下层导轨，进入半圆形轨道并且刚好能通过轨道最高点D ′F ′后滑上上层导轨。设上下两层导轨都是够长，电阻不计。

⑴求磁场的磁感应强度

⑵求金属杆AB 刚滑到上层导轨瞬间，上层导轨和金属杆组成的回路中的电流

⑶问从AB 滑到上层导轨到具有最终速度这段时间里上层导轨回路

中有多少能量转变为能？

解：⑴开关闭合后，有电流通过AB 棒，在安培力F 作用下获得加速度，

离开下层

轨道时速度为v 0，由动量定理，得

0mv F t BIL t BLq

=== ⑴

S

F ′

D ′

B

A S

T

AB 棒在半圆轨上运动时，机械能守恒，则22

011222mv mv mgr

=+ ⑵

AB 棒在半圆轨最高点时，由牛顿第二定律得2

mv mg

r = ⑶

联解⑴⑵⑶式，得：

B =

⑵AB

滑入上层轨道瞬间的速度为v =

产生感应电动势为

0E BLv == 回路中电流

002E I R =

=

⑶当两杆速度相等时，回路中磁通量不变化，电流为零，两杆作匀速直线运

动，达到最终速度v

，由动量守恒定律，得：0012 2mv mv v v ===由能量关系，得：

22011111122222244U mv mv mgr m gr mgr ?=

-?=-??=

6、如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL 、PQ 固定于同一水平面，它们之间的距离为l ，电阻可忽略不计；ab 和cd 是两根质量皆为m 的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动．两杆的电阻皆为R ．cd 的中点系一轻绳，绳的另一端绕过定滑轮悬挂一质量为M 的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B ．现两杆及悬物都从静止开始运动，根据力学、电学的规律以及题中（包括图）提供的消息，你能求得那些定量的结果？

解 (1) 刚释放时,杆cd 的速度为零 ，这时cd 的加速度M

m Mg

a +=

1 ， 方向沿轨道水平向右

（2）稳定后，两根金属细杆加速度相同，且与M 的加速度大小相同 M

m Mg

a +=22方向沿轨道水平

向右

（3）稳定后，金属细杆受安培力的大小l BI M

m mMg

ma F 22=+==

（4）稳定后，回路中的电流()

M m Bl Mmg

I +=

2

（5）稳定后，回路热功率()R M m Bl Mmg P 2

22???

?

??+=

（6）稳定后，ab 和cd 两根金属细杆的速度差是恒定的 )

2(222M m l B MmgR Bl E V V ab cd +==-

7、如图2—10所示，足够长的两根相距为0．5m 的平行光滑导轨竖直放置，导轨电阻不计，磁感应强度B 为0．8T 的匀强磁场的方向垂直于导轨平面。两根质量均为0．04kg 、电阻均为0．5Ω的可动金属棒ab 和cd 都与导轨接触良好，导轨下端连接阻值为1Ω的电阻R ，金属棒ab 用一根细绳拉住，细绳允许承受的最大拉力为0．64N 。现让cd 棒从静止开始落下，直至细绳刚被拉断，此过程中电阻R 上产生的热量为0．2J ，求：

（1）此过程中ab 棒和cd 棒产生的热量cd ab Q Q 和； （2）细绳被拉断瞬时，cd 棒的速度v 。

（3）细绳刚要被拉断时，cd 棒下落的高度h 。

B ）标准答案：（1）0.4J 0.9J （2）1.88m/s （竖直向下） （3）3.93m 提示：（1）

J 9.0Q R r

Q J 6.0Q R r Q Q J 4.0Q r R Q Q cd cd ab R ab ======并并

并并并 （2）s /m 88.1BL

)R r (I v A 9.0I A 3.0I A 6.0LB mg

T I cd cd R m ab =+====-=

并 （3）2mv 2

1

Q mgh =-总 h=3.93m

8．如图所示，两条光滑平行导轨相距为L ，被固定在与水平面成θ的绝缘斜面上，导轨的电阻忽略不计。

ab 、cd 是横放在导轨上的直导线，它们的质量均为m ，电阻均为R 。整个装置处于垂直于导轨所在平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B 。现直导线ab 在平行于导轨向上的恒定拉力作用下沿导轨向上匀速运动，直导线cd 处于静止状态，求作用在ab 上的恒定拉力的功率。

解答：

ab 向上运动，ab 中产生感应电动势，感应电流的方向为b a

c d b ，cd 受到沿斜面向上的安培力，并且处于静止状态，设电路中的电流为I ，则有

θmgsin BIL = ○1 设ab 向上运动的速度为v ，则有

2R

BLv I = ○2

ab 受到沿斜面向下的安培力，设恒定拉力为F ，则有 θmgsin BIL F += ○3 由○1○2○3式可得F 的功率

R )BL

mgsin 4(Fv P 2θ==

9、如图所示，aa /、bb /为在同一水平面的两条相距为d 的平行长直金属导轨，其上平行地静置有两根可在导轨上无摩擦滑动的金属棒A 和B ，两金属棒的质量均为rn ，电阻均为R ，棒与导轨接触良好，其他电阻不计，两导轨间有磁感应强度为B 的匀强磁场，其方向垂直导轨平面竖直向下．今在极短时间对金属棒A 施加一个水平向右的冲量I 0，从而使两棒在导轨平面上运动，最终A 、B 两棒刚好相碰．在整个过程中，求： (1) 在每根棒上产生的热量； (2) 流过每根棒上的电量q ； (3) A 、B 两棒最初的距离x ．

10、如图所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间距是L ，上层导轨上搁置一根质量为m ，电阻是R

的金属杆ST ，下层导轨末端紧接着两根竖直平面的半径为r 的光滑绝缘半圆形轨道，在靠近半圆形轨道处搁置一根质量也是m ，电阻也是R 的金属杆AB 。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下的匀强磁场。当闭合开关S 后，当有电荷量q 通过金属杆AB 时，杆AB 滑过下层导轨，进入半圆形轨道并且刚好能通过轨道最高点D ′F ′后滑上上层导轨。设上下两层导轨都是够长，电阻不计。

⑴求磁场的磁感应强度

⑵求金属杆AB 刚滑到上层导轨瞬间，上层导轨和金属杆组成的回路中的电流

⑶问从AB 滑到上层导轨到具有最终速度这段时间里上层导轨回路中有多少能量转变为能？

θ θ B a b c

d