初中几何中线段和与差最值问题

初中几何中线段和（差)的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析:

一)、已知两个定点：

１、在一条直线m 上,求一点Ｐ，使P Ａ+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：

(２）点A 、B 在直线同侧:

2、在直线m 、n 上分别找两点Ｐ、Ｑ，使ＰＡ+P Ｑ+QB 最小。 （１）两个点都在直线外侧：

(2）一个点在内侧,一个点在外侧:

(３)两个点都在内侧：

m m

B m

A

B

m

n m

n

n m

n

n

n m

(４)、台球两次碰壁模型

变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.

变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧， 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA ＋PQ+Q Ａ周长最短．

二)、一个动点,一个定点: （一）动点在直线上运动:

点Ｂ在直线ｎ上运动,在直线m 上找一点Ｐ，使PA ＋PB 最小(在图中画出点Ｐ和点B ） 1、两点在直线两侧:

2、两点在直线同侧：

(二）动点在圆上运动

点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点Ｐ，使PA+P Ｂ最小(在图中画出点P 和点B ） １、点与圆在直线两侧:

m n

m

n

m n

m

m

2、点与圆在直线同侧:

三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线ｍ上的两个动点,P 在Q 的左侧，且ＰＱ间长度恒定，在直线ｍ上要求P 、Q 两点，使得PA+P Ｑ+QB 的值最小。（原理用平移知识解） （1）点A 、B 在直线ｍ两侧：

作法：过A 点作AC ∥ｍ，且ＡＣ长等于ＰＱ长,连接ＢC ，交直线m 于Ｑ,Q 向左平移PQ 长,即为Ｐ点，此时P 、Q 即为所求的点。 (2)点A 、B 在直线ｍ同侧：

基础题

1.如图1,∠ＡO Ｂ=４5°，P 是∠AO Ｂ内一点，PO ＝１0，Ｑ、R 分别是ＯA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为

.

2、如图２,在锐角三角形ABC 中，AB=4

,∠BAC=４５°，∠B ＡＣ的平分线交B Ｃ于点D,

Ｍ,Ｎ分别是AD 和ＡＢ上的动点，则BM+ＭＮ的最小值为 .

m O A P m O

A B m A B E Q P m

A B Q m

A

Q m

A C Q P

3、如图3，在锐角三角形ABC中，AＢ=52，∠BAＣ=４5,BAC的平分线交BC于D，M、N 分别是AＤ和AB上的动点，则ＢＭ+ＭN的最小值是。

4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AＤ是BC边上的中线,M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=2,EM+ＣM的最小值为．

5、如图５,在直角梯形ＡBＣＤ中,∠ABC=９０°，AD∥ＢC，AＤ＝４，AB＝５,BC=6，点P 是ＡB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__＿__＿__＿_.

６、如图6，等腰梯形AＢＣD中,AＢ=AＤ=ＣD=1，∠AＢC=60°,P是上底，下底中点EF直线上的一点,则PＡ+PB的最小值为．

7、如图７菱形ＡBCD中,AB＝２,∠BAD=６0°，E是ＡB的中点，P是对角线AC上的

一个动点,则PＥ+PB的最小值为.

8、如图8，菱形AＢCＤ的两条对角线分别长6和8,点P是对角线ＡC上的一个动点,点M、

N分别是边AB、BC的中点，则PＭ+ＰＮ的最小值是

９、如图9,圆柱形玻璃杯,高为12ｃm，底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿４ｃm与蜂蜜相对的点Ａ处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________ｃｍ．

１0、如图1０所示,已知正方形ABCD的边长为８,点M在DC上,且DM=２,Ｎ是

AC上的一个动点,则DＮ+MN的最小值为.

1１、如图1１，MN是半径为１的⊙O的直径，点A在⊙O上，

∠ＡＭN＝30°，B为AN弧的中点,P是直径MＮ上一动点,

则PＡ+ＰB的最小值为（ )

(A)2（B）(Ｃ)1 (D)2

压轴题

1、如图，正比例函数x y 21=

的图象与反比例函数x

k

y =（k ≠０)在第一象限的图象交于Ａ点，过Ａ点作x 轴的垂线,垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2)如果Ｂ为反比例函数在第一象限图象上的点(点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为１,在x 轴上求一点Ｐ,使ＰＡ+PB 最小.

2、如图,一元二次方程0322

=-+x x 的二根1x ，2x （1x <2x ）是抛物线

c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B,C 的横坐标,且此抛物线过点A(3，6）．?（1）

求此二次函数的解析式； (２)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与A Ｃ相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标;?（3)在x 轴上有一动点M ，当M Ｑ+MA 取得最小值时,求Ｍ点的坐标．

3、如图，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（１，3) ，△A ＯB 的面积是3. （１)求点B 的坐标；

（2)求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式; （3）在（２)中抛物线的对称轴上是否存在点Ｃ,使△ＡO Ｃ的周长最小?若存在,求出点Ｃ的 坐标；若不存在，请说明理由.

4．如图,抛物线y=错误!x2-错误!x＋3和y轴的交点为A,M为ＯA的中点，若有一动点Ｐ，自M点处出发,沿直线运动到x轴上的某点（设为点E)，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点Ｆ),最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长.

5.如图，已知在平面直角坐标系ｘOy中，直角梯形OABＣ的边OＡ在y轴的正半轴上，OＣ在ｘ轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OＣ=3,过点B作BD⊥BC，交OA于点Ｄ．将∠DBＣ绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（１）求经过Ａ、Ｂ、C三点的抛物线的解析式;

(2）当BＥ经过（1)中抛物线的顶点时，求ＣＦ的长；

(3）在抛物线的对称轴上取两点P、Ｑ(点Ｑ在点P的上方），且PＱ=1,要使四边形BＣPＱ的周长最小，求出Ｐ、Ｑ两点的坐标．

6．如图，已知平面直角坐标系，Ａ,B 两点的坐标分别为A (2，-３），B (4，-1）若C (a ，０)，D (a+3,0)是x 轴上的两个动点,则当a 为何值时,四边形ABDC 的周长最短.

7、如图，在平面直角坐标系中，矩形

的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y

轴的正半轴上,OA=3,OB=4，D 为边OB 的中点.

(1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时,求点Ｅ的坐标;

(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且ＥF=2，当四边形ＣD ＥF 的周长最小时，求点Ｅ、F 的坐标.

二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：

1、在一条直线m 上，求一点Ｐ，使PA 与PB 的差最大； （1)点A 、Ｂ在直线ｍ同侧：

解析：延长AB 交直线ｍ于点P ，根据三角形两边之差小于第三边,Ｐ’A —P ’B ＜AB ，而ＰA —PB=A Ｂ此时最大，因此点P 为所求的点。

m

B

A

m

B

A

（2）点A 、B 在直线m 异侧:

解析：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB ＝P Ｂ’，PA-P Ｂ最大值为AB ’ 练习题

1. 如图,抛物线y ＝-错误!x 2

－x +2的顶点为A ，与y 轴交于点B . (1)求点A 、点Ｂ的坐标；

(2)若点P 是ｘ轴上任意一点,求证：PA －PB ≤AB ; (3)当P Ａ-PB 最大时，求点Ｐ的坐标．

2. 如图,已知直线y ＝

2

1

x +1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y ＝2

1x 2

＋b ｘ+ｃ与直线交于A 、E 两点,与ｘ轴交

于B 、Ｃ两点,且Ｂ点坐标为(1，０).

（１)求该抛物线的解析式;

(2）在抛物线的对称轴上找一点Ｍ，使|AM -M Ｃ|的值最大，求出点M 的坐标.

y

x

C B A

D

O

E

y

B'P

P'

x

C

l

yx B

A 3、在直角坐标系中，点A 、Ｂ的坐标分别为(－4，-1)和(－2，－5）;点P 是ｙ轴上的一个动点:

⑴点P 在何处时，PA+ＰB 的和为最小?并求最小值. ⑵点Ｐ在何处时,∣PA—PB∣最大?并求最大值．

4. 如图，直线y ＝-，3x ＋2与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙Ａ经过点B 和点Ｏ，直线BC 交⊙Ａ于点D ． （1)求点D 的坐标；

（2)过O ，C ,Ｄ三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使线段PO 与PD 之差的值最大？

若存在,请求出这个最大值和点P 的坐标.若不存在，请说明理由．

５、抛物线的解析式为2

23y x x =-++,交x 轴与A 与Ｂ,交y 轴于C. ⑴在其对称轴上是否存在一点P ，使⊿APＣ周长最小，若存在，求其坐标; ⑵在其对称轴上是否存在一点Q ，使∣ＱB —QC∣的值最大,若存在求其坐标．

6、已知:如图，把矩形OCBＡ放置于直角坐标系中,ＯC＝３,ＢC=2，取AＢ的中点M,连接MC,把△ＭＢC沿ｘ轴的负方向平移ＯC的长度后得到△DAO.?(1)试直接写出点D的坐标;?(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线

上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP．?①若以Ｏ、P、Q为顶点

的三角形与△DＡＯ相似，试求出点P的坐标；?②试问在抛物线的对

称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB｜的值最大?

7、如图,已知抛物线C１的解析式为y=-ｘ2+２x＋8,图象与y轴交于D点,并且顶点A在双曲线上.

（1）求过顶点A的双曲线解析式;?(2)若开口向上的抛物线Ｃ2与C１的形状、大小完全相同,并且Ｃ２的顶点P始终在C１上,证明:抛物线C2一定经过A点;

(３)设(2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点,且与双曲线交于E点，当Ｄ、Ｏ、E、F四点组成的四边形的面积为16．5时，先求出P点坐标,并在直线y=x上求一点M，使|ＭＤ-MＰ|的值最大.

8、如图,已知抛物线2

43

y x bx c =

++ 经过A(３，0),B(0，4) ． （1）求此抛物线解析式;?(２）若抛物线与x 轴的另一交点为Ｃ,求点Ｃ关于直线ＡB 的对称点C ’的坐标；

（3) 若点D 是第二象限内点,以D 为圆心的圆分别与x 轴、y 轴、直线AB 相切于点E 、Ｆ、H ，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P ，使得|ＰＨ－PA |的值最大？若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。

三、其它非基本图形类线段和差最值问题

1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。 ３、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点,根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

1、如图１2，在△A ＢC 中，∠Ｃ=90°，A Ｃ＝4，BC ＝2，点A 、C 分别在ｘ轴、ｙ轴上,当点A 在ｘ轴上运动时,点Ｃ随之在ｙ轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）

A ． 222+ B.52?Ｃ。 62 D. 6

A B

C O x y

A B

C O x

y

D

E F

H

2、已知：在△ＡBC 中,BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题：

(1）如图13,当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，ａ＝b=3,且∠AC Ｂ＝60°,则CD ＝ ;

（２)

如图14，当点D 与点C 位于直线ＡB 的同侧时，a=b ＝６,且∠ACB ＝90°,则CD ＝ ;

（3）如图15,当∠ＡＣB 变化,且点D 与点C 位于直线ＡB 的两侧时， 求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

3、在Rt △ABC 中,∠A ＣB =９0°，ｔａｎ∠ＢAC =

1

2

. 点D 在边AC 上(不与A ，C 重合）,连结BD ，Ｆ为B Ｄ中点.

（1）若过点Ｄ作DE ⊥A Ｂ于Ｅ,连结CF 、EF 、CE ，如图１. 设CF kEF ，则k = ； （２)若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得Ｄ、Ｅ、Ｂ三点共线,点F 仍为BD 中点，如图2所示.

求证：B Ｅ-D Ｅ=2ＣF ;

（1）若ＢC =6,点Ｄ在边ＡC 的三等分点处,将线段AD 绕点A 旋转,点F 始终为BD 中点, 求线段CF 长度的最大值.

B

C A

D

E F

B D

E

A F C B

A

C 1图2图备图

４、如图,四边形ＡBＣD是正方形,△ＡBE是等边三角形，Ｍ为对角线ＢＤ(不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当Ｍ点在何处时,AM+ＣM的值最小;

②当M点在何处时,AM+BM+ＣM的值最小,并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋ＣM的最小值为1

3+时

,

求正方形的边长.

5、如图，二次函数y=-x2+ｂｘ＋c与x轴交于点B和点Ａ（－１，0)，与y轴

交于点C，与一次函数y＝x+a交于点A和点D．1(?）求出a、b、ｃ的值；2(?）

若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得△EAD面积最大,求点Ｅ的坐标;

（3)点F为线段AD上的一个动点,点Ｆ到(2）中的点E的距离与到y轴的距离之

和记为d,求d的最小值及此时点F的坐标.

6、如图,抛物线)4

)(

2

(

8

-

+

=x

x

k

y(ｋ为常数,且k>０)与ｘ轴从左到右依次交于A、Ｂ两

点,与y轴交于点C，经过点B的直线b

x

y+

-

=

3

3

与抛物线的另一交点为D.

(1)若点Ｄ的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；?(2)若在第一

象限的抛物线上有点P,使得以A,Ｂ，P为顶点的三角形与△ABC

相似,求k的值；?(３)在（１)的条件下，设F为线段BD上一点

（不含端点),连接ＡF，一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1

个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到

E

A D

B C

N

M

Ｄ后停止,点F的坐标是多少时,点Ｍ在整个运动过程中用时最少??