数形结合思想方法(新课标)

数形结合思想方法

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

例1.2

230 13x x kx k k ++=-若关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围。 分析：2

()23f x x kx k x =++令，其图象与轴交点的横坐标就是方程

()0f x =()13y f x =-的解，由的图象可知，要使二根都在，之间， (1)0f ->只需，

(3)0f >，()()02b

f f k a

-=-<同时成立. 10(10)k k -<<∈-解得，故，

例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：

原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>???

?

?<+≥???

20

20202

解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<

综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=

+=+>=+

在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<

而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22

例3. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 1个或2个或3个

分析：判断方程的根的个数就是判断

|||log |x a y a y x ==图象与的交点个数，画

出两个函数图象，易知两图象只有两个交点， 故方程有2个实根，选（B ）。

例4. 如果实数、满足，则

的最大值为x y x y y

x

()()-+=232

2

A B C D .

.

.

.12

33

32

3

分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()x y -+=232

2

圆心为，，半径，如图，而

则表示圆上的点，与坐()()()20300

r y x y x x y ==-- 标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A

(20)在以 OA 求直线的斜率的最大值，由图可见， A 当∠在第一象限，且与圆相切时， OA 的斜率最大，经简单计算， 得最大值为°tg 603=

例5. 已知，满足

，求的最大值与最小值x y x y y x 22

1625

13+=- 分析：对于二元函数在限定条件

下求最值问题，常采用y x x y -+=31625

122

构造直线的截距的方法来求之。 令，则，y x b y x b -==+33

原问题转化为：在椭圆

上求一点，使过该点的直线斜率为，x y 22

1625

13+= 且在轴上的截距最大或最小，y

22

311625x y y x b =++=由图形知，当直线与椭圆相切时，

有最大截距与最小截距。

y x b x y x bx b =++=????

??++-=3162511699616400022

22 由，得±，故的最大值为，最小值为。?==--01331313b y x

例6. 若集合，，集合，M x y x y N x y y x b ===??

?<

?

?==+()cos sin (){()|}330θθθπ 且≠，则的取值范围为

。M N b ?

分析：M x y x y y M =+=<≤{()|}()，，，显然，表示以，为圆心，2

2

90100 以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为，由图形易知，欲使≠，即是使直线与半圆有公共点，b M N y x b ?=+ 显然的最小逼近值为，最大值为，即b b --<≤332332

例

7.

点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为M x y F N 22

12516

12+=MF 1的中

点，O 表示原点，则|ON|=（ ） A B C D .

(32)

248

分析：①设椭圆另一焦点为F 2，（如图）， 则，而||||MF MF a a 1225+== ||||MF MF 1228==，∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、F 1F 2的中点， ∴ON 是△MF 1F 2的中位线， ∴×||||ON MF =

==121

2

842 ②若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求MF 1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8. 已知复数满足，求的模的最大值、最小值的范围。z z i z ||--=

222

分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的|||()|z i z i z --=-+2222

2+2i |(22)|z i z Z -+=点到复数对应的点之间的距离，因此满足对应点，

(22)()在以如下图，

||z z Z O 而表示复数对应的点到原点的距离，

Z C O 显然，当点、圆心、点三点共线时，

||z 取得最值，||||min max z z ==232，，

∴的取值范围为，||[]z 232

例9. 求函数的值域。y x x =

+-sin cos 2

2

解法一（代数法）：则得y x x y x y x =

+--=+sin cos cos sin 2

2

22， s i n

c o s s i n ()x y x y y x y -=--++=--221222，? ∴，而sin()|sin()|x y y x +=

--++≤??221

12

∴，解不等式得

|

|--+≤--≤≤-+221

147347

3

2y y y ∴函数的值域为，[

]---+473473

解法二（几何法）：y x x y y y x x =

+-=--sin cos 2

22

121

的形式类似于斜率公式 y x x P P x x =

+--s i n cos ()(cos sin )2

2

220表示过两点，，，的直线斜率

221P x y +=由于点在单位圆上，如图, 显然，k y k P A P B 00≤≤ 设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-()

则有

，解得±||22

1

147

3

2k k k ++==

- 即，k k P A P B 0047347

3

=

--=

-+ ∴

--≤≤

-+47347

3

y ∴函数值域为，[

]---+47347

3

例10. 求函数的最值。u t t =++-246

分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法t t t m 24+= 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解

法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解：设，，则x t y t u x y =

+=-=+246

且，x y x y 2221604022+=≤≤≤≤() u y x u

=-+所给函数化为以为参数的直线方程， 22216x y +=它与椭圆在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图） u m i n =22

相切于第一象限时，u 取最大值

y x u x y x ux u =-++=????-+-=22

22216

342160 解，得±，取?=0==u u 2626 ∴u m a x =26

三、总结提炼

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，大家要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

练习题

1.已知定义域为R 的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数．且函数y=f(x ＋8)为偶函数，则( ) A ．f(6)＞f(7) B ．f(6)＞f(9) C ．f(7)＞f(9) D ．f (7)＞f (10)．

2.不等式4

1

2

--x x ＞0的结果是( ) A ．(－2，1), B ．(2，＋∞), C ．(－2，1) (2，＋∞), D ．(－∞，－2) (1，＋∞)

3.已知f(x)=??

?+-)

1(log )

1(4)13(≥＜x x x a x a a )(∞+-∞，是上的减函数．那么a 的取值范围是( )

A ．(0，1)

B ．(0，

31) C ．[71，31) D ．(7

1

，1) 4. 对a 、b ∈R ，记max {}b a ?=?

??)b a (b )

b a (a ＜≥

函数f(x)=max {}

2x 1x -+，(x ∈R)的最小值是

5．奇函数f(x)(x ≠0)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=0．那么不等式f(x －1)＜0的解集是 6．解关于x 的不等式x log a ＞sin2x(a ＞0，a ≠1)当x ∈(0，4

π

］时恒成立，则实数a 的取值范

围是 7．21x ,x 分别

x ＋lgx=3和x ＋x

10=3的根．则1x ＋2x =

8．方程2x x 2-=k(x －2)＋2．恰有两解，则k 的取值范围是

详细解答：

1. 解：∵y=f(x ＋8)为偶函数．

∴f(－x ＋8)=f(x ＋8)．即f(8－x)=f(8＋x)

所以函数图象关于x=8对称，又x ∈(8，＋∞)时，f(x)单调递减 则x ∈(－∞，8)，f(x)单调递增，作出示意图：

∴f(7)＞f(10) ∴选(D)

2. 解：原不等式可等价化为)

2x )(2x (1

x －＋－＞0

在数轴上利用“穿根法”表示如下：

所以

(－2，1) (2，＋∞). 故选C

3. 解：∵f(x)是R 上的减函数 0＜a ＜1 如图所示：

1

310

(31)14a a a a -??-+?

?＜≥log ∴

11

73

a ≤<. 故选C 4. 解：在同一坐标系中，分别画出其图象，得到如图所示的图形：

据题意：f(x)的图象为图中的射线PA 、PB 构成 由??

?+=+-=1

x y 2x y 解得23

y =．

∴函数f(x)的最小值为

2

3

(P 点纵坐标)． 5. 解：据题意，画出如下图形。

f(1)=0则f(－1)=0．

∴f(x －1)＜0为函数值小于零时，自变量的取值范围． 即，x －1＜－1或0＜x －1＜1

解得x ＜0或1＜x ＜2．故答案为{}012x x <<<或

6. 解：若x log a ＞sin2x ．(a ＞0，a ≠1)在x ∈(0，4

π

］上恒成立．

只有0＜a ＜1且4

πlog a >1. 解出114a <<. 故答案为1

14

a <<

7. 解：这是超越方程，求不出 1x 和 2x 的值，而用几何图形则可以使问题迎刃而解。 方程x ＋lgx=3可转化为lgx=－x ＋3．则1x 可看做函数1y =lgx 与函数y=－x ＋3的交点横坐标．作出其图象：

同理作为y 2=10x 的图象，∵1y =lgx 与2y =x

10互为反函数其图象关于y=x 直线对称(如图)． ∴AM=MB ．故AC=BD ．因此，1x ＋2x =3．

8. 解：设y 1=2x x 2-，y 2=k(x －2)＋2．可知．

221x x 2y -=∴)0y (1y )1x (1212≥=+-

从y 2－2=k(x －2)知此方程表示过定点(2，2)斜率为k 的直线．原定点为过定点(2，2)的直线若与半圆x 2＋y 2=1(y 1≥0)恰有两个交点求斜率k 的范围． 如图：

可知K po =1， K PQ =4

3 ∴ 3

14

＜k ≤