2020年高考数学二轮复习第一篇专题四数列第1讲等差数列与等比数列教案

数 列

一、等差数列、等比数列的基本运算 1.等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －

1. 等差数列的求和公式：S n ＝

n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)

2

d ； 等比数列的求和公式：S n ＝?????

a 1(1－q n

)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，

na 1，q ＝1.

2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q ；

(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －

1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列；

(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.

例1 (1)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( )

A.2

B.3

C.4

D.6

答案 C 解析 由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝54， 即a 1＋a 6＝a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝18,2d ＝a 2＋a 5－(a 2＋a 3)＝8，所以d ＝4. (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x

－1

的图象上(n ∈N *).数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝

S n ＋1

64，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________. 答案 －30

解析 ∵点(n ，a n )在函数y ＝2x

－1

的图象上，

∴a n ＝2n －

1，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴S

n ＝1·(1－2n )1－2

＝2n

－1，则b n ＝n

2n －12， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列，∴由b n ≤0，得n ≤6. 即T n 的最小值为T 5＝T 6＝－10×6＋6×5×2

2

＝－30.

跟踪演练1 (1)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，若S 8＝S 10，则a 18等于( ) A.－4 B.－2 C.0 D.2

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 8＝S 10，得a 9＋a 10＝0， 所以2a 1＋17d ＝0，且a 1＝2，所以d ＝－4

17，

得a 18＝a 1＋17d ＝2＋17×???

?－4

17＝－2. (2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝3

4，则S 5等于( )

A.3132

B.3116

C.318

D.31

4 答案 B

解析 由正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝18，S 3－a 1＝3

4，q >0，

易知q ＝1时不成立，所以q ≠1.

∴???

a 1q 3

＝1

8，

a 1(1－q 3

)1－q

－a 1

＝3

4，

解得a 1＝1，q ＝1

2?

???a 1＝－278，q ＝－13舍去， ∴S 5＝a 1

(1－q 5)

1－q

＝1－

1

321－12

＝3116.

(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，a 5＝1，则使得S n >0成立的n 的最大值为________. 答案 9

解析 因为a 1＝9，a 5＝1，所以公差d ＝1－9

4＝－2，

所以S n ＝9n ＋1

2n (n －1)(－2)＝10n －n 2，令S n >0，得0

所以使得S n >0成立的n 的最大值为9. 二、等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .

2.前n 项和的性质：①对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外). ②对于等差数列，有S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1.

例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( )

A.11

B.12

C.20

D.22

解析 结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26，又该数列为正项数列，可得a 6＝2， 所以由S 2n －1＝(2n －1)a n ，可得S 11＝11a 6＝22.

(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋

f (a 2 019)等于( )

A.2 019

B.2 0192

C.2

D.1

2

答案 A

解析 ∵a 1a 2 019＝1，∴f (a 1)＋f (a 2 019)＝21＋a 21＋21＋a 22 019＝21＋a 21＋21＋1a 2

1＝21＋a 21＋2a 21

1＋a 21

＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 019＝a 2a 2 018＝…＝a 1 009a 1 011＝a 21 010＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 018)＝2，…，f (a 1 009)＋f (a 1 011)＝2，f (a 1 010)＝1， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 019)＝2×1 009＋1＝2 019.

(3)在正项等比数列{a n }中，a 2 016＝1，log 2a 4－log 2a 1＝3，则a 2 019＝________. 答案 8

解析 由对数的运算性质可得log 2a 4－log 2a 1＝log 2 a 4

a 1

＝3，

即a 4

a 1＝8，所以q 3＝8，在等比数列{a n }中，因为a 2 016＝1，所以a 2019＝a 2016·q 3＝1×8＝8. 跟踪演练2 (1)等差数列{a n }和{

b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若对一切自然数n ，都有S n

T n ＝

2n 3n ＋1

，则a 6

b 6等于( )

A.23

B.914

C.2031

D.11

17 答案 D 解析

S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2234＝11

17

. (2)已知等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6a 8＝8，则a 2 018－a 2 016

a 2 014－a 2 012等于( )

A.2

B.4

C.6

D.8 答案 A

解析 设数列{a n }的公比为q .∵数列{a n }是等比数列，∴a 6a 8＝a 27＝8，∴a 7＝22(与a 5同号)，

∴q 2＝a 7

a 5＝2，∴a 2 018－a 2 016a 2 014－a 2 012

＝q 4＝(2)2＝2.

(3)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A.－510 B.400 C.400或－510

D.30或40

解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列，∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2，解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)，故S 40－S 30＝270， ∴S 40＝400.

三.数列的通项的求法

1.已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥

例 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ??

?

?+??

的前n 项和.

2.已知12

()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)

(1)n f n f n a n f n =??=?

≥?-?

例：数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______

3.若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-+

1a

例：已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________

4.已知

1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12

112

1

n n n n n a a

a a a a a a ---=???

?(2)n ≥。 例、已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a

5.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+

例：①已知111,32n n a a a -==+，求n a ①已知111,32n n n a a a -==+，求n a

四、数列求和的常用方法

1、.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

例、设S n 表示数列的前n 项和.

(Ⅰ) 若为等差数列, 推导S n 的计算公式;

(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n , 有. 判断是否为等比数列.

、【答案】解:(Ⅰ) 设公差为d,则

. (Ⅱ) .

2、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

、设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a ?=-11,∈n N *

(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.

1、【答案】解: (Ⅰ) 111111

21.S S a a n a S ?=-=∴=时，当 .1,011=≠?a a

111

1

1111222221----=?-=---=

-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===?-的等比数列，公比为时首项为

(Ⅱ)

{}n a {}n a 11,0a q =≠11n

n q S q

-=-{}n a d n a a n

)1(1-+=)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n

n

n n ++++++++=???

?++++=++++=---- )2

1

(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=

?+=?1,01

1≠≠=q q a 由题知，n n n n n n n n n n q q

q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=?--=∈?++++11111111

111*

，*2

11

11

N n q a n q

n a n n n n ∈=????≥==--，

n

n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ?++?+?+?=??++?+?+?= 321321321321设

1432321+?++?+?+?=?n n a n a a a qT

上式左右错位相减:

n n n n

n n n n na q

q a na a a a a T q 21211)1(111

321?--=---=-++++=-++

*,12)1(N n n T n n ∈+?-=?.

3.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k

=-++；

例、正项数列{a n }满足2

(21)20n n a n a n ---=.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令1

(1)n n

b n a =

+,求数列{b n }的前n 项和T n .

4.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

例1. 在数列中，

（Ⅰ）设，求数列的通项公式 （Ⅱ）求数列的前项和 【解析】（Ⅰ）由已知有

利用累差迭加，即可求出数列的通项公式: （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=

而

，又是一个典型的错位相减法模型，

{}n a 11111,(1)2n n n n a a a n

++==++

n

n a b n

=

{}n b {}n a n n S 1112n n n a a n n +=++11

2

n n n b b +∴-={}n b 1

122n n b -=-

*

n N ∈122n n n

a n -=-∴n S 11(2)2n k k k k -=-∑1

11(2)2n n

k k k k k -===-∑∑1

(2)(1)n

k k n n ==+∑1

1

2

n

k k k

-=∑

易得

=. 变1：设数列{}n a 满足31=a ，n a a n n 431-=+． （1）计算32,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；

（2）求数列{}

n n a 2的前n 项和n S

解：（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得

1(23)3((21)]n n a n a n +-+=-+，1(21)3((21)]n n a n a n --+=--，

……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+ （2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以

23325272(21)2n n S n =?+?+?+++?. ①

从而23412325272(21)2n n

S n +=?+?+?+

++?.②

-①② 得23

132222222(21)2n n n S n +-=?+?+?+

+?-+?，

所以1(21)2 2.n n S n +=-+ 2、设等差数列

的前项和为,且

,

(Ⅰ)求数列

的通项公式

(Ⅱ)设数列满足 ,求的前项和

3、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *

+=--∈且

2514,,a a a 构成等比数列.

(1) 证明

:2a =

(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223

11111

2

n n a a a a a a ++++

<.

111242

2n

k n k k n --=+=-∑∴n S (1)n n +1

242n n -++-

4、【答案】(1)当1n =时,2

2

122145,45a a a a =-=+,

20n a a >∴=

(2)当2n ≥时,()2

14411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--

()2

22

1442n n n n a a a a +=++=+,

102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.

2514,,a a a 构成等比数列,2

5

214a a a ∴=?,()()2

222824a a a +=?+,解得23a =, 由(1)可知,2

12145=4,1a a a =-∴=

21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.

(3)

()()

1223

1111111

1

133557

2121n n a a a a a a n n ++++

=++++

???-+

11111111123355721211111.2212

n n n ??????????=?-+-+-+- ? ? ? ???-+????????????=

?-

课后作业

1.在数列{}n a 中，111,2

2.n

n n a a a +==+设1.2

n

n n a b -=

证明：数列{}n b 是等差数列。 2．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16

B ． 8

C ．4

D ． 2

3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则

10

5

S S =____14．4_______. 4．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2

232612115a a a d d d =??+=++，

22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，()665

612242

S ?=?+

?-=-，故选A.

5．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8-

6在等差数列{a n }中，已知

a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝()

A ．58

B ．88

C ．143

D ．176

7公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8

8在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a 9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A. 3699块

B. 3474块

C. 3402块

D. 3339块

【答案】C

【解析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .

【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-?=，

设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，

即3(927)2(918)2(918)(99)

7292222

n n n n n n n n ++++-=-+

即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)

34022

n S S +?==

=. 故选：C

10.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】C

【解析】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值.

【详解】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，1

2n n

a a +∴

=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n

n a -=?=，

()()()()10110111051012101221222122112

12

k k k k k k a a a a ++++++?-?-∴+++=

=

=-=---，

1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.

11.等比数列{}n a 中，,11=a 354a a =

⑴求{}n a 的通项公式；

⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 12.已知数列{}

n a 的前n 项和

1n n

S a λ=+，其中0λ≠．

（I ）证明

{}

n a 是等比数列，并求其通项公式；

（II ）若

531

32S =

，求λ． 【答案】（Ⅰ）

1

)

1(11---=

n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．

由01≠a ，0≠λ得0

≠n a ，所以

1

1-=+λλ

n n a a .

因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是

1

)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(

1--=λλ

，由3231

5=S 得3231)1(15=--λλ，即=

-5)1(λλ321， 解得1λ=-．

13已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.

（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式. 19．解：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111

()2

n n n n a b a b +++=

+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为1

2

的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+， 即112n n n n a b a b ++-=-+．

又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，1

1

2n n n a b -+=

，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222

n n n n n n a a b a b n =

++-=+-，

111[()()]222

n n n n n n b a b a b n =+--=-+．

14.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；

（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．

【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9

n

n n S -+-=

. 【解析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.

【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，

212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；

（2）设{}

n na 前n 项和为n S ，1

11,(2)

n n a a -==-，

21112(2)3(2)(2)n n S n -=?+?-+?-+

+-，①

23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=?-+?-+?-+

--+-，①

①-①得，2

131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+

+---

1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9

n n n S -+-∴=. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.

15.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．

【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =.

【解析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得

的

数列{}n a 的通项公式.

（2）通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S .

【详解】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有

3112

1208

a q a q a q ?+=?=?，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2n

n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.

（2）由于1234567

22,24,28,216,232,264,2128=======，所以

1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；

23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；

4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有

22个2；

8915,,

,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ==

==，即有3

2个3；

161731,,

,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ==

==，

即有42个4；

323363,,

,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ==

==，

即有52个5；

6465100,,

,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ==

==，

即有37个6.

所以2345

1001222324252637480S =?+?+?+?+?+?=.