几何论的创立与发展

集合论的创立与发展

姓名：李菲菲数学科学学院2010级6班

集合论自19 世纪70 年代由德国数学家康托尔( G . Cantor 1845- 1918)创立以来，不断促数学分科的发展，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分科的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合或者是可以通过集合来定义的( 如实数、函数) 。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，是数学中最富创造性的伟大成果之一。

康托尔集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。[1]在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，一种是实无穷。希腊哲学家亚里士多德最先提出要将它们加以区别。公元5世纪，普罗克拉斯( 410- 485 年) 在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。[2] 到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。伽利略( 1564- 1642 年)注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”。十七世纪，无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。由于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。“数学家之王”高斯( 1777- 1855 年) 说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。”法国大数学家柯西( 1789- 1857 年)也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的。

面对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。1854 年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的可能性中》首次提出“唯一性问题”。康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。集合论产生的背景及其创立1811年，法国数学家傅立叶( Fourier)发表了他的《关于热传导问题研究》的论文，文中应用将函数展为三角级数的方法一举解决了当时物理界提出的热传导的大课题。由于将任意函数展为三角级数的概念和方法具有巨大的理论意义和实用价值，因此被认为是数学史上“最辉煌的成就之一”。康托正是从研究把函数表达为三角级数的唯一性的判别问题而提出集合论的。把函数展为傅立叶级数的收敛性，以及密切相关的分析基础严密化的研究，都归结到建立实数理论问题，这需要彻底弄清实数的结构和性质，包括对数系的理解和数集概念的建立等。

早在1870年、1871年和1872年，康托先后三次发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理。为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导

集等重要概念——这是从间断点这一特殊问题的探讨转向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确提了出来：正整数的集合( N) 与实数的集合( R) 之间能否一一对应? 并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。1874 年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象(它们叫做集合的元素)作为一个整体来考虑。”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。在论文中还证明了无穷集之间的差别，那就是既存在可列的无穷集，也存在像实数集那样不可列的无穷集。他引进了集合的势(也称基数)的概念，随后又对这一概念进行了深入的研究，引进了基数与序数理论，他还极富创建性地提出了超限基数和超限序数。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念：两个集合只有当它们的元素之间可以建立一一对应时才称为是等价的，这样就第一次对各种无穷集合按他们元素的“多少”进行了分类。他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：(1) 一切代数是可数的；(2)任何有限线段上的实数是不可数的；(3) 超越数是不可数的；(4) 一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。它在数学上的主要成果是引进超穷数。从1879 年到1883 年，康托尔写了6 篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些应用。它在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。康托尔最后一部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的贡献》。该书的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔集合论通常称为朴素集合论。朴素集合论创立后，一些学者包括康托尔自己对集合论提出了怀疑，因为他们构造出了一系列集合论悖论。[3]通过这些证明，他建立起被称为“康托公理”的实数连续性公理，同年他又构造了实变函数论中著名的“康托三分集”，给出测度为零的不可列集的一个例子。由于实数集是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了一定有超越数存在的结论，而且超越数大大多于代数，他的这一成果利导，让他们充分参与解决问题的实践，充分展示自己的学习过程。千万不要随意制止，轻易否定，这只能使学生丧失参与学习实践和解决问题的主体地位，使学生创新能力的发展受阻，使培养学生创新精神成为空谈。

在当时的数学界引起了极大的轰动。他从1879年到1884年在《数学年鉴》上以《关于无穷的线性点集》为题发表了一系列文章，论述无穷数(或超穷数)理论。尤其是1895年和1897年在《数学

年鉴》上发表的两篇具有决定意义的文章进一步阐述了无穷的特性，对无穷集合引进了新的基数。他给基数的和、积、幂下了定义，并指出他的关于基数的理论适合于有限集合。至于序数的概念，早在他引进一个已知集合的逐次导集时就感到有必要了，他定义了全序集及序数的和、积、相等与不相等等概念。1883年他在《数学年鉴》上发表的文章中定义了良序集的概念，并讨论了基数上序数的级别。由康托首创的具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程。

集合论悖论的提出，给逻辑界、数学界出了一大难题，为解决这一难题，逻辑学家们提出了一系列方案，并在不知不觉中，大大推动了逻辑学、数学的发展及康托尔集合论的完善。[4] 同其它新生事物一样，康托的理论并不是完美无缺的：一方面，康托对连续统假设是否成立及非良序集的基数如何比较等问题始终束手无策；另一方面，更重要的是后来发现了所谓的布拉利-福蒂( Buraly- Forti)和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了怀疑。1903年，数学家罗素在他出版的《数学原理》一书中提出了著名的罗素悖论。在给出悖论之前，他先讲了一个生动的“理发师悖论”：一个理发师约定，只为那些“自己不给自己刮脸的人”刮脸，而不为那些“自己给自己刮脸的人”刮脸。那么他给不给自己刮脸呢? 若他给自己刮脸，那他是“自己给自己刮脸的人”，显然违反了自己的约定；若他不给自己刮脸，那他是“自己不给自己刮脸的人”，显然也违反了自己的约定，于是理发师陷入了矛盾之中。罗素悖论实质上同理发师悖论差不多，他构造了一个集合T={ x|x T}，由康托集合概括原则，T是一个集合，是一切不以自身为元素的集合为元素所构成的集合。那么，T是否属于T?若TIT，由T的构造知，T T；若T T，由T的构造有TIT，因此无论如何都会导致矛盾。这个矛盾是如此简单明了，用的概念是如此基本，因此罗素悖论的提出在数学界产生了极大的震动。数学家们感到数学的基础动摇了，数学的大厦将要倒塌! 怎么办? 这些成了摆在二十世纪初数学家面前必须解决的问题(这就是历史上著名的第三次数学危机)! 经过研究，数学家们认识到解决矛盾的有效途径是对集合论进行公理化处理。其基本思想是：把康托关于集合的广义条件分为两类，一类为合法条件，它们刻画了集合最基本的性质、特征，是构成集合的必要条件；另一类为不合法条件，他导致集合论悖论的产生。然后采用公理的形式保留合法条件，排除不合法条件。德国数学家策梅罗(E。Zermelo)于1908年提出了集合论的第一个公理系统。他从“集合”、“属于”两个基本概念出发，引入了八条公理：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理(上述五条公理实质上都是康托集合论中已有的，由这些公理出发，几乎可以推出康托集合论中所有有限集，但得不到无限集)、无穷集公理、子集公理和选择公理。但策梅罗公理仍然存在缺陷，后来又出现了“异常集”悖论。

1925年数学家冯·诺伊曼John V on Neumann引入第九条基底公理。同年，数学家弗兰克尔(AbrahamA ·fraenkel)针对含义较模糊的子集公理提出了第十条置换公理，使策梅罗公理系统进一步完善。至此，由“集合”、“属于”两个原始概念和上述十条公理就组成了一个完整的集合论公理系统。除开ZF系统外，冯·诺伊曼从1925年开始建立以“类”和“真类”的概念区别集合的另一公理系统；1945年数学家贝尔奈斯(P。Bernays)建立了一个公理化集合系统，称为GB系统；法国著名的布尔巴基(N ·Bourbaki)学派也提出了另一公理系统，用希尔伯特ε-算子来取代与之等价的选择公理，等等。上述公理系统通称为公理集合论，与之相对应，人们把康托的传统集合论称为经典集合论或朴素集合论。在此后的发展中，数学家们关于集合论的各个公理系统的相容性和独立性的研究、关于连续统假设的研究、关于超穷基数的深入研究等等不断丰富和发展了集合论，不断地开拓了集合论的应用范围，同时也不断深化了人们关于数学内在统一性、关于数学其理性的认识，并且随着其它数学分支(如拓扑学、组合学、模糊数学等)的发展，一些新的边缘学科“集论拓扑”、“组合集论”、“模糊集论”等等也不断出现，集合论这支数学园地上的奇葩正日益放射出新的夺目光彩! 1897年3月，布拉里和佛梯在巴勒摩数学会上宣读的论文中发表了第一个逻辑史上集合论悖论。在集合论中，有一个关于序数的定理：即：一个序数组成的良序集本身的序数必大于作为元素的任一序数。1901年6月，罗素使用集合论中几个最简单和最基本的概念“集合”、“元素”和“属于”，构成了一个新的集合论悖论，史称“罗素悖论”。罗素把集合分为两类：一类是不把自身作为元素的集合，称为寻常集；另一类是把自身作为元素的集合，称为不寻常集。问题是：由一切寻常集

所构成的集合是寻常集还是不寻常集。如果它是寻常集，那么它就是把自身作为其元素的集合，故应为不寻常集；如果它是不寻常集，那么它就不把自身作为其元素，故应为寻常集。这样就导致逻辑矛盾。罗素悖论出现后，人们普遍认为这动摇了数学的基础，就连当时像弗雷格、贝克莱等数学界和逻辑界的许多大学者都为之震惊。这就引导人们去解决这个问题。罗素于1906年和1908年先后发表了《逻辑悖论》和《基于类论型的数理逻辑》，提出了解决这一悖论的方案，集合论的发展进入第二阶段。1908年，公理化集合论的首创者策梅罗发表了著名论文《关于集合论基础的研究》，提出了集合论的公理化。策梅罗企图通过把公理强加给集合来限制集合，避免大全集，从而消除悖论。在该理论中，策梅罗把无限制的概括原则具体化为若干条公理。所有这些公理都不允许采用所有集合的集合，其实，这在康托尔的外延公理已经作了规定。另一方面，这些公理又容许推导出数学家们在集合论方面所需要的东西，这直接回答了当时数学家们迫切要求解决的问题，因而促进了数学的发展。策梅罗所构建的系统，后来历经弗兰克尔和斯科伦等人的发展，成为了现今著名的ZF 系统。1925年，冯。诺伊曼沿着另一条路线构造了一个不同于ZF 系统的另一种集合论的公理系

统，后经贝尔奈斯和K。歌德尔的改进和简化，演变成为现今的NBG 系统。1938年至1963 年，是集合论发展的第三阶段，这一阶段K . 歌德尔证明了连续统假设，选择公理相对于通常的集合论公理系统是协调的著名结论，并且在证明这一重大结果时，K 。歌德尔创立了一种强有力的基本方法——可构成方法，同时人们对这种内模型方法进行了大量的研究，获得了许多重要的结果。集合论发展的第四阶段是从1963 年美国数学家柯亨证明连续统假设的相对独立性和为此建立的力迫法开始的，这一时期已经有了若干重大结果，并正在影响着整个数理逻辑乃至其它数学分支的发展。

自从康托尔创立古典集合论一个多世纪以来，集合论得到迅速发展和创新，后来相继出现了Fuzzy 集合论与可拓集合论。[5-6]集合论思想经历了从Cantor到Fuzzy 的演变。长期以来，人们利用数学处理问题的主导思想通常是语言的“准确”，推理的“严格”，结论的“确定”。然而，随着社会的发展，人类的知识视野和研究领域不断扩大，需要探讨的问题剧增。于是，不确定性现象，特别是其中的模糊性现象，逐渐被人们意识到。严格地说，这些概念都没有明确的外延。若按这些概念去确定“集合”，则相应的“集合”都没有清晰的边界。一个对象对于一个这样的集合，除可以属于和不属于外，还可以有某种程度的属于或不属于，而且后者才是更一般的情形。这就是事物的模糊性。为了研究和处理模糊性事物，美国控制论专家查德教授于1965年提出了Fuzzy 集合论。这从根本上建立了模糊性与分明性的联系，为分明性研究和处理事物的模糊性奠定了基础。随后给出的模糊子集的截集概念及所证明的分解定理进一步架起了普通子集与模糊子集间的桥梁，引入的扩展原理把集合间的映射扩展到了Fuzzy集合论。

可是，Cantor 集合论与Fuzzy 集合论还描述不了现实中的许多事物，仍然满足不了日益广泛的科技实践的需要。就客观现实而言，许多事物均可按某性质P一分为二，其中不具有性质P 的又可分为在一定条件下可转化为具有性质P 的和不能转化为具有该性质的两类。例如产品检验，有合格品与不合格品，不合格品又分为可经返工以达合格的产品和返工也不能合格的废品。这类例子所反映的现实正体现着辩证法关于矛盾转化和内外因关的思想。然而，Cantor集合论与Fuzzy集合论都无法描述这类问题。实际上，它们都只能描述静态的事物，而无法描述在一定条件下“非”与“是”互相转化的情形。因此，第三种集合论的问世成为必然。可拓集合论创始人蔡文在创立新学科物元分析的过程中，为了找到处理矛盾问题的数学工具，建立了可拓集合理论正文。[7]蔡文发现：传统数学解决不了矛盾问题，是因为它只就事物某特征的量值关系进行研究，而不同时考虑事物本身及其特征两个要素。于是他引入事物、特征、量值这个有序三元组，作为描述事物的基本元，称为物元。他指出：任何问题都可利用物元来描述；解决矛盾问题的关键，就在于对物元进行变换。为给物元变换建立数学模型，必须有适应这种思想的集合理论。这个新数学工具就是可拓集合论。蔡文这一研究的开创性论文《可拓集合和不相容问题》在1983 年发表于《科学探索学报》。这篇论文的

发表宣告了可拓集合论的诞生，标志着新学科物元分析从孕育阶段进入了初创阶段。1994 年，蔡文的第二本专著《物元模型及其应用》出版。书中确定了新学科的研究范围，必须采取的范畴，解决问题的技术手段和研究途径，并初步形成了解决问题的方案。这标志着新学科的创建已由初创阶段转入完成阶段。[8]随着可拓集合理论研究的深入，以此为基础的一些课题如可拓代数、可拓概率、可拓矩阵、可拓逻辑与算法等的研究也逐步展开，它们将形成解决矛盾问题的新的数学分支——可拓数学。由于可拓集合概念的普适性，使可拓集合可应用于诸多研究领域。如：人工智能、市场、资源、检测、控制、系统和信息等。但由于该研究的时间还很短，有很多生长点，不但理论问题需要深入研究，应用领域也需要进一步开拓。[9-10]

从数学史上看，每一次危机都是由数学体系内部形成悖论所引发，且在每一次悖论消除之后都建立了新的数学理论体系。在集合论发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论一次次出现，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，解决了这些悖论。Fuzzy 集合论的问世，使数学开始摆脱Can tor集合论思想的束缚，宣告了集合论的多样性，促进了数学家学术思想的开放，为可拓集合论的诞生准备了思想条件。可拓集合论的产生与初步发展，使数学第三次跨越了确定性研究范围，步入了事物可变性领域，成为一门当代最新的数学分支——可拓数学，并逐渐形成体系，从而使数学有可能为各门科学不仅仅解决量变范围的问题，而且能有效地解决质变范围的问题。当第三次国际数学大会于1904年召开时，“现代数学不能没有集合论”已成为公认的，今天集合论已成为整个数学大厦的基础。

参考文献：

【1】沈汝彪. 集合论的孕育与诞生[ J] .数学通报. 2000, 38

【2】刘玉翘, 陈汉卿. 集合初步知识[M] . 天津: 天津科学技术出版社, 1980.

【3】李玉梅。论集合论悖论的实质和意义[ J] 。西南民族学院学报 哲学社会科学版，2000，21( 10) 。

【4】沈恩绍。集论与逻辑[M] 。北京:科学出版社，2003。

【5】崔明荣。现代数学的集合论思想[ J] 。延安教育学院学报，1998。( 1) 。

【6】李维岳。系统论与集合论[ J] 。系统辩证学学报，1996，4( 1) 。

【7】蔡文。可拓论及其应用[ J] 。科学通报。1999，4( 7) : 673- 682。

【8】孙弘安。可拓系统。从物元分析到可拓学[M] 。北京:科学技术文献出版社，1995: 204- 209。【9】杨春燕，蔡 文。可拓工程研究[ J] 。中国工程科学，2000，2( 12) : 92- 98。

【10】潘 东，金以慧。可拓控制的探索与研究[ J] 。控制理论与应用，1996，13( 3) : 305- 311。