高等有限元课后题答案

2 弹性力学问题的有限单元法

思考题

2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？

答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？

答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？

答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。 2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。

2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？

答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，因此[B]为常量阵。当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单

元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的

xy y x γεε、

、

值。因此三结点三角形单元称为常应变单元。

(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。

习 题

2.1试证明x 、y 与面积坐标的关系 证明:设P 点坐标为（x,y ） 同理可求得：

由面积坐标定义得：

由此推出坐标y x 、与面积坐标的函数关系：

()()22j i i j j i i j i j j i m j j m m j m j m j j m A c L c L a c a c x b c b c A b L b L a b b a y b c b c ?-+-=

?-?

?

-+-?=?-?

式（2.1）

面积：

代入式（2.1）有： 其中形状参数由下式确定： 代入上式（2.1）可转化为：

再加上 m j i L L L ++=

1

所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下： 2.2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。

证明：由于两个三角形相似，故设h A A =2

1

， h 为一常数。

三角形：()111121

i j ji i c b c b A -=

参数Λj i j i c c b b 、、、，只与坐标差有关，所以

单元刚度矩阵通式为： 故[][]21rs rs K K =

所以

因此两相似三角形的单元刚度矩阵相同。

2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重g γ，三角形平面构件容重g ρ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。 解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3

建立坐标())0,0(3)3,0(20,21:a a xoy

（1） 求形函数矩阵： 图（2.14） 形函数: 所以： 形函数的矩阵为：

（2） 刚度矩阵 可得：

（3）位移列向量和右端项 由边界条件可确定：{}

{}

T

e

u a 000022υ=

水压力和构件厚分别为： 自重为

W 与支座反力：

所以：

{}T

y x y x e

W R h q R W h q W R R R ?

?

??

??-+

--

=33

363

303011

由[]{}

{}

e

e

e

R a K =得到下列矩阵方程组：

化简得：

可得：

将?

??

???22υu 代入下式： 固定面上的反力：a h ga gh q 330===γγ

从而可得支座反力为：

2.4 试从式（2.69）说明对角线元素改1法只能用于给定零位移的情形，而对角元素充大数法可以适用任意指定位移的情形。 解：（1）在式（2.69）中， 采用对角线元素改一法，则：

所以在式（2.69a ）中可改为：

需满足：

{}{}a b a a ''=

因为 ：ab K ]'[为非零矩阵 所以 ：{}b a '应需为向量

则这种方法只能用于给定零位移。

（2）同上在式（2.69a ）中{}{}a K R aa a

''='α （其中α可取20

10

左右甚至更大的量级）

根据主元充大数：

{}a aa a K ']'[α》》{}b ab a K ']'[

由于所以右边近似等于{}a aa a K ']'[α 所以左边等于右边

即主元充大数法满足任何给定位移（零值和非零值）

2.5 仿照例2.3，试证明矩形单元是完备协调元。

.

.

证明：在平面问题中，场函数为位移场函数，4结点矩形单元的位移插值函数为：

平面问题的泛函数中所包含的物理量的最高导数为

2阶，而位移

插值函数中包含的位移场函数（考虑到对称性，位移插值函数中只取了xy 项）及其直至2阶的完全多项式，所以是完备的。

要证明协调性，只需考虑单元边界上的连续性。为此，参考上图，对于j-m 边的公共结点j ，m 的位移j u ，m u 完全确定，所以在边界上是

协调的。

2.6 仿照例2.3，试证明图2.15所示任意四边形单元在选取位移模式 是完备的但不是协调的。

证明：完备性证明同2.5；

协调性：对于边i-j ，直线方程为Bx A y +=

所以代入上式，得:

公共边

i-j ，i ，j 两点的位移不能完全确定A '，B '，C '三个为未知量

故任意四边形单元是完备的但不是协调的。

2.7上端受均布荷载作用的墙体视为平面构件，如图2.16(a)所示，划分成为8个单元如图2.16(b)，试在图2.16(b)上画出边界条件和等效结点荷载；倘若利用对称性取一半，如图2.16(c)，试在图2.16(c)上画出边界条件和等效结点荷载。设E=30Gpa ，v =1/6，均布荷载q=20KN/m ，试按图2.16(c)求构件的结点位移。

3单元和插值函数

思 考 题

3.1

什么是面积坐标？如何计算三角形内某点的面积坐标？

答：(1)如（a ）图所示，三角形内任一点P （x ，y ），将P 与三角形三个顶点i ，j ，m 连成3个三角形。令i A 为i 点所对应三角形pjm 的面积，j A 为j 点所对应的三角形pmi 的面积，m A 为m 点所对应的三角形pij 的面积，面积坐标定义为：r L =r A /A （i ，j ，m ），其中A 为三角形ijm 的面积，点p （x ，y ）用面积坐标可以写为P （i L ，j L ，

m L ），且i L +j L +m L =1。

（2）求某点面积坐标除用定义外，还可用如图（b ）所示的方法，即三角形内某点的面积坐标可通过同底三角形的高度比来计算。如图（b ）中的i L =h i /i H 。

（a ） (b) 图3.3 面积坐标

3.2 什么是划线法？如何用划线法形成单元的插值函数？

答：（1）划线法是根据形函数的0-1特性，将需要等于零的各结点用直线连接起来（划线）；

（2）在该直线上为零，则在该直线上的各结点的值也为零，为此形函数一定包含了该直线方程的因子，将需要等于零的各个因子乗起来即得到该单元的行函数。

3.3 下列平面单元的位移具有连续性吗？ （1）平面三角形二次单元；

连续

（2）平面三角形三次单元； 连续

（3）8结点矩形单元； 连续

（4）8结点任意四边形单元。 连续

3.4 下列单元满足收敛的充分必要条件∑Ni=1吗？ （1）平面三角形三次单元； 满足 （2）变结点单元； 满足

（3）长方体20结点单元。 满足

3.5 对于非协调的薄板单元如何进行分片检验？

答：当赋予单元片各个结点以与常应变状态相应的位移值和载

荷值时，校验0)(m

1=-∑=e

i j

e e ij P a K 是否满足，如能满足则认为通过分片检验。 3.6

在平面壳单元中如何判别共面点？可用什么方法进行处理？

答：（1）在平面壳体单元中，如果某一点的各个单元面法向不同，经局部坐标转化到整体坐标后，该点的总体位移有6 个，若方向相同，常称此点为共面点。

（2）处理方法有两种：

i 、在局部坐标系内建立结点平衡方程，并删去zi θ方向的平衡方程，于是剩下的方程满足唯一解的条件。

ii 、在此结点上，给一任意的的刚度系数z k θ，这时在局部坐标系中，此结点在zi θ方向的平衡方程

经变换后，总体坐标中的系统方程满足唯一条件，它不影响单元应力。

习题

3.1

试利用面积坐标构造10结点三角形单元（图3.22）的9、10结点的插值函数。

解：利用划线法可得：)3

1

(1

3199-=L L L N α 即 )3

1

32(323219-???=α

所以 )13(2

9

)31(2271311319-=-=

L L L L L L N 所以 3211027L L L N = 3.2

利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造图3.22所示三次三角形单元的插值函数，并和式（3.5）的结果进行比较。 解：由划线法可得

设1N 为原三结点三角形的形函数，即11L N = 其余点在4结点的形函数均为0，3

2

)4(1=

L 所以 13

2

04

?'+=α 324-='α

0)5(1=N ，15=N ， 其余点在5结点的形函数均为0，3

1

)

5(1=L 1(8)0N =，81N =，其余结点在8点的形函数为0，1(8)1

3

L =

1(9)0N =，91N =，其余点在9结点的形函数均为0，1(9)23

L =

∴923α'=- 同理 1013

α'=- 故 109854113

132313132N N N N N L N -----= 以此类推

经与式（3. 5）比较，所得结果相同。 3.3

利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造图3.23中8、9结点单元的插值函数。

解：原8结点标准母单元的形函数为：

修

正8N

所以

图3.22 习题

图3.23 习题3.3图

3.4

（b ）所示五面 )1)(1(2

1

)1)(1)(1(288ξηηξηα+-=

++-=N

上三角形边内结点： 下三角形边内结点：

1N 为没有7、8、9三点的1结点形函数

所以 )1(2

1)1)(12(212

1111ξξ--+-=L L L N

同理可求得 经验证 115

1

=∑=i i

N

满足插值函数的性质。

3.4

试分析六结点三角形单元的协调性。

解：如下图所示，6结点三角形单元的位移插值函数为： 设公共边2i j --的直线方程为： y=Ax+B 代入上式 得：

由于1β'，2β'，3β'可由边界公共点2i j --的位移 i u ，2u ，j u 完全确定，所以在边界上是协调的。

3.5

如果三角形板单元的位移函数是

()2

2

3

2

2

3

123456789u x y x xy y x x y xy y

βββββββββ=+++++++++验证当单元的两边分别平行于坐标轴且长度相等时，决定参数β1，β2，……β9的代数方程组的系数矩阵是奇异的。 证明：

因为u ，v 与129,,...,βββ无关，故可写出129,,...,βββ的系数矩阵方程为： 显然决定参数β2，……β9的代数方程组的系数矩阵是奇异的。 3.6

利用单元位移函数的完全性确定式（3.21）的常数C 的数值（提

示：常应变项可表示为112223331L L L L L L βββ++）。 3.7

图3.24所示圆柱面，用三角形平板薄壳单元剖分，是判断共面点与非共面点。

图3.24 用三角形平板薄壳单元剖分的圆柱面

4 等参单元

思 考 题

4.1

4.9 为什么[]J 的行列式必须大于零？几何形状上应该如何？ 答：参数变换是一个对有限元网格的数学变换过程，只要数学上成立即可。从数学只是可知，两个直角坐标之间一一变换成立的充要条件是

J >，因此等参变换也必须服从此条件。如果

J =，则[]1

J -不存

在，产生导数和微元转换都不存在，变换不成立。

欲使0J >，应该保证单元形状是外凸的，不能出现内凹的现象。

一般说来，0J ≈会导致刚度矩阵奇异，要求单元的内角小于135o

。

习 题

4.1

4.5 证明：若在[-1,1]区间内的任意二次、三次曲线在±

线相交，则曲线下的面积和直线下的面积相等。 证明：（1）设任意二次曲线为12()()()P ξξξξξ=--，

则ξ=时，1

12121()()3P P ξξξξξ==+++，

ξ=

时，21212

1())3P P ξξξξξ==++

所以直线方程为：

在区间[-1,1]内的任意二次曲线下的面积为： 直线下的面积为：

所以12A A =，即在[-1,1]区间内任意二次曲线下的面积和直线下的面积

（2）设任意三次曲线为123()()()()F ξξξξξξξ=---，

则

ξ=时，

111231223311231()(())3F F ξξξξξξξξξξξξξ==-++-++-，

ξ=

时，

所以直线方程为：

在区间[-1,1]内的任意三次曲线下的面积为： 直线下的面积为：

所以12A A =，即在[-1,1]区间内任意三次曲线下的面积和直线下的面积相等；

4.6 试推导出一维3阶高斯积分点的位置及权系数。 解：对于n=3有：

三次多项式123()()()()P ξξξξξξξ=---，n=3, 积分点位置应该满足11

()0

i P d ξξξ-=?，有

i=0，11231

()()()0

d ξξξξξξξ----=?

i=1，11231()()()0

d ξξξξξξξξ----=? i=2，1

21231

()()()0

d ξξξξξξξξ----=?

得到联立方程：

求联立方程的解为1230.774596669241483

0ξξξ?=-==??

=??

积分权系数为，

1

11()n i

i

H l d ξξ

--=?

5 材料非线性有限元法

思考题

5.1 固体力学中有哪几类非线性问题？各有什么特点？

答：一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当荷载作用后，材料立即发生变形，并且不再随时间而变化。

第二类是依赖于时间的粘弹塑性问题，其特点是当荷载作用后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间而继续变化。

5.2 什么是非线性弹性？什么是塑性？什么是蠕变？他们之间的共同点和不同点是什么？

答：非线性弹性：材料的应力应变关系是非线性的，但卸载后所有的变形和位移都能恢复到原状态。

塑性：材料的应力应变关系是非线性的，他们之间也不再是单值对应的，而与变形历史有关，卸载后存在不可恢复的永久变形。

蠕变：荷载保持不变的条件下，材料变形随时间增长而增加称之为蠕变。

共同点：应力应变关系是非线性的。

不同点：非线性弹性的变形和位移能恢复到原状态，塑性变形和位移却不能；塑性变形不随时间而改变，而蠕变变形则随时间而改变。

5.3 什么是塑性力学的基本法则？它包括哪些内容？

答：塑性增量理论是塑性力学的基本法则；

它包括以下内容：①初始屈服条件，它是判断材料是否进入塑性阶段的标准；②加、卸载准则，它是判断材料处于塑性加载或弹性加、卸

载的条件；③流动法则，建立塑性应变增量方向（或塑性流动方向）与屈服函数或塑性势函数梯度方向之间关系的理论就成为塑性流动理论或塑性位势理论；④硬化法则：对于强化材料，硬化规律说明屈服面以何种运动规律产生硬化。

此外，塑性增量理论还要求材料在受力过程中符合能量守恒定律或热力学第一定律。

5.4 什么是塑性屈服准则？常用的有哪几种？适用于什么情况？ 答：根据不同的应力路径进行试验，确定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，在应力空间中，将这些屈服应力点连接起来，形成一个划分弹性阶段和塑性阶段的界面，成为屈服曲面。描述这个屈服面的数学表达式称之为屈服函数或屈服准则。 常用的有一下几种：

①、Tresca 准则，只考虑了三个主应力中的两个主应力，材料力学中通常称为第三强度理论或最大切应力理论。只适用于剪切屈服极限s τ为拉伸屈服极限s σ的一半的材料，即2s s B στ==；

②、Mises 准则，考虑了三个主应力的影响，也叫第四强度理论，只适用于s τ=0.577s σ的材料，即 1.733s s B στ==；

以上两个屈服准则都只适用于拉压强度相等的金属类材料。 ③、Drucker-Prager 准则，对于Tresca 准则和Mises 准则都没有考虑静水压力对材料屈服强度的影响，而Drucker-Prager 准则考虑了静水压力的影响，该准则适用于混凝土和岩土累材料；

④、Mohr-Coulomb 准则，主要适用于剪切强度极限s τ与拉伸强度极

限tσ和压缩强度极限cσ的关系为

()()

s t c c t

τσσσσ

=+的材料。

⑤、统一强度理论，考虑了中间主应力及拉压异性对材料强度的影响，可以适用于包括岩土类、金属类等各种材料。

5.5 什么是塑性硬化法则？它有哪几种常用形式？各适用于什么情况？

答：塑性硬化法则是用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称为加载函数或加载曲线）在应力空间中变化的规则。

常用的形式为：

①、等向硬化法则（各向同性硬化法则）：假定后继屈服面的形状、中心和方位，与初始屈服面相同，其大小随着加工硬化过程，围绕其中心产生均匀的膨胀。它适用于单调加载情形，如果用于卸载情形，它只适用于反向屈服应力数值上等于应力反转点的材料，而且这个模型便于数学处理；

②、运动硬化法则（随动硬化法则）：假定后继屈服面的大小、形状与初始屈服面相同，后继屈服面是由初始屈服面在塑性变形方向上形成。它适用于随着塑性变形的发展，屈服面的大小和形状都不变，只是整体地在应力空间中作平移的情形；

③、混合硬化法则，适用于后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化的情形。