习题2与答案

习题二（母函数及其应用）

1．求下列数列的母函数(0,1,2,)n =

（1）(1)n a n ????-?? ?????；

（2）{5}n +； （3）{(1)}n n -； （4）{(2)}n n +；

解：（1）母函数为：00()(1)()(1)n

n n a n n a a G x x x x n n ∞

∞==????

=-=-=- ? ???

??∑∑；

（2）母函数为：

22

554()(5)5(1)1(1)

n

n

n n n n x x

G x n x nx x x x x ∞∞∞

===-=+=+=+=---∑∑∑； 《

方法二：

()()()00

1

2

2

()(5)14414111114541(1)1n

n

n

n n n n n G x n x n x x x x x x x x x x ∞

∞

∞

===∞

+==+=++'

'

??

=+=-+ ?---??-=+=---∑∑∑∑

（3）母函数为：

2

323

000

222()(1)(1)2(1)(1)(1)n

n

n

n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞

∞

∞

====-=+-=-=---∑∑∑； 方法二：

()()()()()

2

2

0222

200

2

22202

3

()(1)00121121n

n n n n

n n n n n G x n n x x

n n x

x

n n x x

x x x x x x x x ∞

∞

-==∞

∞+==∞

+==-=++-"=++=""????

== ?

?-????=

-∑∑∑∑∑

（4）母函数为：

2

323

000

23()(2)(1)(1)(1)(1)n

n

n

n n n x x x x G x n n x n n x nx x x x ∞

∞

∞

===-=+=++=+=---∑∑∑。 /

方法二：

()()()()()

()()()

00

21210

002

32

2

3

()(2)1211111121111111131n

n

n

n

n n n n n n n n n n n n G x n n x n n x n x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x ∞∞∞∞

====∞

∞

∞∞++++=====+=++-+-"'

"

'

????=--=-- ? ?--????"'

????=--=-- ? ?----??--??-=

-∑∑∑∑∑∑∑∑

2．证明序列(,),(1,),(2,),

C n n C n n C n n ++的母函数为

1

1

(1)n x +- 。

证明：因为 (,)(1,)(1,1)C n k n C n k n C n k n +=+-++--

令230()(,)(,)(1,)(2,)(3,)k n k G x C n k n x C n n C n n x C n n x C n n x ∞

==+=+++++++

∑，

则 23()(,)(1,)(2,)n x G x C n n x C n n x C n n x =+++++

，

231()(1,1)(,1)(1,1)(2,1)n G x C n n C n n x C n n x C n n x -=--+-++-++-+

[

而 1(1)()()0n n x G x G x ---= 故 ()()()()()

()1202111

111n n n n

G x G x G x G x x x x --=

?=?=??????=?--- 又

23023()(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)111G x C C x C x C x x x x x

=++++

=++++=-

所以 ()()

1

11

+-=

n n x x G

方法二：

已知{}12n S e e e =∞?∞?∞?，，，的k-组合数为(1,)C n k k +-，

其母函数为：2

3

011

()(1)(1)n

k n

k n k A x x x x x k x ∞

=+-??=++++== ?-?

?∑ 序列(,),(1,),(2,),C n n C n n C n n ++的母函数为

}

2300

1

()(,)(1,)(2,)(3,)(,)(,)(11,)1(1)k

k

k k k

k n G x C n n C n n x C n n x C n n x C n k n

x C n k k x C n k k x

x ∞

∞

==∞

=+=+++++++

=+=+=++-=

-∑∑∑

3．设1234{,,,}S e e e e =∞∞∞∞，求序列{}n a 的母函数。 其中，n a 是S 的满足下列条件的n 组合数。 （1）S 的每个元素都出现奇数次； （2）S 的每个元素都出现3的倍数次； （3）1e 不出现，2e 至多出现一次；

（4）1e 只出现1、3或11次，2e 只出现2、4或5次；

$

（5）S 的每个元素至少出现10次。

解：（1）4

35

21

4

2()()1r x G x x x x x

x +??

=+++

++

= ?

-??

（2）4

363431()(1)1r G x x x x x ??

=+++++

= ?

-??

（3）2322

1()(1)(1)(1)x

G x x x x x x +=+++++

=

-

（4）

311245232

311245356781315162

2

()()()(1)()()2(1)(1)G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++

+++++++++++==-- （5）4

1010114

()()1x G x x x x ??=++= ?-??

4．投掷两个骰子，点数之和为r (212)r ≤≤，其组合数是多少

-

解：用i x 表示骰子的点数为i ，

（1）若两个骰子不同，则问题等价于r 的特殊有序2-分拆

12

16,1,2i r r r r i =+??

≤≤=?

故相应的母函数为

234562

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

()()234565432G x x x x x x x x x x x x x x x x x x

=+++++=++++++++++

则点数之和为r 的方案总数就是r x 的系数(212)r ≤≤。

（2）若两个骰子相同，则问题等价于r 的特殊无序2-分拆

12

12

61r r r r r =+??

≥≥≥? …

而此问题又可转化为求r 的最大分项等于2，且项数不超过6的分拆数，

即求方程121212120,1,6x x r

x x x x ?+?=??≥≥+≤?的非负整数解的个数。

相应的母函数为

()()()

()()()()()()()2

2

5

2

2

3

4

23

4

5

6

232222223456789101112

()111112233323G x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++

++++++++++++++++=++++++++++ 其中点数之和为r 的方案数就是r x 的系数。

5．投掷4个骰子，其点数之和为12的组合数是多少 解： 参考第4题。

(

（第二版第5题）

居民小区组织义务活动，号召每家出一到两个人参加。设该小区共有n 个家庭，现从中选出r 人，问：

（1）设每个家庭都是3口之家，有多少种不同的选法当n=50时，选法有多少种

（2）设n 个家庭中两家有4口人，其余家庭都是3口人，有多少种选法

解：（1） ()1

223

3()n

G x C x C x =+ （2） ()()

2

2

1

221

223

34

4

()n G x C x C x C x C x -=++

{

（第二版第6题）

把n 个相同的小球放入编号为1,2,3,,m 的m 个盒子中，使得每个盒子内的

球数不小于它的编号数。已知22

m m

n +≥，求不同的放球方法数(,)g n m 。

解：对应母函数为：

(1)2

3

234

1

2

(1)23

(1)()()()()(1)(1)(1)(2)(11!2!3!

(1)[(1)1][(1)]!

m m m m m m

m m n m m x G x x x x x x x x x

x

x m m m m m m x x x x m m m n m m x n m m ++++-+=+++

+++

+++

=

-+++=+

+++++-+-++

-+

故2(1)

[(1)1](1)(1)

(,)[(1)]![(1)]!

m m m n m m m m n m g n m n m m n m m ++-+-+--==-+-+

【

6．红、黄、蓝三色的球各8个，从中取出9个，要求每种颜色的球至少一个，问有多少种不同的取法

解：对应的母函数为：

23456783

32345673

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11121314234567()()(1)(12345678765432)(1)

G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x =+++++++=+++++++=+++++++++++++++++++++

从中取9个对应的组合数为9x 的系数，即

1121314151617128?+?+?+?+?+?+?=（种） 方法二：

原问题等价于从集合{}8,8,8S a b c =中取出9个元素，且每个元素至少取一个。现在先把元素a 、b 、c 各取一个，然后再随意选出6个，则问题转变为从集合{}17,7,7S a b c =中取出6个元素，且每个元素个数不限，求重复组合的方案数。又由于每个元素的个数大于6，故从1S 中取6个元素与从集合

{}1,,S a b c =∞∞∞中取出6个元素的组合数一样多，因此不同的取法为

:

62361828C C +-==（种）

7．将币值为2角的人民币，兑换成硬币（壹分、贰分和伍分）可有多少种兑换

方法

解：该题用1分、2分、5分的硬币组成20分。是可重复的无序拆分：

其母函数为：

()2245105102

51025100005100

()(1)(1)(1)

1

(1)

(1)(1)

111111(1)41412(1)111(1)(1)(1)

44211(1)2(1)(14i i i

i i i i i i i G x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x i x x x ∞∞∞===∞

==+++

+++

+++=

+++--??=+++++??-+-??

??=+-+++++

????=+-++++∑∑∑∑)

+

则不同的兑换方法为20x 的系数，即

20151050

1

1(1)2(201)11(1)2(151)141(1)2(101)11(1)2(51)11(1)2(01)129?????+-++++-+++

?

???????????++-++++-++++-++???????=

'

即有29种兑换方法。

8．有1克重砝码2枚，2克重砝码3枚，5克重砝码3枚，要求这8个砝码只许放在天平的一端，能称几种重量的物品有多少种不同的称法 解：该题属于有限重复的无序拆分问题。对应的母函数为：

224651015234567891011121314151617181920212223

()(1)(1)(1)

1222332223322233222G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++=++++++++++++++++++++++++ 所以能称1～23克等23种重量的物品。

总共的称法为母函数的各项系数之和，再减去常数项，即总共有

(1)1344147G -=??-=（种）不同的称法。

·

其中，称1、3、20、22、23克重量各有1种称法；

称2、4、5、8、9、10、13、14、15、18、19、21克重量各有2种称法； 称6、7、11、12、16、17克重量各有3种乘法； 若要枚举出各种方案，则可作母函数：

224651015(,,)(1)(1)(1)G x y z x x y y y z z z =++++++++

项55511222'''''''(,',''0n n n n n n n n i i i x x y y y z z z n n n i =或）即为 称1222555''''''n n n n n n n n ++++++=克重量的一种方案。

%

9．证明不定方程12n x x x r ++

+=的正整数解组的个数为(1,1)C r n --。

解：该问题即，求正整数r 的n 有序分拆。

问题可转换为：将r 个无区别的球，放入n 个不同的盒子中，每盒至少1

个的组合问题。可以先在每个盒子中放1球，再将r n -个无区别的球，放入n 个不同的盒子中，每盒球数不限，则其方案数为：

(()1,)(1,1)C n r n r n C r n +---=--

故该不定方程的正整数解组的个数为(1,1)C r n --。 方法二：

问题可以视为将r 个相同的1放入n 个盒子。由于将i x 之间的值互换，对应不同的解，所以盒子不同。设共有r a 个解，则r a 的母函数为

()()

2

3

111110

1n

n

n r r r n r k n k n k

n r n r k k r r k k x G x x x x x x C x C x C x C x

∞

∞

∞∞

+--+-+---====??

=+++

= ?-??

====∑∑∑∑

,

所以 ()1,1r a C r n =--

10．求方程24x y z ++=的大于1的整数解的个数。

解：该题相当于将24的3有序分拆，并且要求每个分项大于1。 其母函数为： 3

2233

5530

121()()(1)12(1)2k k x x G x x x x x k k x x x ∞=????=++

===+ ? ?

--????∑ 所求的整数解的个数即为24x 的系数：

1

19(191)1902

+=。 11．设0

(,2)n

n k a C n k k ==+∑，0

(,21)n

n k b C n k k ==++∑，其中01a =，00b =。试证：

!

（1）11n n n a a b ++=+，1n n n b a b +=+；

（2）求出{}n a 、{}n b 的母函数()A x ，()B x 。

证明：（1）

1

10

1

1

11

1

1

1

1

(1,2)

(1,0)(1,2)

(,0)(,2)(,21)

(,2)(1,21)((1,22)0)

(1,21)((11,23)0)

n n k n k n n k k n n

k k n n k n n a C n k k C n C n k k C n C n k k C n k k C n k k C n k k C n n n a C n k k C n n n a b ++=+=++====+=+=++=++++=++++-=++++++++==++++++++==+∑∑∑∑∑∑∑

00

01

1

(,2)(,21)

(1,21)

(1,21)((22,23)0)

n

n

n n k k n

k n k n a b C n k k C n k k C n k k C n k k C n n b ===+=++=++++=+++=+++++==∑∑∑∑

（2） 因为

010

1

1

1111

00

()1()11(0)

1()()

n

n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n

n n n n A x a x a a x a b x a x b x a x

b x b xA x B x ∞

∞

∞

-===∞∞

-==∞

∞

+====+=++=++=++==++∑∑∑∑∑∑∑

所以 (1)()()1x A x B x -+=-

同理，

0110

1

1

11111

1

()()()()

n

n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n n n n n B x b x b b x a b x a x b x a x

b x xA x xB x ∞∞∞

--===∞∞

--==∞

∞

++====+=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑

*

所以，()(1)()0xA x x B x +-=，

解联立方程组 (1)()()1

()(1)()0x A x B x xA x x B x -+=-??+-=? ，即可得

21()13x A x x x -=-+，2

()13x

B x x x

=-+

12．设12{,,

,}k S e e e =∞∞∞，求序列{}n p 的母函数，

其中n p 是S 的满足下列条件的n 排列数： （1）S 的每个元素都出现奇数次； （2）S 的每个元素至少出现4次；

》

（3）i e 至少出现i 次(1,2,,)i k =； （4）i e 至多出现i 次(1,2,

,)i k =；

解：（1）母函数为：35

()1!3!5!2k k

x x e x x x e e G x -????-=+++

= ? ?????

； （2）母函数为：456

23()14!5!6!

2!3!k

k

x e x x x x x G x e x ????=+++

=---- ? ????

?；

（3）母函数为：()2

111()1!2!1!j i k

k x e j i i i x x x G x e x j i -∞===????==----- ? ? ?-???

?

∑∏∏； （4）母函数为：2

011()1!1!2!!j i k k i e j i i x x x x G x j i ===????

==+++

+ ? ??

?

??∑∏∏；

13．把23本书分给甲乙丙丁四人，要求这四个人得到的书的数量分别不超过9

本、8本、7本、6本，问：

\

（1）若23本书相同，有多少种不同的分法

（2）若23本书都不相同，又有多少种不同的分法 解：（1）对应的母函数为：

292827262345678

9

10

11

12

13

14

15

23456789101112131415()(1)(1)(1)(1)

(123456777765432)(123456788765432)

G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++

++++++++

++++

+=++++++++++++++++++++++++++++++

所求的分法数就是23x 的系数，即

7172635445362718119+++++++=（种）

（2）对应的母函数为：

2928

272623

()(1)(1)

1!2!9!1!2!8!(1)(1)

1!2!7!1!2!6!

11111111111!1!2!1!1!2!3!1!2!2!1!3!1

1111118!1!7!2!6!3!5!4!4!5!3!6!2!e x x x x x x G x x x x x x x x x x =++++++++++++++++???????=+++++++++ ? ? ???????????+

+++++++ ???

8152381519!6!111

11111111!1!2!1!1!2!3!1!2!2!1!3!1111111118!1!7!2!6!3!5!4!4!5!3!6!2!7!1!8!7!x x x x x x x ?

??++ ?????

???????+++++++++ ? ? ??????????

????+

++++++++++ ? ????

???

所求的分法数就是23

23!

x 的系数，即

（

1111111123!8!1!7!2!6!3!5!4!4!5!3!6!2!8!7!1

111111119!1!8!2!7!3!6!4!5!5!4!6!3!6!8!7!7!1

111111111!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!5!8!6!7!7!6!1

2!9!?????++++++ ?

????

??

?????++++++++ ? ?????

????++++++++ ? ?????

+111111113!8!4!7!5!6!6!5!4!8!5!7!6!6!7!5!1

111111113!9!4!8!5!7!6!6!3!8!4!7!5!6!6!5!7!4!1

111111114!9!5!8!6!7!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!1

15!9!????+++++++ ? ?????????++++++++ ? ?????

????++++++++ ? ?????++11111116!8!1!8!2!7!3!6!4!5!5!4!6!3!7!2!11

11111116!9!8!1!7!2!6!3!5!4!4!5!3!6!2!7!1!26281939980582????++++++ ? ?????

?????++++++++ ? ???????

=

14．8台计算机分给3个单位，第一个单位的分配量不超过3台，第二个单位不

超过4台，第三个单位不超过5台，问共有几种分配方案 解：对应的母函数为：

2323423452

3

4

5

6

7

2

3

4

5

()(1)(1)(1)

(1234432)(1)

G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++++=++++++++++++

所求的分配方案数即8x 的系数，即分配方案数为： 414131211114++++=（种）

~

15．用母函数证明下列等式成立：

（1）2

2

2

201n n n n n n ????

????++

+= ? ? ? ?????

????

； （2）111n n n m n m n n n n ++++????

????++

+= ? ? ? ?+????????

。 证明：（1）

方法一：根据范德蒙恒等式

0110m n n m n m n m r r r r +??????????????=+++ ? ??? ??? ???-??????????????

令m r n ==，即得

2

2

2

2011001n n n n n n n n n n n n n n n ????????????????????=+++=+++ ? ??? ??? ??? ? ? ?-??????????

??????????

）

方法二：因为2(1)(1)(1)n n n x x x +=++，两边展开得

2

2222201201n n n n n n n n n n x x x x x n n n ??

????

????

??????++

+++=+++?? ? ? ? ? ? ? ?????

??

??????

????

比较n x 次方的系数，即得

2

2

2

2011001n n n n n n n n n n n n n n n ??????????

????????

??=++

+=+++ ? ??? ??? ??? ? ? ?-??????????

??????????

（2）

方法一：令(,)(1,)(,)m a C n n C n n C n m n =+++

++，

则 1(1,)(1,1)m m m a a C n m n a C n m m +=+++=++++，

且0(,)1a C n n ==，

—

令20120

()m m m A x a x a a x a x ∞

===+++

∑

则10

()1()(1,1)m m A x xA x C n m m x ∞

+==+++++∑

即23(1)()1(1,1)(2,2)(3,3)x A x C n x C n x C n x -=+++++++

因为23(1)1(1,1)(2,2)(3,3)(1)n C n x C n x C n x x -++++++++=-，

所以(1)(1)()(1)n x A x x -+-=-，

故

2

231()(1)1(2,1)(3,2)(4,3)(1,)n m A x x C n x C n x C n x C n m m x +=

-=+++++++

++++

所以 (1,)(1,1)m a C n m m C n m n =++=+++。证毕。 方法二： （

()()()

()

()()()()1

1

111111111

111n n n m

m n n m n

x x x x x x x x x +++++++++

+++-=++-??=

+-+?

?

比较两边n x 的系数，即可得：111n n n m n m n n n n ++++????

????

++

+= ? ? ? ?+????????

。

方法三（组合意义法）

等式右端：相当于从1n m ++个不同的球中取1n +个球的组合，

其组合方案数为(1,1)C n m n +++；

等式左端：把这1n m ++个球编号为1,2,

,1n m ++，按取出的球中最小的编

号，可分为如下的m+1类：

如果取出的1n +个球中最小编号是1，其余n 个球要从去掉1号球后剩下的n m +个球中选取，此类组合方案数为(,)C n m n +；

如果取出的1n +个球中最小编号是2，则1不能被选取，其余n 个球要从去掉1，2号球后剩下的1n m +-个球中选取，此类组合方案数为

(1,)C n m n +-；…，依次类推，

;

如果取出的1n +个球中最小编号是m ，则1,2,

,1m -不能被选取，其

余n 个球要从去掉1,2,,1,m m -号球后剩下的1n +个球中选取，此类组合

方案数为(1,)C n n +；

如果取出的1n +个球中最小编号是1m +，则1,2,,m 不能被选取，其

余n 个球要从去掉1,2,,,1m m +号球后剩下的n 个球中选取，此类组合方

案数为(,)C n n ；

因此，按加法原理，从1n m ++个不同的球中取1n +个球的组合方案数为(,)(1,)(,)C n n C n n C n m n +++

++。

故等式两边相等。

16．证明自然数n 分拆为互异的正整数之和的分拆数等于n 分拆为奇数之和的分拆数。

证明：将n 分拆为互异的正整数之和的分拆数的母函数为：

()()()()()()23456124681012

2345635

()111111111111111111111111G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++------=------=

--

-

将n 分拆为奇数之和的分拆数的母函数为：

352000135()111()111i i i i i i G x x x x G x x x x ∞∞∞===??????

= ?????

??????==---∑∑∑ 所以，两种分拆的方案数相同。

17．求自然数50的分拆总数，要求分拆的每个分项不超过3。 解：其母函数为：

224362243636236236000()(1)(1)(1)(1)(1)(1)

1

(1)(1)(1)

111111(1)41412(1)111(1)(1)(1)

442114i i i

i i i i G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x ∞∞∞====+++++++++

=+++++++++

=+++--??=+++++??-+-??

??=+-+++++

????=+∑∑∑()36036(1)2(1)(1)

1

(2)2(1)1(1)2

i i i i x x x i i x x i i ∞

=-+++++?+??=+++

?

?+??∑为偶数为奇数

则所求的分拆数为50x 的系数，即

[]1

(2302)(2311)(2322)(2331)2

(23151)(23162)131617

[2172918]23422

++++++++++++++++++=+++=

注：

本站资料全部免费！如果您对资料有任何疑问，欢迎咨询QQ 1120 7789 59！ 本站资料大部分都是自己整理所得，请勿用作商业用途！ 同时也非常欢迎您从 tomos/ui/id=9

这个网站 上传您所感兴趣的资料给我，本人不胜感激！ 不管什么资料，只要您感兴趣就可以！ 最后推荐您注册千脑网站：