相遇问题

相遇问题（二）

【内容分析】在学习了简单的相遇问题之后，我们试图研究一些稍复杂的相遇问题，需要同学们清楚如下几点：

1、两人同时从同一点相背而行的问题可以转化为相遇问题来解决。

2、第二次相遇是两人共走了3个全程，也就是说每人走了第一次相遇时走的路程的3倍。

【例题点拨】

【例1】甲乙两车分别从A镇同时出发背向而行，甲每小时行46千米，乙每小时行67千米，3小时后两人相距多少千米？分析：这道题和上一讲的相遇问题很相似，只是从同一点出发，初始距离为0，相背而行，相当于每过一小时两车的距离就增加46+67=113（千米），这样3小时就相距113×3=339（千米）。

解题过程：（46+67）×3=339（千米）

答：3小时后两人相距339千米。

【例2】兄弟二人同时从家出发去学校。从家到学校相距1400米，哥哥骑自行车每分钟行200米，弟弟步行每分钟行80米。弟弟在行进中与刚到学校就返回的哥哥相遇。问：他们出发后几分钟相遇？

分析：这是一道相遇问题的变化题，相遇的总路程是2个从家到学校的距离（如图），

1400×2=2800（米）。其它条件和典型的相遇问题一样。

解题过程： 1400×2÷（200+80）=10（分钟）

答：它们出发后10分钟相遇。

【例3】王刚和张强两人同时从相距2000米的两地相向而行，王刚每分钟行110米，张强每分钟行90米，如果一只狗与王刚同时同向而行，每分钟行320米，遇到张强后立即返回跑向王刚，遇到王刚后再立即跑向张强，这样不断来回，直到两人相遇为止。狗共跑了多少米？分析：知道狗的速度和狗跑的时间就可以求得狗走的路程，速度已知；狗跑的时间与两人的相遇时间相同，2000÷(110+90)=10(分钟)。

解题过程： 2000÷(110+90)=10(分钟) 320×10=3200（米）

答：狗共跑了3200米。

【例4】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇。A、B两地相距多少千米？

分析：由上图可知，第二次相遇甲、乙二人共走了3个全程，而共走1个全程时甲走了60米，3个全程甲就走了60×3=180（千米），这180米加40千米正好是2个全程。由此可求一个全程。

解题过程：（60×3+40）÷2=110（千米）

答：A、B两地相距110千米

【习题精选】

1、甲、乙两车分别从A地同时出发背向而行，甲每小时行50千米，乙每小时行45千米，5小时后两人相距多少千米？

2、甲、乙两人分别从相距100千米的东、西两镇同时出发背向而行，甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，3小时后两人相距多少千米？

3、甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车从A地到B地需6小时，乙车从B地到A地需12小时，两车出发后几小时相遇？

4、某天早晨跑步，如果小玲每分钟跑210米，小红每分钟跑190米。小玲从起点跑到3000米处立即调头往回跑，那么同时起跑后多少分钟两人相遇？相遇时离起跑点多少米？（2002年广东省中山市小学数学竞赛）

5、A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行驶42千米，一只鸽子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回飞向甲车，这样一直飞下去，鸽子飞了多少千米时两车相遇？

6、两队学生从相距18千米的两地出发相向而行，一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，两队相遇后，骑自行车的同学共行了多少千米？

7、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地128米，相遇后继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地150米处相遇。

A、B两地相距多少米？

8、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地128米，相遇后继续千米，各自到达目的地后立即返回，在距B地150米处相遇。A、B两地相距多少米？

【自我测试】

1、A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站50千米处相遇，相遇后继续前进，各自到达对方车站后立即返回，第二次在距乙站30千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米？

2、一艘货船上午10时从甲港开往乙港，每小时行25千米，中午12时，一艘客船从乙港开往甲港，每小时行20千米，下午5时，两船相遇，相遇后继续行驶，当货船到达乙港时，客船离甲港还有多少千米？

（二）习题精选答案：1、475千米； 2、136千米； 3、4小时； 4、15分钟，2850米；5、250千米； 6、30千米； 7、(128×3＋150) ÷2=267（千米）8、128×3－150=234（千米）

自我测试答案：１、50×3－30=120（千米） 2、25×2+（25+20）×5=275(千米) 275÷25=11（小时）275-（11-2）×20=95(千米）

相遇问题

两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？

如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和会多出22千米（乙一小时的路程）：328+22×1=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和÷速度和=相遇时间”得350÷50=7（小时）

解：（328+22×1）÷（28+22）

=350÷50

=7（小时）

解法2：

（328-22×1）÷（28+22）

=300÷50

=6（小时）

6+1=7（小时）

答：从出发到相遇经过了7小时。

行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题。两个运动物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。

数量关系：

路程÷速度和= 相遇时间

路程÷相遇时间= 速度和

速度和×相遇时间= 路程

温馨提示：

在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时，二者发生关系那一时刻所处的状态；

在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点（非常重要）；无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。

解题秘诀：

必须弄清物体运动的具体情况，运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。

要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。

下面我们来看一些典型的题目：

例题：

东西两地相距60千米，甲骑自行车、乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人

每小时的速度各是多少？

解析：

由“甲每小时的速度比乙快10千米”可知，速度差是10千米/时，二人每小时速度和为60 ÷3 = 20 （千米/时），因此，求二人每小时的速度可用“和差问题”的方法解答。

解：甲（60 ÷3 + 10）÷2 = 15（千米/时）

乙15 - 10 = 5（千米/时）

答：家的速度是每小时15千米，乙的速度是每小时5千米。

行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：

这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

三个关系：

1. 简单行程：路程= 速度×时间

2. 相遇问题：路程和= 速度和×时间

3. 追击问题：路程差= 速度差×时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？

【解析】

这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）

第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）

第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

例2. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？

【解析】

从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。

解：

（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）

（2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分）（3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米）

答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。例3. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？

【解析】

从图中可知：快车3小时行的路程40×3=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。

解：

①甲乙两地路程的一半：40×3-12=108（千米）

②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米）

③慢车的速度：96÷3=32（千米）

答：慢车每小时行32千米。

例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？

分析与解答：

这是一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米。因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇。

例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？

分析与解答：

要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，

根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米。

例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？

分析与解答：

这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米，而两人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米，就是求36千米里面有几个12千米。所以，36÷12=3小时。

基础行程：找准每段路程上的S、V、T，列方程求解~

相遇：路程和=速度和×时间

追及：路程差=速度差×时间

环形相遇：第N次相遇，路程和N圈（描述为反向而行）

环形追及：第N次追及，路程差N圈（描述为同向而行）

直线两端出发N次相遇：路程和=（2N-1）×S

直线同一端出发N次相遇：路程和=2N×S

过桥：总路程=桥长+车长

完全在桥上：走过的路程=桥长－车身长