二次函数的概念

1、二次函数的解析式：

（1）一般式：

（2）顶点式： ，此时二次函数的顶点坐标为

（3）分解式（两根式）： 其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线x=2

21x x +； 2、二次函数的图象与性质：

（1） 开口方向：当a>0时，函数开口方向 ；当a<0时，函数开口方向 ；

（2） 对称轴（方程）：

（3） 顶点坐标：

（4） 增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而 ；

在对称轴右侧，y 随着x 的增大而 ；

（5） 最大或最小值：当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b 2-

，最小值为： （6） 与X 轴的交点个数：由 来判别

（7） 函数值的正、负性：

如图1：当x ＜x 1或x ＞x 2时，y ＞ 0；当x 1＜x ＜x 2时，y ＜0；

如图2：

（8）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，

0），B （x 2，0） ，则二次函数与X 轴的交点之间的距离AB=()22121x x x x -=-=()212214x x x x -+

（9）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：

（1）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；

（2）c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；

（3）b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a 、b 异号；

（10）图像与系数关系：

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则Δ=b2-4ac=0；

（2）二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；

（3）二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）经过原点，则c=0；

3、二次函数的解析式的求法：

（1）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；

总结：

（2）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；

总结：

（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；

总结：

（4）已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；

总结：

（5）已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；

总结：

（6）抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；

总结：

（7）抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；

总结：