自动控制理论第四版课后习题详细解答答案(夏德钤翁贻方版),DOC
《自动控制理论（夏德钤）》习题答案详解
第二章
2-1试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)111
11111+=+?
=Cs R R Cs
R Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b)设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有
联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：
2-2假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，
o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dt
du
C dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为
(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C c c i c ，021
0=+R u
R u c ， 联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du C
c c c ，且2
1R u
R u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为
2-3试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通f f i K =φ恒定
2-4一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。电动机的角位移为θ。 解：
()()
()φ
φφπφ
m A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +??
?
??++++=
26023
2-5图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流d i 与d u 间
的关系为?
??
?
??-?=-110026.06
d
u d e i 。假设电路中的Ω=310R ，静态工作点V u 39.20=，A i 301019.2-?=。试求在工作点),(00i u 附近)(d d u f i =的线性化
方程。
解：()2.0084.01019.23-=?--d d u i
2-6试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。
解：分别对物块1m 、2m 受力分析可列出如下方程： 代入dt dy v 11=
、dt
dy
v 22=得 2-7图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为i θ，温度计显示温
度为θ。试求传递函数)
()
(s s i ΘΘ（考虑温度计有贮存热的热容C 和限制热流的热阻R ）。
解：根据能量守恒定律可列出如下方程： 对上式进行拉氏变换得到 则传递函数为
2-8试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数)
()
(s R s C 。
解：(a)化简过程如下
传递函数为 (b)化简过程如下
传递函数为
2-9试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数)
()
(s R s C 。
G G
H
_
G G R(s
C(s) +
+ + + C(s + G 1+G 1+G R(s C(s G 1+C(s
R(s H C(s +
+
_ G
G
G H
G
G
H
1/_
+ R(s R(s G 4+G
2
G 3
H 3+H 2
+
_
C(s) C(s
R(s)
G G
G
H + _ +
_ +
C(s R(s)
a) + G H
G
G H G H
+ + + + _ _ R(s) C(s) b) 图_
0.
0.
+
+
_
R(s C(s
解：化简过程如下
系统的传递函数为
2-10绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数)
()
(s R s C 。
系统的传递函数为 2-11试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数)
()
(11s R s C 和)
()
(22s R s C （设0)(2=s R ）。
解：系统信号流程图如图所示。 题2-11系统信号流程图
2-12求图2-T-12所示系统的传递函数)()
(s R s C 。 解：(a)系统只有一个回环：cdh L =∑1，
在节点)(s R 和)(s C 之间有四条前向通道，分别为：a b c d e f P =1，
abcdi P =2，agdef P =3，agdi P
=4，相应的，有：14321=?=?=?=? 则
(b)系统共有三个回环，因此，s
C R s C R s C R L 21221111
11---
=∑， +
+ 0.
0.
K
_ _ R(s C(+
_ K 0.R(s C(C(
R(s
G H
G H
G
G
_ + + + + + R(s C(图
+ _
C 1(s
+ G G G
H G
H
G G + _ +
+ R 2(s R 1(s C 2(s 图2-T-11
两个互不接触的回环只有一组，因此，
22121221121
11s
C C R R s C R s C R L =???? ??-?-
=∑ 在节点)(s R 和)(s C 之间仅有一条前向通道：
2
21121111
11111s C C R sC R sC P =????
=，并且有11=?，则 2-13确定图2-T-13中系统的输出)(s C 。
解：采用叠加原理，当仅有)(s R 作用时，1
21222
111)()(H G G H G G G s R s C ++=， 当仅有)(1s D 作用时，1
21222
121)()(H G G H G G s D s C ++=， 当仅有)(2s D 作用时，
1
21222231)()(H G G H G G s D s C ++=-，
当仅有)(3s D 作用时，1
21221
21341)()(H G G H G H G G s D s C ++-=
根据叠加原理得出
第三章
3-1设系统的传递函数为
求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有
t t r =)(，21
)(s
s R =
所以有 分三种情况讨论 （1）当1>ζ时，
R(s) _ +
G G H
H
+ + +
+ + + _ _ D 1(D 3(s D 2(s
C(s 图
（2）当10<<ζ时， （3）当1=ζ时，
设系统为单位反馈系统,有 系统对单位斜坡输入的稳态误差为
3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为
（1）)21)(1.01(50)(s s s G ++=
（2）)5.01)(1.01()(s s s K
s G ++=
（3）)102()41)(21()(22++++=
s s s s s K s G （4）)
2004()(2++=s s s K
s G
解：（1）0)(lim ,0)(lim ,50)(lim
20
00======→→→s G s K s sG K s G K s a s v s p ； （2）0)(lim ,)(lim ,)(lim 2000====∞==→→→s G s K K s sG K s G K s a s v s p ； （3）10
)(lim ,)(lim ,)(lim 2000K
s G s K s sG K s G K s a s v s p ==∞==∞==→→→； （4）0)(lim ,200
)(lim ,)(lim 200
0====∞==→→→s G s K K
s sG K s G K s a s v s p 3-3设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。 （1）0)(R t r =，（2）t R R t r 10)(+=，（3）22102
1
)(t R t R R t r ++= 解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下
（1）0)(R t r =，此时有0)()(,)(0===t r t r R t r s s s ，于是稳态误差级数为
()0)(0==t r C t e s sr ，0≥t
（2）t R R t r 10)(+=，此时有0)(,)(,)(110==+=t r R t r t R R t r s s s ，于是稳
态误差级数为
()1101.0)()(R t r
C t r C t e s s sr =+= ，0≥t （3）221021
)(t R t R R t r ++=，此时有t R R t r
t R t R R t r s s 212210)(,2
1)(+=++= ，2)(R t r s = ，于是稳态误差级数为
())(1.0)(!
2)()(212
10t R R t r C t r
C t r C t e s s s sr +=++= ，0≥t 3-4设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入为t t r 5sin )(=，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下 以及
则稳态误差级数为
3-6系统的框图如图3-T-1a 所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b ），试证明当适当选取a 值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。
解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：n
sr e ωζ
2=，加入比例—微分环节后 可见取n
a ωζ
2=
，可使0=sr e
3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为
从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，096.0=p M ，s t p 2.0=。试确定传递函数中的参量ζ及n ω。
C(s b) R(s
图3-T-1
+
_ R(s C(s)
a)
+
_
解：由图可以判断出10<<ζ，因此有 代入096.0=p M ，2.0=p t 可求出
??
?==588.19598
.0n
ωζ 3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求
（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。
（2）整个系统的特征方程为046423=+++s s s 求三阶开环传递函数)(s G ，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为
根据条件（1）0)(11
lim 32213322130=+++++++=+=→K
k s k s k s k s k s k s s G e s sr 可知：03=k ；
根据条件（2）0464)(23=+++=s s s s D 可知：41=k ，62=k ，4=K 。 所以有
3-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为)(s G ，如要求 （1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。 （2）三阶系统的一对主导极点为11,21j s s ±-=。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数)(s G 。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程 将上式与0)(1=+s G 比较，可得系统的开环传递函数 根据条件（1），可得
解得1=a ，于是由系统的开环传递函数为 3-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。
G(
R(C(
+ _
图3-T-3
（1）s K 1,5.4==τ（2）s K 1,1==τ（3）s K 1,16.0==τ 解：系统单位阶跃响应的象函数为
（1）将5.4=K ，1=τs 代入式中可求出s rad n /12.2=ω，24.0=ζ，为欠阻尼系统，因此得出
%46=p M ，%)2(86.7s t s =，%)5(90.5s
（2）将1=K ，1=τs 代入式中可求出s rad n /1=ω，5.0=ζ，，为欠阻尼系统，因此得出
%3.16=p M ，%)2(8s t s =s ，%)5(6s
（3）将16.0=K ，1=τs 代入式中可求出s rad n /4.0=ω，25.1=ζ，过阻尼，无最大超调量。因此只有15=s t s 。
3-11系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a 的值。
（1）当a=0时，则系统传传递函数为8
28
)(2
++=
s s s G ，其中228==n ω，22=n ζω，所以有354.0=ζ。
（2）n ω不变时，系统传函数为8
)28(8
)(2
+++=
s a s s G ，要求7.0=ζ，则有)14(22+=a n ζω，所以可求得求得25.0=a 。
3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1.单位脉冲响应 (a)无零点时 （b ）有零点1-=z 时
比较上述两种情况，可见有零点1-=z 时，单位脉冲响应的振幅较无
零点时小，而且产生相移，相移角为n
n
arctg ζωωζ--112。
2．单位阶跃响应 (a)无零点时 （b ）有零点1-=z 时
加了1-=z 的零点之后，超调量p M 和超调时间p t 都小于没有零点的情况。
3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？ 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节
()
s
s K 111+τ，当误差信号()0=t e 时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现()0 3-14上述系统，如在()t r 为常量时，加于系统的扰动()t n 为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动()t n 为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？ 在()t r 为常量的情况下，考虑扰动()t n 对系统的影响，可将框图重画如下 图A-3-2题3-14系统框图等效变换 根据终值定理，可求得()t n 为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0， ()t n 为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 1 1 K 。 从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。 3-15已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。 （1）劳斯表有3 30360 423810 12 3 4 s s s s s 则系统系统稳定。 （2）劳斯表有2 82 10 422110 12 3 4s s s s s -劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （3）劳斯表有10 1210106 6109116310 12 3 45s s s s s s -劳斯阵列第一列符号改变两次，根 据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （4）劳斯表有4 344 312 84 6269348510 123 4 56s s s s s s s 系统处于稳定的临界状态，由辅 助方程()46224++=s s s A 可求得系统的两对共轭虚数极点 2;4,32,1j s j s ±=±=。 3-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K 值的范围。 （1）K>0时,系统稳定。（2）K>0时，系统不稳定。（3）0 3-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为) 12)(1() 1()(+ ++= s s s s K s G τ请 在以K 为横坐标，τ为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。 系统的特征方程为0)1()2(2) (23=+++++=K s K s s s D ττ 列写劳斯表 k s k k s k s k s 0 1 2322)1)(2(2 12+-++++τττττ，得出系统稳定应满足的条件 02 2)1)(2(>+-++τττK K 由此得到和应满足的不等式和条件 2 3 4 5 9 15 30 100 6 4 3.3 3 2.5 2.28 2.13 2.04 根据列表数据可绘制K 为横坐标、τ为纵坐标的曲线，闭环系统 稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。 图A-3-3闭环系统稳定的参数区域 3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 ) 1000)(200() 40)(5()(3 ++++= s s s s s K s G 试求系统的临界增益c K 之值及无阻尼振荡频率值。 根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程 列写劳斯表 根据劳斯判据可得 系统稳定的K 值范围为 当611022.1?=K 、82107535.1?=K 时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益61022.1?=c K 以及8107535.1?=c K 。 根据劳斯表列写61022.1?=c K 时的辅助方程 解得系统的一对共轭虚数极点为162,1j s ±=，系统的无阻尼振荡频率即为s rad /16。 8107535.1?=c K 时的辅助方程 解得系统的一对共轭虚数极点为3384,3j s ±=，系统的无阻尼振荡频率为s rad /338。 第四章 4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益 1K 变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）()()() 311 ++= s s s K s G 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴[]01， -与[]3，∞-上有根轨迹，渐近线相角 180,60±±=a ?，渐近线与实轴交点33.1-=a σ，由 01 =dS dK 可得出分离点为）（0,45.0j -，与虚轴交点()1231=±K j 。常规根轨迹如图A-4-2所示。 图A-4-2题4-2系统（1）常规根轨迹 （2）()()() 20 4421 +++= s s s s K s G 方法步骤同上，实轴(]04， -上有根轨迹， 135,45±±=a ?，2-=a σ，分离点()()5.220,2j j ±--与，与虚轴交点()260101=±K j 。常规根轨迹如图A-4-3所示。 图A-4-3题4-2系统（2）常规根轨迹 4-3设单位反馈系统的开环传递函数为) 1()(21 += s s K s G （1)试绘制系统根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点1-=z ，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？ （1）()() 22 1 += s s K s G 实轴[]2-∞-， 上有根轨迹，67.0,60-=±=a a σ? ，由01 =dS dK 可得出分离点为()0,0j ，与虚轴交点为0j ()01=K 常规根轨迹如图A-4-4（a ）所示。从根轨迹图可见，当01>K 便有二个闭环极点位于右半s 平面。所以无论K 取何值，系统都不稳定。 图A-4-4题4-3系统常规根轨迹 （2）()()() 212 1++= s s s K s G 实轴[]12--， 上有根轨迹，5.0,90-=±=a a σ? ，分离点为()0,0j ；常规根轨迹如图A-4-4（b ）所示。从根轨迹图看，加了零点1-=z 后，无论K 取何值，系统都是稳定的。 4-4设系统的开环传递函数为) 2() 2()()(2 1a s s s s K s H s G +++= 试绘制下列条件下系统的常规根轨迹（1）a=1(2)a=1.185(3)a=3 （1）a=1时，实轴(]02， -上有根轨迹， 90±=a ?，0=a σ，分离点为()038.0，-，常规根轨迹如图图A-4-5（1） 图A-4-5（1） （2）a=1.185时，实轴(]02， -上有根轨迹， 90±=a ?，0=a σ，根轨迹与虚轴的交点为()j ±， 0，常规根轨迹如图图A-4-5（2） 图A-4-5（2） （3）a=3时，实轴(]02， -上有根轨迹， 90±=a ?，0=a σ，根轨迹与虚轴的交点为()j ±， 0，常规根轨迹如图图A-4-5（3） 图A-4-5（3） 4-5求开环传递函数为) () 1()()(21a s s s K s H s G ++= 的系统在下列条件下的根轨 迹（1）a=10（2）a=9（3）a=8(4)a=3 （1）实轴[]110--， 上有根轨迹，5.4,90-=±=a a σ? ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1） 图A-4-6（1） （2）实轴[]19--， 上有根轨迹，4,90-=±=a a σ? ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2） 图A-4-6（2） （3）实轴[]18--， 上有根轨迹，5.3,90-=±=a a σ? ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3） 图A-4-6（3） （4）实轴[]13--， 上有根轨迹，1,90-=±=a a σ? ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4） 图A-4-6（4） 4-7设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a 为变量的根轨迹，并 要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论 a=2时局部反馈对系性 能的影响。(3)确定临界阻尼时的a 值。 系统特征方程为 以α为可变参数，可将特征方程改写为 从而得到等效开环传递函数 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴(]0， ∞-上有根轨迹1,180-=±=a a σ? ，分离点为()0,1j -，出射角为?=150 P ?。参数根轨迹 如图A-4-7所示。 图A-4-7题4-7系统参数根轨迹 （1） 无局部反馈时()0=α，单位速度输入信号作用下的稳态误差为 1=sr e ；阻尼比为5.0=ζ；调节时间为()%56s t s = （2） 2.0=α时，2.1=sr e ，6.0=ζ，%)5(5s t s = 比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。 （3） 当1=α时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点 12,1-=s 。 4-8根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。 （1）实轴(][)∞+--∞-，， 12 有根轨迹，5.1,90-=±=a a σ? ，分离点为()05.1，-，与虚轴交点为()301=K j 。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1） （2）实轴[)[]120--∞+，， 有根轨迹，2,1200-=±=a a σ? ，，分离点为 ()057.1，-，与虚轴交点为()301=K j 。常规根轨迹大致图形如图A-4-8 （2） （3）实轴[)[][]34120----∞+，，， 有根轨迹，2,1200-=±=a a σ? ，，虚 轴交点为()()375.591.001=K j ，。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）