数列通项公式大全

数列{}n a 通项公式专题

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前言：递推公式就是用等式给出一个数列任意相邻项之间存在的规律，是对数列规律的一种呈现方式。最简单的是给出任意相邻两项之间的规律，并给出第一项的值；也有给出任意相邻三项之间的规律，并给出第一项和第二项的值。根据这样的递推公式，我们可以依次求出已知项的后一项，再后一项……，还可以求出数列的通项公式。

递推公式与通项公式的相同之处都是揭示数列存在的规律；不同之处在于前者揭示的是任意相邻项之间的规律，后者揭示的是任一项与项数之间的规律。

（一）整式型 1.累加法 2.累乘法 3.构造法 4.对数法

（二）分式型 1.倒数法

2.函数不动点法

深圳金桥家教网 （三）其它类型

1.特征方程法

2.分段数列

3.周期数列

4.数学归纳法

5.迭代法

6.含n S 型（公式法）

7.逐代法+解方程法

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（一）整式型

1.累加法

形如)(1n f a a n n =-+型，若f(n)为n 的函数时，用累加法. 1.（2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ,证明2

1

3-=n n a

2.已知数列

{}

n a 的首项为1，且*

12()n n a a n n N +=+∈写出数列

{}

n a 的通项公式.

答案：12

+-n n

3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(1

1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：n

a n 12-

= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .

4. (2008福建文) 已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，

且点*

1)()n a n N +∈在函数21y x =+的图像

上：

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足111,2n a

n n b b b +==+，求证：2

21n n n b b b ++?<

5．（2007北京文、理) （本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；

（II ）求{}n a 的通项公式．

2.累乘法 形如

)(1

n f a a n

n =+型，当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 1.已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 1

1+=+，求数列{}n a 的通项公式。 2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公

式是n a =________.

解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a

∴112211a a a a a a a a n n n n n ????=

---Λ=121121??--?-Λn n n n =n

1

. 3.已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.

n a a n n =+++1

1

1

评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .

4．(2008天津理) 在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足

()031=+-+n n S n nS ,12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.

（Ⅰ）求22,b a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； 3.构造法

形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型， 1. 已知数列}{n a 中，,2

1

21,211+=

=+n n a a a 求通项n a . 方法1：若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,

方法2：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有

)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

方法3：归纳、猜想、证明.

先计算出321,,a a a ,再猜想出通项n a ,最后用数学归纳法证明.注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同

形如)(1n f pa a n n +=+型

1.在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .

2.在数列{}n a 中，362,2

3

11-=-=

-n a a a n n ,求通项n a . 3.（2003天津理）设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--．证明对任意n ≥1，

012)1(]2)1(3[5

1

a a n n n n n n ?-+?-+=-；

4.（2010重庆理数）在数列{}n a 中，1a =1，()()1121*n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠。 求{}n a 的通项公式；

5．（2008安徽文）设数列{}n a 满足*

01,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数，且0c ≠

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式

（Ⅱ）设11

,22

a c =

=，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ； 6.（2007全国Ⅱ理）（本小题满分12分）设数列{a n }的首项a 1∈ (0,1), a n =2

a 31

n --，n =2,3,4…

（1）求{a n }的通项公式；

（2）设n n n a a b 23-=，求证n b <1+n b ，其中n 为正整数。

7.（2007天津文）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*

N ．

（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*

N 皆成立． 若n

q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：n

n n q a a +=+1，累加即可. ②若1≠p 时，即：n

n n q a p a +?=+1，

求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以1

+n p .

即：

n n

n n n q p p q a p a )(11

1?+

=

++,令n n n p

a b =，则n n n q p

p b b )(11?=-+, 然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1

+n q

. 即：

q

q a q p q a n n n n 1

1

1+?=

++, 令n

n n q a b =

,则可化为q

b q p b n n 1

1+?=

+.然后转化为类型5来解， iii.待定系数法： 设)(1

1n n n n p a p q

a ?+=?+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.

4.对数法

形如r

n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型（1）p>0，0>n a 用对数法. （2）p<0时 用迭代法. 1.设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

2. 数列{}n a 中，11=a ，12-=n n a a （n ≥2），求数列{}n a 的通项公式. 答案：n

n a --=22

22

3.（2005江西卷）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a N n a a a a n n n ∈-==+),4(2

1

,110， （1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式a n

（二）分式型

1.倒数法 形如s

ra q

pa a n n n ++=

+1型

1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1

211

≥+=

--n a a a n n n ，求通项公式n a 。

2. (2008陕西理)已知数列{}n a 的首项13

5

a =

，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．求{}n a 的通项公式；

3.（湖北卷）已知不等式

n n n 其中],[log 2

1

131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足Λ,4,3,2,),0(1

1

1=+≤

>=--n a n na a b b a n n n

（Ⅰ）证明Λ,5,4,3,]

[log 222=+

a n

2.函数不动点法 形如),,(1为定值q p m q

a p

ma a n n n ++=

+型,方法：不动点法:

1. 设数列｛a n ｝满足7

24

5,211++=

=+n n n a a a a ,求｛a n ｝的通项公式.

2. 设数列｛a n ｝满足7

24

5,211++=

=+n n n a a a a ,求｛a n ｝的通项公式.

3．（2007四川理）已知函数()2

4f x x =-，设曲线()y f x =在点()()

n n x f x ，处的切线与x 轴的交点为

()()*10n x n +∈N ，

，其中1x 为正实数． （Ⅰ）用n x 表示1n x +；

（Ⅱ）求证：对一切正整数n ，1n n x x +≤的充要条件是12x ≥； （Ⅲ）若14x =，记2

lg

2

n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式．

我们设

q

x p

mx x f ++=

)(,由方程x x f =)(求得二根

x,y,由q

a p

ma a n n n ++=

+1有

q

a x

a q x p mq q x p mx q a p ma x a n n n n n +-?+-=++-++=

-+1

同理q a y a q y p mq q y p my q a p ma y a n n n n n +-?+-=++-++=

-+1,两式相除有y

a x

a q x q y a x a n n y n n --?

++=--++11,从而得

y

a x a q x q y y a x a n n n --?++=---++11111)(,再解出n a 即可.

分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.

解：对等式两端同时加参数t,得：

7

2524

7)52(727)52(72451

++++

+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a , 令5

24

7++=

t t t , 解之得t=1,-2 代入72)52(1+++=++n n n a t a t t a 得

7213

11+-=-+n n n a a a ,7

22

921++=++n n n a a a ,

相除得

21312111+-?=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为

4

1

2111=+-a a ， 公比为31

的等比数列, 21+-n n a a =n -?1341, 解得1

3423411-?+?=--n n n a .

方法2：,Λ

7

213

11+-=-+n n n a a a ，

两边取倒数得

1

3

32)1(39)1(2)1(3721

11-+=-+-=-+=

-+n n n n n n a a a a a a ，

令b 1

1

-=

n n a ，则b =n n b 33

2

+,,Λ转化为类型5来求. （三）其它类型

1.相邻三项型（特征方程法）

形如11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型

1.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .

2. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a .

3. 斐波那契数列),3,2(,11121Λ=+===-+n a a a a a n n n ，求通项公式n a 。

4.已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。

5. 已知数列,1,021==a a 且)2(2211≥+=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。

6.设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7

24

5,211++=

=+

()()解之可得令,5

247,72524

75272475272451++=++++

?

+=++++=+++=++t t t a t t a t a t a t t a a t a n n n n n n n 1-=t ，2，代入7

2)52(1++?

+=++n n n a t

a t t a ，

得,72292,7213111++?=++-?

=-++n n n n n n a a a a a a 相除得,2

1

312121+-?=+-++n n n n a a a a

即31,41212111公比为是首项为=+-?

?

???

?+-a a a a n n 的等比数列， 1

342

34,341211

11-?+?=?=+----n n n n n n a a a 解得。 7. (2008广东理)已知p ，q 是实数，

,

为方程02

=+-q px x 的两个实根，数列{}n x 满足

q p x p x -==221,,21---=n n n qx px x (n=3,4,......),

(1)证明：,; (2)求数列{}n x 的通项公式； (3)若4

1

,1=

=q p 求{}n x 的前n 项和n S . 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：

对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：

设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02

2=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n

n n B c A c a 21+=

2、 若方程有两等根,B A =则n

n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。

下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。 设)(11-+-=-n n n n ta a s ta a ，则11)(-+-+=n n n sta a t s a , 令??

?-==+q

st p

t s （*）

（1） 若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-+-=-n n n n a t a s a t a , )(12221-+-=-n n n n a t a s a t a ,

由等比数列性质可得1

1

11211)(-+-=-n n n s a t a a t a , 1

2

12221)(1-+-=-n n n s a t a a t a ,

,21t t ≠Θ由上两式消去1+n a 可得 ()()()

n

n n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221121112..-----=

.

特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根(),sin cos θθi r ±通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项

公式为(),sin cos 21θθn c n c r a n

n +=其中1c 、2c 可由初始条件求出。

（2） 若方程组（*）有两组相等的解???==2

12

1t t s s ，易证此时11t s =，则

()()1121

1

2112

111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n -==-=-=-----+K ，

2

1

1

121

1

1

1s a t a s a s a n

n n n -=

-

∴

++,即?

??

??

?n n s a 1是等差数列， 由等差数列性质可知

()21

112111

.1s a t a n s a s a n

n --+=

， 所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.???

?????-+????

??--=．

这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去t （或s ）即得,002

2

=--=--q pt t q ps s 或此方程的两根即为特征方程q px x +=2

的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。

2.分段数列

1.(2008上海理)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝?????a n +c ，a n <3

a n d

， a n ≥3

⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式

⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100 2. (2008湖南理)数列{}2

21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22

n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； 3.（2005江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足

S n －S n －2=3,2

3

,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.

解：方法一：因为),3()2

1

(31112≥-?=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以

以下同例1，略

答案 ???

?????+-?-=--.

,)21(34,,)2

1(3411为偶数为奇数n n a n n n

3.周期数列

形如)(1n f a a n n =++型

1. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n }的通项公式.

（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.

分析 1：构造 转化为)(1n f a a n n =-+型解法1：令n n

n a b )1(-= 则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(1

11111?-=+-=---=-++++++.

2≥n 时,????

?

????=-=??-=--?-=--?-=-----01

2)1()2(2)1()1(2)1(11212

1

211a b b b n b b n b b n n n n n n Λ

Λ 各式相加:[]

1)1(2)1()2()1()1()1(22

31?-+?-++--+--=-Λn n b n n n

当n 为偶数时，n n n b n =??

?

???-?-+-=22)1()1(2. 此时n b a n n == 当n 为奇数时，1)2

1

(2+-=--

=n n b n 此时n n a b -=,所以1-=n a n . 故

???-=.

,,,1为偶数为奇数n n n n a n

解法2：Θn

a a n n 21=++

∴2≥n 时，)1(21-=+-n a a n n ，

两式相减得：211=--+n n a a .

∴,,,,531Λa a a 构成以1a ,为首项，以2为公差的等差数列;

,,,,642Λa a a 构成以2a ,为首项，以2为公差的等差数列 k d k a a k 2)1(22=-+=.

评注：结果要还原成n 的表达式. 形如)(1n f a a n n =?+型

1. 已知数列满足}{n a )(,)2

1(,3*

11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列的通项公式. 注：同上例类似，略. （

（1）若p a a n n =?+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 4. 数学归纳法 1．数列{}n a 中，9,321

1

=+=-a a a n

n n

求数列{}n

a 的通项公式。

5. .迭代法 1．数列{}n a 中，.1,121

1

=-=-a a a n n

求数列{}n

a 的通项公式。

2．数列{}n a 中，

9,321

1

=+=-a a a n

n n

求数列{}n

a 的通项公式。

3．数列{}n a 中，3,35211

1=?+=+-a a a n n n 求数列{}n a 的通项公式。

4．数列{}n a 中，2,221

1

1

=+=--a a a n n n

求数列{}n

a 的通项公式。

5．数列{}n a 中，

2,1321

1

=-+=-a n a a n n

求数列{}n

a 的通项公式。

6.含n S 型（公式法）

1．数列{}n a 中，11a =，S n 为数列{n a }的前n 项和，n ≥2时n a =3S n ，求数列{}n a 的通项公式。 2. 设数列{}n a 满足21*123333,3

N n n n a a a a n -+++?+=∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设b n =

n

a n

，求数列{}n b 的前n 项和S n . 3.（2009四川卷文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记

*4()1n

n n

a b n N a +=

∈-。求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； 4．(2008全国Ⅱ卷理)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ． （Ⅰ）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

5.（2007福建文)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n (n ∈N*). (I)求数列{a n }的通项a n ;

(II)求数列｛na n ｝的前n 项和T .

6.（2007重庆理）(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且

*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式；

7.（2010上海文数）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*

n N ∈

(1)证明：{}1n a -是等比数列；

(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .

8．(2008四川文) 设数列{}n a 的前n 项和为22n

n n S a =-，

（Ⅰ）求14,a a

（Ⅱ）证明： {}

12n n a a +-是等比数列； 9.已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21n

n n a n

a S +=

,求数列}{n a 的通项公式. 解:由已知)(21n n n a n a S +=

得)(211

1---+-=n n n n n S S n

S S S , 化简有n S S n n =--212,由类型(1)有n S S n ++++=Λ322

12,

又11a S =得11=a ,所以2

)

1(2

+=

n n S n ,又0>n a ,2

)

1(2+=n n s n ,

则2

)

1(2)1(2--+=

n n n n a n

7.逐代法+解方程法