关于碳排放的数学建模

数学建模

题目名称：关于全球碳排放的预测模型

组别：2014004B

姓名：范程

学号：416114513058

2014年5月

目录

目录 (2)

摘要 (3)

1. 前言 (4)

1.1全球碳排放现状 (4)

1.2 全球变暖 (4)

1.3 面临的问题 (4)

2.问题重述 (5)

3.问题假设 (5)

4.符号约定与说明 (5)

5.问题澄清 (6)

6.模型建立与求解 (6)

6.1 问题一至2030、2050年碳排放预测 (7)

6.1.1 GM(1,1)模型设定 (7)

6.1.2 模型检验方法 (8)

6.1.3 GM(1,1)碳排放模型的建立 (9)

6.1.4 碳排放预测值分析 (11)

6.1.5 对于GM(1,1)模型的评价 (11)

6.2 问题二控制全球温度变化的预测 (12)

6.2.1相关分析 (12)

6.2.2 模型求解 (14)

6.2.3 模型评价 (15)

6.3 问题三各国排碳权及承担义务 (16)

6.3.1 模型的假设 (19)

6.3.2 求解 (20)

6.3.3影响碳排放分配的因素 (21)

6.3.4分配碳排放的原则和措施 (21)

7.技术报告 (22)

7.1 简介 (22)

7.2 全球碳排放 (22)

7.2.1全球碳排放形式 (22)

7.2.1全球碳排放的预测 (23)

7.3 抑制全球温度上升的解决方案 (23)

7.4 各国义务 (23)

参考文献 (24)

关于全球碳排放的预测模型

摘要

本文建模的方法多元，因为碳排放模型的复杂与不确定性，于是我们应用基于灰色模型的方法对世界的碳排放量做出预测和分析。依据1981-2010年全球碳排放量数据采用GM(1,1)模型对全球2030年的碳排放量进行了预测，从而进一步预测后20年碳排放量，在数据预测完成之后对数据进行残差计算，验证模型的预测精度。建立热力学方程，运用回归模型，得到全球二氧化碳浓度和全球平均温度的关系，运用热力学方程设置温度上限，继而得到一个合理的碳浓度上限，通过与碳排放量之间的关系来制定减排的目标，完成联合国气候目标，二氧化碳浓度的变化的极限值。问题三种，把世家上的国家的分为发达国家联盟、金砖四国和其它国家。在金砖四国发展到发达国家阶段后，可以通过发达国家之前的碳排放趋势作为达到发达国家之后的发展趋势。同时考虑人口数目和国土面积，对碳排放权进行相对公平的分配，得到每个国家的减排量。

关键词：碳排放量预测；灰度模型；分类预测；曲线拟合

1. 前言

1.1全球碳排放现状

自18世纪中叶工业革命以来，随着全球生产力的创造性变革，促使全球经济的快速的发展。而伴随着经济的发展大量的化石能源在人类生产、生活活动中的应用。造成了大量的温室气体的排放。温室气体中主要的气体是二氧化碳，而二氧化碳在大气中少则50多则200都不会消失。从1850年到2005年这155年间全球二氧化碳排放量达1.12万亿吨。其中发达国家排放达8千多亿吨，占全球百分比达72%。美国占世界累计百分比亦达到41%。而从近年的发展来看，中国、印度、俄罗斯等金砖国家随着经济的快速发展二氧化碳排放量的增长非常迅猛，占世界总排放比也逐渐加重，这与发达国家历史的发展也十分相似。美、欧、日等发达国家的排放量已经趋于稳定且有下降趋势，然而其占比重也是十分可观。从人均的碳排放量来看，美国人均历史排放量达1105吨高居世界第一，其他发达国家也拥有非常高的比重。根据目前情况来说，中国的人均排放量较于发达国家来说只有其1/3左右，实际总排放量则达世界第一[1]。

1.2 全球变暖

全球变暖是近年来备受热议的一个议题，其主要原因是由于人们焚烧化石燃料，例如天然气、石油、煤炭等，产生大量的温室气体（主要是二氧化碳）。这些温室气体对于来自太阳的辐射具有高透性，而对于地球发射出的长波辐射具有高吸收性，从而使能量的收支不平衡而造成地球的气温上升，即温室效应。在整个20世纪全世界的平均温度约上升了0.6℃北半球的春天冰雪解冻比150年前提前了9天而秋天霜冻却晚了约10天。全球变暖将导致诸如海平面上升，冰川消融，城市被淹没，热浪袭击，生物链断层，生态失衡等一系列的影响人类生存的问题。

1.3 面临的问题

前文提到全球碳排放的增长短期内似是一个无法阻止的进程，也就意味着全球变暖的步伐无法得到有效的抑制。面临生存危机的挑战，如何建立一个有效的世界性的约束机制正摆在世界各国的面前。本文的研究正是基于此的考虑，若能够以一个较为准确的方法预测未来世界范围内的碳排放量，合理的分配碳排放权限将会十分的有益。我们这

里从经济、社会、人口等各个角度考虑，借助数学方法期望以一个定性的量化分析帮助在控制碳排放上做一个参考意见。

2.问题重述

“全球气候变暖”（Global Warming）以及“碳减排”（Carbon emission reduction）问题，已成为世界关注的一个热点问题。但是由于各国环境条件的巨大差异以及利益间的巨大冲突，世界各国却无法达成一个有法律约束力的“碳排放”协议，为此，联合国政府间气候变化专业委员会—IPCC特聘请你们提供相关研究报告，内容应包括：

1.在收集相关信息的基础上，对当前全世界碳排放形势作出分析，并据此建立模型预

测至2030年及2050年前的碳排放情况。

2.如果要达到联合国“使全球变暖不超过2摄氏度”的气候变化目标，给出你们认为

合理、现实的解决方案，并据此预测全世界2030年及2050年的碳排放情况。联合国的气候变化目标是否可以达到？

3.按照你们的解决方案，具体到美国、日本、俄罗斯、印度、巴西、中国等国家，各

自应承担什么义务？理由是什么？

4. 将你们的研究结果写成一份不超过两页的简短报告，提交给IPCC。

要注意所引用数据的可靠性。所有引用文献请注明出处。

3.问题假设

1）碳排放量仅与所述条件相关，忽略其他非重要因素对碳排放量的影响。

2）所排放的碳完全转化为CO2，且温室气体中仅考虑CO2浓度对温度的影响。

3）忽略数据统计与收集时的误差。

4.符号约定与说明

符号变量说明

P c二氧化碳浓度

T 绝对温度

J* 单位面积辐射总能量

ε黑体辐射系数

σ斯特藩-玻尔兹曼常数

Q 单位时间地球辐射热量

E 碳排放

G 人均GDP

5.问题澄清

影响碳排放量的因素非常多，人类活动所造成的碳排放主要与人类的生产活动与生活活动相关。生产活动中的影响因素有生产技术水平与含碳能源消耗，生产技术主要是对能源转化效率的影响。生活活动中有人口的变化、城镇化等。对于问题一，通过数据的查询我们能够得到全世界近些年的碳排放等各项数据，分析可知碳排放的全球形势。

关于未来一段时间内的碳排放的预测，我们这里采用拟合原有数据的方式估算碳排放量。碳作为宇宙中的一种化学元素，在地球上来说其总量是相对固定的，大气中的碳组成主要是以二氧化碳形势存在的。而二氧化碳排放到大气中的主要途径是通过化石燃料的燃烧，土地利用的形式，等等。而这些因素的综合都在人类的活动中创造价值。我们这里用GDP来抽象财富。通过GDP考量综合因素，建立碳排放量与之数学模型关系。并推算预测未来的碳排放。

对于问题二，CO2在反射太阳辐射与吸收地球长波辐射中，保存了部分的能量导致地球能量的收支不均，进而引起地球表面温度上升。温室效应的效果是与CO2的浓度直接相关的，通过考虑CO2浓度与吸收热量之间的关系，若需要控制温度上升不超过2℃，那么必需控制CO2的浓度保持在一个范围之内，也就是直接控制碳排放量。

问题三，在世界经济的发展过程中，各国的发展情况不可一概而论，美、欧、日等发达国家在工业发展的过程中历史的碳排放达70%。而近年来中、印、俄、巴西等发展较快的国家在全球的碳排放比例日益加大。由此，我们可以根据历史情况与当前实际情况两个方面对这些主要国家所要承担的世界责任作出恰当的分配。

6.模型建立与求解

建立的各模型之间的关系：

灰度模型

碳排放量

CO2

浓度

温室效应模型IPCC

调节

各国采取措施

碳排放分配模型

6.1 问题一至2030、2050年碳排放预测

6.1.1 GM(1,1)模型设定

设：

通过一阶累加生成新序列：

其中，

定义的灰导数为

令=(k=2,3,…n)，则GM(1，1)的灰色方程模型为：

+a,

即：

其中a称为发展灰度，b称为灰色作用量，为GM(1,1)模型的基本形式。

GM(1,1)模型的最小二乘估计参数满足其中

Y=, B=

设(k)的时刻k(k=2,3,…,n)视为连续的变量t,则序列就可以看成时间t的函数，记为。于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程

称为GM(1,1)的白化型。

(1)白化方程的解也称时间相应函数为：

(2)GM(1,1)模型的时间响应序列为

(3)还原值

其中发展灰度a反映了及的发展态势，灰作用量反应数据变化的关系。

6.1.2 模型检验方法

(1) 残差合格模型检验

设原始序列为

相应的预测模型模拟序列为

残差序列为

相对误差序列为

1.对于,称为k点模拟相对误差，称的平均相对

误差；

2.称为平均相对精度，为k点的模拟精度，k=1,2,…,n;

3.给定α，当且成立时，称模型为残差合格模型。

(2) 关联度合格模型检验

设为原始序列，为相应的模拟序列，为与的绝对关联度，如果对于给定的>0,有,则称模型为关联度合格模型。

(3) 小误差概率合格模型检验

设为原始序列，为相应的模拟序列,为残差序列，则

分别为的均值和方差：

分别为残差的均值和方差。

1.称为均方差比值，对于给定的，当时, 称模型为均方差比

合格模型。

2.称为小误差概率，对于给定的,当p>时，

称模型为小误差概率合格模型。

以上三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度。其中，平均相对误差和模拟误差都要求越小越好, 关联度要求越大越好，均方差比值C越小越好以及小误差概率p越大越好。给定α，，，的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级。常用的精度等级如表1所示。

表 1 精度检验等级参照表

指标临界值精度等级相对误差α关联度均方差比值小误差概率

一级0.010.900.350.95

二级0.05 0.80 0.50 0.80

三级0.10 0.70 0.65 0.70

四级0.20 0.60 0.80 0.60

6.1.3 GM(1,1)碳排放模型的建立

根据1981-2010年世界碳排放量为原始序列，建立了30维德GM(1,1)模型，进而对未来碳排放量进行预测。

从世界银行的数据银行中可以得到世界近30年的碳排放数据，如图表2

表2 世界碳排放总量数据

年份19811982198319841985

1876718621.318542.41921419786.4排放量

（亿吨）

年份19861987198819891990碳排放量

20388.720899.921652.922123.222222.9（百万吨）

年份19911992199319941995

22546.62234822333.922717.823202.1碳排放量

（百万吨）

年份19961997199819992000碳排放量23732.824154.52435924238.924807.3

年份20012002200320042005

25401.325654.327194.528628.329677碳排放量

（百万吨）

年份20062007200820092010

30692.821411.532207.232049.633615.4碳排放量

（百万吨）

表2中的1981~2010年份的碳排放量为基准值，对2030及2050的碳排放量进行GM(1,1)预测，具体预测结果如图1所示。

图1碳排

放预测值与实际值曲线

表3为预测的1981到2010的碳排放量的数据值，

表3 碳排放预测表

年份2011 2012 2013 2014 2015

36529.7 37285.2 38056.3 38843.4 39646.7 碳排放量

（百万吨）

年份2016 2017 2018 2019 2020

40466.7 41303.6 42157.8 43029.7 43919.7 碳排放量

（百万吨）

年份2021 2022 2023 2024 2025 碳排放量

44828 45755.1 46701.4 47667.2 48653.1 （百万吨）

年份2026 2027 2028 2029 2030 碳排放量49659.3 50686.4 51734.7 52804.6 53896.7

年份2031 2032 2033 2034 2035 碳排放量

55011.4 56149.1 57310.4 58495.7 59705.5 （百万吨）

年份2041 2042 2043 2044 2045

60940 62200.6 63487 64800 66140.2 碳排放量

（百万吨）

年份2046 2047 2048 2049 2050

67508.1 68904.3 70329.4 71783.9 73268.6 碳排放量

（百万吨）

6.1.4 碳排放预测值分析

表4 中可以看到，2010-2030 年的中国碳排放量将会继续上涨，在2020年将达到43919.7 百万吨，比2005 年上涨141.97%，上涨幅度巨大。全球在碳排放增长速度不变的前提下，完成单位GDP碳排放降低40%-45%的目标，需要更大幅度的提高GDP 的增长率。

事物的发展有其独特的规律性，全球碳排放并不是逐年递增，而是在有的年

份略有降低。表3 中1981-1984年碳排放的预测值中，1981 年（18767）相比1984 年（18542）的碳排放量略有下降。在1981-2010 年的碳排放数据中，也有当年碳排放相比上一年降低的例子。

任何数据预测方法都有其误差，灰色模型预测也不例外。将1984-2009年的碳排放预测数据与实际值相比较，计算均方差比C=0.2034。

6.1.5 对于GM(1,1)模型的评价

GM(1,1)也是基于数据的非线性预测，然而，基于其自身函数的缺陷，GM(1，1)方法对拐点无法有效预测,世界的碳排放数值有可能在某一阶段出现加速上涨趋势，GM(1,1)对其无法精确预测。可以具体分三点对模型进行评价。

1)应用GM(1,1)模型对全球未来碳排放量进行预测,预测精度为二级,关联度均方

差比值和小误差概率均为一级,预测结果与实际值出入较小。说明GM(1,l) 模型在碳排放量预测中是可行的, 它可以为以后制定环境规划等方面提供科学依据。

2)灰色 GM(1,1)模型适用于短期和中期预测,精度较高。对于长期预测, 由于未来

的扰动因素影响, 会使得预测精度降低。

3) 依照GM （1，1）模型进行预测, 到2030年全球碳排放量将超过53896百万吨碳,

将会造成巨大的环境污染, 这是由于全球经济的快速发展, 能源需求量也在急剧增加, 由此而产生的碳排放量迅速增加。

6.2 问题二 控制全球温度变化的预测

6.2.1相关分析

温室效应是地球平均温度维持在15℃的原因，根据分析估计，如果没有大气层，地球温度将维持在-18℃。而随着人类文明的发展，工业革命以来，由于燃烧化石燃料及水蒸气、甲烷等气体的排放。大气层中的温室气体逐年增多，红外辐射吸收留住了更多的能量，导致地球表面的温度升高，造成全球暖化。在此我们建立一个有关CO2浓度与温度之间的关系，通过警戒温度值来预测CO2浓度的最大值，然后由此来确定全球碳排放的最大值。

温室效应形成主要原因是对地球辐射的吸收，我们这里假设地球辐射为黑体辐射。所谓黑体辐射是指由理想放射物放射出来的辐射，在特定温度以及波长放射最大量的辐射。同时，黑体可以吸收所有入射的辐射不反射任何辐射。由斯特藩-玻尔兹曼定律：一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射的总能量4*T j εσ=。其中，j*表示具有功率密度的量纲（能量/（时间*距离2））。T 表示热力学温度（绝对温度），单位为开尔文。ε表示黑体辐射系数，我们这里为1。σ称为斯特藩-玻尔兹曼常数，其数值为：

42183

24

51067.5152----?==K m Js h

c k πσ 斯特藩-玻尔兹曼定律能够方便的通过黑体表面的各点的辐射普强度应用普朗克黑体辐射定律，然后将结果在辐射进入的半球形空间表面以及所有可能辐射频率进行积分得到。

??Ω=Ω∞)cos(),(00*θT v I d dv j

式中0Ω黑体表面一点的辐射进入半球形空间表面（以辐射点为球心），),(T v I 为在温度T 时黑体表面的单位面积在单位时间、单位立体角上辐射出的频率为v 电磁波能量。式中包括了一个余弦因子，因为黑体辐射几何上严格符合朗伯余弦定律（Lambert ’s cosine low)。将集合微元关系φθθd d d )sin(=Ω代入可得：

??

?==∞4

3

2452

20

0*

152)sin()cos(),(T h c k T v I d d dv j πθθθφπ

π

由此式，地球单位时间辐射热量为：

424T R Q εσπ=

又地球辐射能量约4/5被大气层吸收，那么我们这里认为CO2浓度c P 与温度4

T 高

度相关。相关图2[2]也证明了这点：

图2 近年来二氧化碳和温度变化

若要控制全球温度升高不超过2摄氏度，又二氧化碳排放量M 与二氧化碳浓度P C 正相关，则我们可以得到：

4

T P M C ∝∝

从美国橡树岭国家实验室CDIAC 中心的数据集中：

图3 全球温度异常变化

图4 二氧化碳浓度变化

我们可以看到从1955年以来，全球平均温度几与CO2浓度成同步的上升趋势，那么

从以上分析的基础上我们得到拟合的CO2浓度的一元三次线性回归模型：

λγβα+++=X X X P C 2

3

其中X 表示历史数据，λ表示基数。那么由此我们能够得到关于CO2浓度变化的模型。 6.2.2 模型求解

由回归模型可解得：

1.3375583.10114.00005.023+++=X X X P C 所得图像如下：

图5 CO2浓度历史及预测

由热力学方程，假设1980年地表温度为15.4℃，我们能够预测若2050年温度保持在17.0℃内（即温度上升小于2℃）的CO2浓度在2050年为：

41

4

212T T

P P C C ==502.1ppmv 又由回归方法所得的CO2浓度与温度变化关系情况如下：

表4 温度上升的年度预测关系表

年份 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050 CO2浓度 399.1 413.2 429.7 449 471.5 497.56 527.54 561.82 温度上升 1.6 1.65 1.78 1.8 1.87 1.99 2.11 2.24

该表基于IPCC 报告给出的2摄氏度阈值（即当CO2浓度增加到450~550ppmv 时，可能导致的温度增高值）作出预测。

由一元三次回归模型与直接热力学方程预测可见，若不减少CO2的排放量，一旦CO2浓度达到某一阈值，温度上升必将突破2摄氏度的上限。关于如何解决这个问题我们将在下一个模型中详细说明。 6.2.3 模型评价

在使用的热力学方程中，由于我们仅考虑CO2的影响而忽视其他因素的影响对于温

度预测无法达到一个理想的值，偏差较大。线性回归模型中先进行点的描绘，然后在进行判断拟合的方程。人为的因素所占比重较大。但是这种根据历史数据的预测也是较为准确的。

6.3 问题三各国排碳权及承担义务

在2008年，世界上二氧化碳排放量最多的国家有中国、美国、欧洲联盟、印度、俄罗斯、日本和加拿大。这些数据主要包括了来自化石燃料燃烧，水泥生产以及其它生产过程中燃烧的气体所产生的二氧化碳。上述因素是主要的二氧化碳排放源头。2008各国的碳排放比例如图5所示。

图6 2008年各国CO2排放比重

数据来源：National CO2 Emissions from Fossil-Fuel Burning, Cement Manufacture, and Gas

Flaring: 1751-2008.

金砖四国（中国、巴西、印度和俄罗斯）是国际社会公认发展迅速的经济体，由于经济的发展伴随的是资源消耗的快速增加。图7是中国的碳排放图，图8是巴西、印度和俄罗斯的碳排放图（由于近年来中国碳排放的数量较其它三国巨大所以单独列出）。图9是某些发达国家的碳排放图，图10是OECD和EU28的碳排放图。数据来源：CDIAC。

图7 中国1990-2015年的碳排放变化

图8巴西、印度和俄罗斯的碳排放量图

图9 某些发达国家的碳排放量的变化

图10 OECD和EU28的碳排放量的变化

图11 金砖四国人均GDP的变化

从图11可以看出这些发达国家的碳排放量没有出现如金砖四国那样迅速的增长，某些国家则保持了相对稳定的碳排放量。经济合作与发展组织（Organization for Economic Co-operation and Development）和欧盟（EU28）是全球发达国家的组织团体，OECD和EU28的碳排放走势可以从一定程度上反映发达国家的碳排放量变化趋势。

从图7和图8可以看出，金砖四国成员均表现出高速的碳排放量增长。俄罗斯可能由于在20世纪初经历政治巨变造成造成经济的衰退，但自1998年以后它也表现出快速增长的碳排放势头。金砖四国现在并不是发达国家，经过一段时间的快速发展后，会逐渐放缓碳排放量的增长速度。我们用曲线拟合的方法来对金砖四国的碳排放量进行预测。

图11为金砖四国的人均GDP的变化，从图中可以看出金砖四国的人均GDP发展很迅速。

6.3.1 模型的假设

为了简化模型，我们做出如下假设:

1.人均GDP作为衡量一个国家的发达水平的唯一指标，当某个金砖四国国家的人均GDP 到达2,0000美元时，我们认为这个国家进入了发达国家的行列，碳排放量应该和发达国家的碳排放趋势相同；

2.金砖四国的人均GDP在近期内满足方程:

bx e a G ?=

式1

其中G 为人均GDP ，e 为自然对数，x 为距1990年的年数（俄罗斯为距1998年的年数）； 3.假设OECD 的碳排放量变化趋势代表了发达国家的碳排放变化的趋势，OECD 成员国总的碳排放量(自1990年以后)满足方程：

c x a E b +?=

式2

其中E 为碳排放量，x 为距1990年的年数；

4.当金砖四国进入发达国家行列之后，它的碳排放量变化满足OECD 自1900年来的碳排放变化趋势；

5.全世界的碳排放量为4个金砖四国的碳排放量和OECD 碳排放量和其它国家的碳排放量的和。

6.3.2 求解

金砖四国GDP 增长曲线的拟合：

使用Matlab 的曲线拟合工具箱，得到金砖四国每个国家的人均GDP 方程在式1中

的参数，并通过人均GDP 发展曲线计算每个国家进入发达国家的年份，如表6所示。

表5 金砖四国人均GDP 预测方程和进入发达国家的年份

中国 巴西 印度 俄罗斯 a 150.8 1682 183.8 822.9 b 0.1611 0.08297 0.09293 0.1241 进入发达国家

年份

2021

2020

2016

2016

OECD 成员国碳排放量曲线的拟合：

使用Matlab 的曲线拟合工具箱，得到式2中的参数： a= -4296；b= -0.03932；c= 7332

金砖四国在进入发达国家前碳排放的曲线的拟合：

使用Matlab 的曲线拟合工具箱，得到金砖四国碳排放方程在式2中的参数，并

通如表7所示。

表6 金砖四国进入发达国家前的曲线拟合参数

中国 巴西 印度 俄罗斯 a 0.577 4.06 1.072 0.9879 b 2.59 0.8767 1.883 1.464 c

740.3

52.21

210.5

417.3