倒立摆的H∞控制 文献综述

引言

近三十年来，随着控制理论技术和航空航天技术的迅猛发展，一种典型的系统在控制理论的领域中一直成为被关注的焦点，即倒立摆系统。

倒立摆的特点为支点在下，重心在上，是一种非常快速并且不稳定的系统。但正由于它本身所具有的这种特性，许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。因此在欧美等许多发达国家的高等院校中，倒立摆系统已经成为必备的控制理论教学实验设备。学生们可以通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，更容易对课程加深理解。

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学中不可多得的典型物理模型。它深刻揭示了自然界的一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象[1-4]。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供了一个从控制理论通往实践的桥梁。所以，研究倒立摆系统对以后的教育研究领域具有非常深远的影响。

本文为建立倒立摆系统的数学研究模型，在熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法的基础上确定研究的系统方案和实施的控制方法，通过MATLAB软件对其进行编程，以达到完成倒立摆的仿真实验，实现了倒立摆的平衡控制。

正文

（1）课题的背景及意义

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个典型的快速、高阶次、多变量、非线性、强耦合性、绝对不稳定的系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

早在二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验设备[2]，此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直角度控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题等，均涉及到“倒立摆问题”。因此，许多现代控制理论的研究人员一直将它是为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。

控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。因此，学习倒立摆将为我们在研究其他控制理论和方法奠定最坚实的基础。

（2）倒立摆控制方法在国内外的研究现状

早在二十世纪50年代，人们就开始了对倒立摆系统的研究。在那时，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计处一级倒立摆实验设备。1966年Schaefer 和Cannon 应用Bang-Bang 控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出。自此，对于倒立摆系统的研究便成为控制界关注的焦点。

倒立摆的种类有很多，按其形式可分为：悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、环形倒立摆、直线倒立摆、平面倒立摆和复合式倒立摆；按级数可分为: 一级、二级、三级、四级、多级等；按其运动轨道可分为：水平式、倾斜式；按控制电机又可分为：单电机和多级电机[2]。目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲：如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学、清华大学、北京理工大

学、哈尔滨工业大学、浙江大学、澳门大学、台湾国立大学；日本的Mycom 有限公司、东京工业大学、东京电机大学、东京大学、冈山大学、庆应大学、筑波大学、神奈川技术学院、大阪府立大学；韩国的釜山大学、忠南大学；俄罗斯新西伯利亚国立大学等。此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也都对这个领域有持续的研究。

各个领域的专家学者以倒立摆系统为实验平台，检验自己所提出理论的正确性及其在实际应用中的可行性，进而将这些控制理论和方法应用到更为广泛的领域中去。例如，将以及倒立摆的研究衍化为对航空航天领域中火箭发射助推器的研究；将二级倒立摆与双足机器人的行走控制联系起来。目前，对倒立摆的研究已经演绎到四级乃至更高级。

中国作为这里研究的中心之一，研究水平相对较高。北京师范大学采用变论域自适应模糊控制的方法在国际上首次实现了四级倒立摆的稳定控制。北京航空航天大学采用拟人智能控制方法实现了三级倒立摆的稳定控制。此外，也有基于云模型理论成功控制三级倒立摆的报道出现。在2010年的6月18日，我国大连理工大学的李洪兴教授领导的科研团队在世界上首次实现空间四级倒立摆实物系统控制，这是一项原创性的具有世界领先水平的标志性科研成果。而最近几年，日本国内的研究机构对倒立摆系统的相关研究也比较多。其中，Mycom有限公司和东京工业大学、东京电机大学合作，利用谋划控制器，实现对倒立摆系统的起摆和稳定控制；日本庆应大学将对倒立摆起摆和稳定控制的研究成果应用到双足机器人的控制上；神奈川技术学院将摆的研究成果应用与轮椅性能的改善。而韩国忠南大学和台湾国立大学都曾经用神经网络实现对倒立摆系统的稳定控制。美国、波兰、加拿大、意大利也有研究机构对这类问题进行研究[10]，只是不像亚洲地区如此集中。

近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发并生产倒立摆装置的厂家却并不多。目前，国内各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser 公司生产的系统；其它一些生产厂家还包括(韩国)奥格斯科技发展有限公司( FT24820 型倒立摆)、保定航空技术实业有限公司；最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。

（3）单级倒立摆控制方法的发展趋势

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，

作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其保持稳定兵器人可以承受一定的干扰。

早在上个世纪60年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，讨论了多级倒立摆的稳定控制，提出了bang-bang的稳定控制。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。

从上世纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较免疫的效果。但是由于状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般地工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。

这种状况从上世纪80年代后期开始有了很大的变化。对着模糊控制理论的发展，以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的适应能力。在这一阶段，利用模糊理论用于控制单级倒立摆取得了很大的成功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制的规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的实际异常复杂，执行时间大大增长的问题，对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制单级倒立摆，很好地解决了这个问题。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍里有变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳定控制[11]。

神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪90年代开始有了快速的发展。早在1963年，Widrow和Smith就开始将神经网络用于单级倒立摆小车的控制。神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全行的概念进行信息处理，显示出了巨大的潜力[12]。

另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。利用云模型实现智能控制倒立摆。利用云模型的方法，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将人用语言值定性表达的控制经验，通过语言院子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题。

遗传算法是美国密歇根大学Holland教授倡导发展起来的, 是模拟生物学中

的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。其基本思想是: 随着时间的更替, 只有最适合的物种才能得以进化[13]。

因此，在理论与实践不断发展进步的今天，对倒立摆的控制方法也就主要分

为以PID控制、状态反馈控制、LQR最优控制为典型代表的非线性系统理论控制和以神经网络控制、模糊控制、遗传算法控制为代表的智能控制两大类。

（4）单级倒立摆系统控制所存在的问题

单级倒立摆系统已经被很多科研人员研究过（Omatu和Yashioka 1998 Magana和Kraft 1994 Aderson 1989）其中他们中的大部分都用线性化理论控制方案。一般说，采用经典控制方法控制这个系统是非常艰难的（Lin和Shen 1992）这主要因为它是具有两个自由度的非线性问题（也就是倒立摆角度与小车位移）但只有一个输入[14-15]。

自从现代控制理论可以稳定的控制倒立摆的特性后，倒立摆系统就被应用于控制工程中了。这个系统作为一个姿态控制的模型被航天航空领域所熟知。但是，由于它也有不足就是由于它的原理产生的高度的非线性，即开环不稳定性。因此，当SIMULINK仿真时由于失败的标准线性技术去模拟这个系统非线性动力关系会导致钟摆下落过快。因此，它使得识别和控制更具有挑战性[16-18]。

用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性是显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立摆稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。

结论

本文查阅了大量的文献资料，通过深入的研究发现：倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的复杂难控系统。其控制方法和思路无论对理论或实际的过程控制都有很好的启迪，是检验各种控制理论和方法的有效的“试金石”。而单级倒立摆又因为其结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种控制方法，是一种非常典型并且基础的研究对象。

因此，本文就建立单级倒立摆的数学模型，然后在一定限定条件下对这个数学模型进行线性化，然后用线性理论控制方法来对单级倒立摆进行控制，本文拟采用LMI控制方法，建立系统状态方程，运用MATLAB软件对系统进行仿真控制，添加跟踪信号观察研究结果，调整参数使获得满意的性能指标。

参考文献

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