线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法
【基础知识】
求线面角、二面角的常用方法：
(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
(2）二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．
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【规律技巧】
平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
【典例讲解】
【例1】如图，在四棱锥P。ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明:AE⊥平面PCD；
（3)求二面角A－PD－C的正弦值．
（1)解在四棱锥P－ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
故PA⊥AB。又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD,
故PB在平面PAD内的射影为PA,
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中,AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2)证明在四棱锥P－ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD,
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A,
∴CD⊥平面PAC。
又AE?平面PAC，∴AE⊥CD。
由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC。
又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.
【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1）证明PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C－PB－D的大小．
（1）证明如图所示,连接AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中,EO是中位线，
∴PA∥EO.
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
【针对训练】
1．如图,四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2错误!，PA＝2,E 是PC上的一点,PE＝2EC。
（1）证明:PC ⊥平面BED ;
（2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
(2)解 在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．
因为二面角A －PB －C 为90°,
所以平面PAB ⊥平面PBC 。
又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，
故AG ⊥平面PBC ,AG ⊥BC 。
因为BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，
故BC ⊥平面PAB ,于是BC ⊥AB ，
所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2,
PD ＝错误!＝2错误!.
设D 到平面PBC 的距离为d 。
因为AD ∥BC ,且AD ?平面PBC ,BC ?平面PBC ，
故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，
即d ＝AG ＝错误!。
设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝错误!＝错误!.
所以PD 与平面PBC 所成的角为30°。
【练习巩固】
1、如图所示，在多面体111A B D DCBA ,四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F 。
（Ⅰ)证明：1//EF B C ；
（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值。
【答案】（Ⅰ）1//EF B C ； 3．(2014·湖北卷）如图1.4，在棱长为2的正方体ABCD 。A 1B 1C 1D 1中，E ,F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动,且DP ＝BQ ＝λ（0<λ〈2）．
（1）当λ＝1时,证明：直线BC 1∥平面EFPQ .
(2）是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由．
图1。4
4．（2014·新课标全国卷Ⅱ)如图1。3,四棱锥P 。ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
（2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝错误!，求三棱锥E -ACD 的体积．
图1。3
设B(m,0，0）（m〉0)，则C(m，错误!，0)，错误!＝(m，错误!,0）．
设n1＝（x，y,z)为平面ACE的法向量，
则错误!即错误!
可取n1＝错误!。
又n2＝(1，0,0）为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos 错误!＝错误!，解得m＝错误!。 因为E为PD的中点，所以三棱锥E。ACD的高为错误!.三棱锥E.ACD的体积V＝错误!×错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.