中考数学专题圆的切线

中考数学专题圆的位置关系

第一部分 真题精讲

【例1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =

1

2

，求⊙O 的直径．

A

【例2】已知：如图，⊙O 为ABC ?的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .（1）求证：DA 为⊙O 的切线；（2）若1BD =，1

tan 2

BAD ∠=

，求⊙O 的半径.

F

C

F

C

【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交

于点F ，且8BE =，tan BFA ∠=O 的半径长. 【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠的值．

【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .

（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长

.

C

G F

E

D

C

B

A

第二部分 发散思考

【思考1】如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.

【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB 就会得到一个和C 一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。

【思考2】已知：AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 ⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .

（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，4

tan 3

ACB ∠=，求CD 的长.

【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB 这个条件，去将他们放在RT 三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD 拆分成两个角去证明和为90°。

【思考3】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于

点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G ,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=13

时，求⊙O 的半径.

【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。

【思考4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，

D 为?BC

上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．

【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有

关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。

【思考5】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的

一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；

（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．

【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC 评分角

EAD 这样的条件，但是通过给定CE=CF ，加上有一个公共边，那么很容易发

B

C O

现△EAC 和△CAF 是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.

∴ ∠EAB +∠E =90°. ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，

∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线. （2）解：由（1）可知∠ABE =90°.

∵ AE =2AO =6, AB =4,

∴ 5222=-=

AB AE BE . ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,

∴ .cos cos E BAD ∠=∠

∴ .AE BE AD AB =

.6

524=AD 即

∴ 5

5

12=

AD .

【思考2解析】 解：（1）直线BD 与⊙O 相切． 证明：如图3，连结OB ．-

∵ ∠OCB =∠CBD +∠D ，∠1=∠D ， ∴ ∠2=∠CBD ． ∵ AB ∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A =∠CBD ． ∵ OB=OC ，

∴ 23180BOC ∠+∠=?， ∵ 2BOC A ∠=∠，

∴ 390A ∠+∠=?． ∴ 390CBD ∠+∠=?． ∴ ∠OBD =90°．

∴ 直线BD 与⊙O 相切．

（2）解：∵ ∠D =∠ACB ，4tan 3

ACB ∠=， ∴ 4tan 3

D =

． 在Rt △OBD 中，∠OBD =90°，OB = 4，4tan 3

D =， ∴ 4sin 5

D =，5sin OB

OD D

=

=． ∴ 1CD OD OC =-=．

D

【思考3解析】

1）证明：连结OM ，则OM OB =． ∴12∠=∠．

∵BM 平分ABC ∠． ∴13∠=∠． ∴23∠=∠． ∴OM BC ∥．

∴AMO AEB ∠=∠．

在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴AE BC ⊥． ∴90AEB ∠=°． ∴90AMO ∠=°． ∴OM AE ⊥． ∴AE 与O ⊙相切．

（2）解：在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，

∴1

2

BE BC ABC C =

∠=∠，． ∵1

4cos 3

BC C ==，，

∴1

1cos 3

BE ABC =∠=，．

在ABE △中，90AEB ∠=°， ∴6cos BE

AB ABC

=

=∠．

设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵OM BC ∥，

∴AOM ABE △∽△．

∴

OM AO

BE AB =

． ∴626

r r -=． 解得3

2

r =．

∴O ⊙的半径为3

2

．

【思考4解析】

证明：如图3，在AE 上截取AF=BD ，连结CF 、CD ．

在△ACF 和△BCD 中，

, , , AC BC CAF CBD AF BD =??∠=∠??=?

∴ △ACF ≌△BCD ． ∴ CF=CD .

∵ CE ⊥AD 于E ， ∴ EF=DE .

B

∴ AE AF EF BD DE =+=+.

【思考5解析】 证明：（1）连接OC,

,,,1 2.,2 3.1 3.//..AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴Q Q Q e 又是的切线. 00(2)6,1

3.2

3,6,

30.60.

9,

19

22

,3.

AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC BC OB =∴==

=?==+=∴∠=∠=?=+=∴==

?∠=∴==Q Q 0解：在中，在中， A 在中，COD=60