山东专用2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业16不等式恒成立与有解问题含解析
课时作业16 不等式恒成立与有解问题
一、选择题
1．已知函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，若f (x )>x 恒成立，则实数m 的取值范围是( A ) A ．(e 2＋1
e ＋1，＋∞)
B ．(0，e 2＋1
e ＋1]
C ．(－∞，e 2＋1
e
＋1]
D ．(－∞，e 2＋1
e
]
解析：解法1：由f (x )>x 恒成立，得x 3－2e x 2＋mx －ln x >x 恒成立，得x 3－2e x 2＋(m －1)x －ln x >0恒成立，因为x >0，所以两边同时除以x ，得x 2－2e x ＋(m －1)－ln x x >0，则m －1>
ln x
x －x 2＋2e x
恒成立．令g (x )＝ln x x －x 2
＋2e x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2－2x ＋2e ，当0 2>0， 2e －2x >0，所以g ′(x )>0；当x >e 时，1－ln x x 2<0,2e －2x <0，所以g ′(x )<0.所以当x ＝e 时， g (x )max ＝1e ＋e 2，则m －1>1e ＋e 2，所以m >e 2＋1 e ＋1，故选A ． 解法2：由f (x )>x 恒成立，转化为m －1>ln x x －x 2＋2e x 恒成立，则m －1>(ln x x －x 2＋2e x )max ， m 的取值可以趋于＋∞，观察4个选项，发现只有选项A 符合，故选A ． 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R .若不等式f (x )≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，则a 的取值范围是( B ) A ．[e ，＋∞) B ．[e 2 2，＋∞) C ．[e 22 ，e 2 ) D ．[e 2，＋∞) 解析：f (x )≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，即a ln x －bx 2≥x ，a ln x －x ≥bx 2 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，因为b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]，所以bx 2的最大值为0，所以a ln x －x ≥0在x ∈(e ，e 2]时恒成立，所以a ≥x ln x 在x ∈(e ，e 2]时恒成立，令g (x )＝x ln x ，x ∈(e ，e 2]，则 g ′(x )＝ln x －1ln 2x >0恒成立，所以g (x )＝x ln x 单调递增，所以当x ＝e 2时，g (x )取 得最大值e 22，所以a ≥e 2 2 ，故选B ． 二、解答题 3．已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)求函数f (x )的极小值； (2)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)·ln a . 因为当a >1时，ln a >0，(a x －1)ln a 在R 上是增函数， 当01或0 又f ′(0)＝0，所以f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，f ′(x )<0的解集为(－∞，0)， 故函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)， 所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值1. (2)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]， 使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1， 而当x ∈[－1,1]时， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ， 所以只需f (x )max －f (x )min ≥e －1即可． 当x ∈[－1,1]时，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示： 所以f (x )在[－1,0]上是减函数，在(0,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max 为f (－1)和f (1)中的较大者． f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－????1a ＋1＋ln a ＝a －1 a －2ln a ， 令g (a )＝a －1 a －2ln a (a >0)， 因为g ′(a )＝1＋1a 2－2 a ＝??? ?1－1a 2>0， 所以g (a )＝a －1 a －2ln a 在(0，＋∞)上是增函数． 而g (1)＝0，故当a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)； 当0 所以当a >1时，f (1)－f (0)≥e －1，即a －ln a ≥e －1. 函数y ＝a －ln a 在(1，＋∞)上是增函数，解得a ≥e ； 当0 a ＋ln a ≥e －1， 函数y ＝1a ＋ln a 在(0,1)上是减函数，解得0 e . 综上可知，所求a 的取值范围为????0，1 e ∪[e ，＋∞)． 4．已知函数 f (x )＝ln x ， g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝1 x ，∴f ′(1)＝1.又∵f (1)＝0， ∴所求切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即为x －y －1＝0.