分式的概念和性质练习题
1．填空题：
（1）当x= 时，分式1
35-+x x 无意义。 （2）当x= 时，分式123-+x x 的值为零；当分式2
3+-x x =0时，x= 。 （3）()()333++x x x =x 3成立的条件是 。（7）当x 时，分式1
21+-x x 有意义。 2．选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A ．形如B
A 的式子叫分式
B ．分母不等于零，分式有意义
C ．分式的值等于零，分式无意义
D ．分式等于零，分式的值就等于零
（2）已知有理式：x 4、4a 、y
x -1、43x 、21x 2、a 1＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
（3）使分式a
x 45-有意义的x 的值是 （ ）
A ．4a
B ．－4a
C ．±4a
D ．非±4a 的一切实数
（4）使分式m
x m x 41622--的值为零的x 的值是 （ ） A ．4m B ．－4m C ．±4m D ．非±4m 的一切实数
3．解答下列各题：
（1）当x 取什么数时，分式1
132-+x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式x
x x 32212-++无意义？ （3）若分式16
42-+x x 无意义，求x 的值。 4．已知分式()()()()
22253435232-----+x x x x （1）当x 为何值时，分式无意义？（2）当x 为何值时，分式的值为零？
（3）当x 为何值时，分式的值为－1？
5．当x 为何值时，下列分式的值为正？
（1）43
2+-x x （2）2
32-+x x 6．（1）填充分子，使等式成立；()222
(2)a a a -=++ （2）．填充分母，使等式成立：()
2223434254x x x x -+-=--- （3）化简：233812a b c a bc =_______。6．（1）()2a b ab a b +=
（2）()21
a a a c ++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+-（4）()
2232565a a a a a ++=+++
7．（1））333()
3a x b y
a x
b y a x b y a x b y ---=-=---，对吗？为什么？
（2）22112
x y x y x y x y ++==---对吗？为什么？
8．把分式x
x y +（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （
） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变
9．下列等式正确的是 （ ）A ．22b
b a a = B ．1a b
a b -+=--
C ．0a b
a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b
a b a b --=++
10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
（1）0.010.50.30.04x y
x y -+； （2）322
283a b
a b
--
11．不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是整数。
（1）2
211x x x y +++- （2）34
3223324x x x x -+---
12．将下列各式约分
（1）642
5633224a b c a b c = （2）224488a b
a b -=-
13．将下列各式通分
（1）
1a ，234a b ，216ab c （2）12x +，42x -
（3）122x -，21(1)x - （4）21(1)
x -，221x -，3(1)(2)x x --
（5）1()()a b b c --，2()()
b c a c -- 14．与分式
a b a b -+--相等的是 （ ） A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a b a b
--+ 15．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）
A ．b a ＝11b a ++
B b bm a am =
C ．2ab b a a =
D ．22b b a a
= 16．不改变分式的值，使
21233x x x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）
A ．22133x x x -+-
B ．22133x x x +++
C ．22133x x x ++-
D ．22133
x x x --+ 17．将分式253
x y
x y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ） A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x y x y
-+ 18．将分式22x x x
+化简得1x x +，则x 必须满足______。 19．()22(0)x y x y x y x y -=-≠+- 20．()
2(0)a ab a b ab ab --=≠
21．不改变分式的值，使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同。
（1）2613x x x ++-，2453x x x -+--+ （2）()()a a b b c --，()()
a b a b c -- 22．下列等式的右边是怎样由左边得到的
（1）213(3)26x x x x x -=≠+-- （2）2114
54x x x x -=--+ 23．下列各式正确的是 （ ）
A ．c c a b a b -=-++
B ．c c a b b a -=-+-
C ．c c a b a b -=-++
D ．c c a b a b
-=-+- 24．不改变分式的值，分式22923
a a a ---可变形为 （ ） A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31
a a -+ 25．不改变分式的值，把分式23
427431
a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）
A ．23437431a a a a a a -++-+-
B ．23347413a a a a a a -+--++
C ．23434731a a a a a a +-+--+-
D ．23347413a a a a a a
-++--++ 26．已知y －2x ＝0求代数式22222222()()()()
x y x xy y x xy y x y --+++-的值？
27．已知34y x =，求22
22
352235x xy y x xy y -++-的值。 28．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“－”号
（1）-22()(4)x y -- （2）2
37(2)
m n ----
29．已知
23a b =，求a b b +的值？
八年级下册分式的基本性质练习题
分式的基本性质(一) 一、填空题： 1. 写出等式中未知的分子或分母： ① x y 3= ()23x y ② y x xy 257=() 7 ③ ) (1b a b a +=- 2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号： ①=-- y x 25 ； ②=---b a 3 . 3. 等式 1 ) 1(12 --=+a a a a a 成立的条件是________. 二、选择 1. 把分式y x x 322-中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （ ） A ．扩大为原来的5倍 B ．不变 C ．缩小到原来的51 D ．扩大为原来的2 5倍 2. 使等式2 7+x = x x x 272+自左到右变形成立的条件是 （ ）
A ．x<0 >0 C.x≠0 ≠0且x≠－2 3. 不改变分式 2 7132-+-+-x x x 的值，使分式的分子、分母中x 的最高次数式的 系数都是正数，应该是（ ） A. 27132+-+x x x B.27132 +++x x x C.27132---x x x D.2 7132+--x x x 三、解答题: 1. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数: ① y x y x 6 125 1 31+- ②y x y x 4.05.078.08.0+- ③ b a b a 4 3 6.04.02+- 2. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号: ①112+--x x ②2122--+-x x x ③1 31 2+----x x x 17.1.2 分式的基本性质(二) 一、判断正误并改正:
分式经典题型分类练习题49496
第一讲 分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 ) 1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 1 1+. 【例4】已知：21=- x x ，求2 21 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求 y x 241 -的值. 练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1） y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10 141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1 242 ++x x x 的值. 3．已知： 311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5．如果21< 分式的基本性质的应用练习题一、当x为何值时，下列分式的值为0？ （1）23 35 x x + + （2） 24 2 x x - + （3） 2 1 23 x x x - +- 二、不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首字母都不含负号 （1） y x - - （2） 2 x y x y -- - - （3） x y x y -- -+ 三、约分： （1） 8 12 bc ac （2） 33 2 3 12 a b c ac （3） 235 1032 21 56 a b c ab c d - （4） 6 3 3() 12() ab a b a b a - - （5） 22 4 2 ax ay bx by - + （6） 2 2 xy y xy + （7） 2 22 2 x xy x xy y + ++ （8） 22 22 2 x y x xy y - -+ （9） 24 48 x y y xy y - - （10） 2 2 9 69 a a a - -+ （11） 2 2 69 9 x x x -+ - （12） 2 2 32 4 x x x -+ - （13） 2 2 32 m m m m ++ + （14） 2 2 23 712 a a a a -+ -+ （15） 22 96 3 m mn n m n -+ - （16） 25 2 86 16 a a b a - （17） 22 () a b c a b c +- ++ 四、通分： （1） 12a 与24b a （2）213x y 与215xy （3）1m n +与1m n -（4）1()a x y -与1()b y x - （5） 2a a ab -与2a b a ab -+ （6）223b a c 与2c ab -与35a cb （7） 293a -与2132a a a ---与256a a a -+ （8）32(1)x +与23(1)x x -与2121x x -- （9）211x x ++与1x x - （10）293a -与219 a a -- （11）()x y x x y -+与()x y y x y +- 五、先化简，在求值： 3223 32 412949x y x y xy x xy ++-，其中x=1，y=1 分式化简求值练习题库(经典精心整理) 1．先化简，再求值： 12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、（2011?綦江县）先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值：，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、化简： b a b a b a b 3a -++-- 7、（2011?曲靖）先化简，再求值： ，其中a=． 8、（2011?保山）先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、（2011?新疆）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–3 11、（2011?雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值： 12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、（2011?泸州）先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤?? 求值：2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18．先化简，再求值：? ?? ??1＋1x －2÷x 2 －2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简：÷．（2）化简：22a b ab b a (a b )a a ??--÷-≠ ??? 22、先化简，再求值： ，其中． 23请你先化简分式2223691,x 1211 x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值. 24、（本小题8分）先化简再求值()1 21112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 25、化简，其结果是． 3 分式的概念及基本性质-分式的运算 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零 分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1 ．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0?中，是分式的有 ___ __；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2 ．下列分式，当 x 取何值时有意义． （2） 3 x 2 （ 1） 2x 1 ； ． 3x 2 2x 3 3 ．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） 2 C ． 3x 1 A ． 1 B ． x D ． x 1 2x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 4 ．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 5 ．当 x _______时，分式 x 1 的值为零． x 2 x 2 6 ．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1 的条件的应用 7 ．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8 ．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． 2 x 4 9 ．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3 x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______时，分式 4 的值为负． x 5 2 x 1 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） m 2 1 B ． m 2 1 C ． m 1 D ． m 2 1 A ． 2 1 m 1 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x| 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2 ） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3 x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用 1、下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ －3x ＋52，1＋x 3，21++x x ,m m 3-,53b a +,x 234-,4 n m -,123+x －132-y , x x 22,π 1(x ＋y), 整式｛ …｝ 分式｛ …｝ 2、当分子等于0时，分式的值为0 （ ） 3、分式1 12+x 一定有意义 （ ） 4、当x 时，分式21++x x 无意义；当x 时，分式2 31-+x x 无意义；当x 时，分式3 54-+x x 有意义；当x 时，分式x ＋12-x －2 3+x 有意义； 5、要使式子33-+x x ÷4 2-+x x 有意义，x 的取值应为 。 6、当x 时，分式33 +-x x 的值为0。 7、使分式1 122+-a a 有意义的a 的取值是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠±1 C 、a ≠－1 D 、a 为任意实数 8、当x = －3时，下列分式中有意义的是（ ） A 、33-+x x B 、33+-x x C 、)2)(3()2)(3(--++x x x x D 、) 2)(3()2)(3(-++-x x x x 9、分式5 12++x x 的值为负，则x 应满足 （ ） A 、x ＜－5 B 、x ＜5 C 、x ＜0 D 、x ≤0 10、当x 取什么值时，下列分式无意义？ （1）123+x （2）2 1-x 11、当x 取什么值时，分式 )2)(3(2+-+x x x 无意义？ 12、当x 取什么值时，分式 )2)(1(5+-+x x x 有意义？ 13、当x 取什么值时，分式 )3)(2(2+-+x x x 值为0？ 14、当x 取什么值时，分式 25x x -值为正？ 15、若1 3+a 表示一个整数，则整数a 可以取哪些值？ 16、观察下面一列有规律的数： 31，82，153，244，35 5，486，…… 根据规律可知第n 个数应是 （n 为正整数） 分式的基本性质 习题精选 基础巩固题 1．用式子表示分式的基本性质： ________________________________________________。 2．对于分式122 x x -+ （1）当________时，分式的值为0 （2）当________时，分式的值为1 （3）当________时，分式无意义 （4）当________时，分式有意义 3．填充分子，使等式成立 ()2 22(2)a a a -=++ 4．填充分母，使等式成立： () 2223434254x x x x -+-=--- 5．化简：233812a b c a bc =_______。 6．（1）()2a b ab a b += （2）() 21a a a c ++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+- （4）()22325 65a a a a a ++=+++ 7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by ---=-=---，对吗？为什么？ （2）22112x y x y x y x y ++==---对吗？为什么？ 8．把分式 x x y + （x≠0，y≠0）中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（） A．扩大2倍B．缩小2倍C．改变D．不改变9．下列等式正确的是（） A． 2 2 b b a a =B．1 a b a b -+ =- - C．0 a b a b + = + D． 0.10.33 0.22 a b a b a b a b -- = ++ 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。 （1）0.010.5 0.30.04 x y x y - + ；（2） 3 2 2 2 8 3 a b a b - - 11．不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是整数。 （1） 2 2 1 1 x x x y ++ +- （2） 34 3 223 324 x x x x -+- -- 12．将下列各式约分 （1） 642 563 32 24 a b c a b c =（2） 22 44 88 a b a b - = - 强化提高题 13．与分式 a b a b -+ -- 相等的是（） A．a b a b + - B． a b a b - + C． a b a b + - - D a b a b - - + 14．下列等式从左到右的变形正确的是（） A．b a ＝ 1 1 b a + + B b bm a am =C． 2 ab b a a =D． 2 2 b b a a = 分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛 中考要求 ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c = ?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±= ?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n = ==，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷ =?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748 L L L 1424314243个个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±± =±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 例题精讲 分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 16.1.2分式的基本性质 第2课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1） 8 12 =________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 （? ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（技能题）约分： （1） 2 2 69 9 x x x ++ - ；（2） 2 2 32 m m m m -+ - ． 分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则 分式的化简 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748 L L L 1424314243 个个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 中考要求 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 【例1【例2【关键词】 【解析】22 222 1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷ ?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷ --，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 例题精讲 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-? ?-÷=?= ? ----?? - 当1a =-时，原式11 2123a a -= ==--- 【答案】13 【例4】 先化简，再求值： 2 【例5【解析】原式()()()11 1121 x x x x x +-= ?+-+-+ 当 x 时，原式2 24= -=． 【答案】4 【例6】 先化简，后求值：22121 (1)24 x x x x -++÷ --，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ； 分式的基本性质练习题 一、填空题：(每空2分,共26分) 1. 写出等式中未知的分子或分母： ①x y 3= ()2 3x y ②) ()).(().(2 x xy y x x y x x +=+=+ ③ y x xy 257=( ) 7 ④ ) () ).( ()(1b a b a b a += -= - 2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号： ①=-- y x 25 ； ②=---b a 3 . 3. 等式 1) 1(12 --=+a a a a a 成立的条件是________. 4. 将分式b a b a -+2.05.03.0的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形 后的分式为________________. 5. 若2x=－y ，则分式 2 2y x xy -的值为________. 三、认真选一选(每小题4分,共16分) 1. 把分式 y x x 322-中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （ ） A ．扩大为原来的5倍 B ．不变 C ．缩小到原来的51 D ．扩大为原来的2 5倍 2. 使等式 27 +x =x x x 272+自左到右变形成立的条件是 （ ） A ．x <0 B.x >0 C.x ≠0 D.x ≠0且x ≠－2 3. 不改变分式2 7132 -+-+-x x x 的值，使分式的分子、分母中x 的最高次数式的系数都是正数，应该是（ ） A. 27132+-+x x x B.27132 +++x x x C.27132---x x x D.2 71 32+--x x x 四、解答题:（共42分） 分式的化简 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 中考要求 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值：21 1 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 2221 (1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-?? -÷=?= ?----??- 例题精讲 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质 分式经典题型分类练 习题 分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4 +-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1） 3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2+-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 | 1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 3．解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252>+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1） y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+ y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11 + . 【例4】已知：21=-x x ，求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10 141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1 242 ++x x x 的值. 3．已知：311=-b a ，求 a ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5．如果21<分式的基本性质的应用练习题
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