辗转相除法及更相减损术秦九韶算法教案

辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

【问题导思】

1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？

【提示】先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数．由于

，故36与60的最大公约数为2×2×3＝12.

2．观察下列等式8 251＝6 105×1＋2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系？

【提示】8 251的最大约数是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数，故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．辗转相除法的算法步骤

第一步，给定两个正整数m、n.

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m＝n，n＝r.

第四步，若r

【问题导思】

设两个正整数m>n(m>n)，若m－n＝k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等，反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数是多少？

【提示】98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，∴98与63的最大公约数为7.

更相减损术的算法步骤

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.

将f(x)n n－1n－21a0.

具体算法如下：

(1)计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1.

(2)由内向外逐层计算多项式的值，即

v2＝v1x＋a n－2，

v3＝v2x＋a n－3，

…

v n＝v n－1x＋a0.

用辗转相除法求228与1 995的最大公约数．

【思路探究】使用辗转相除法可根据m＝nq＋r，反复相除直到r＝0为止．

【自主解答】 1 995＝8×228＋171，

228＝1×171＋57，

171＝3×57，

∴228与1 995的最大公约数为57.