3.2导数的应用
§3.2 导数的应用
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．函数f (x )＝x 33
＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643
2．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,3)
B.????0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3)
3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72
x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1)
B ．f (－a 2) C ．f (－a 2)≥f (－1) D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 4．已知函数f (x ) (x ∈R)的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)· (x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1,2) D ．[2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝12 x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <32 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最 小值为________． 7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1 在x ＝1处取极值，则a ＝________. 8．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－ ∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________. 9．已知某质点的运动方程为s (t )＝t 3＋bt 2＋ct ＋d ，如图所示是 其运动轨迹的一部分，若t ∈????12，4时，s (t )<3d 2成立，则d 的取值范围为__________． 三、解答题(共41分) 10．(13分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． 11．(14分)若函数f (x )＝13x 3－12 ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围． 12．(14分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6. －37 7. 3 8. －2 9. d >43 或d <－1 10．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意， f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即????? 3a ＋2b －3＝03a －2b －3＝0， 解得a ＝1，b ＝0. 所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1. 若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－1)上是增函数， f (x )在(1，＋∞)上是增函数． 若x ∈(－1,1)，则f ′(x )<0， 故f (x )在(－1,1)上是减函数． 所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上． 设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. 因f ′(x 0)＝3(x 20－1)， 故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)， 注意到点A (0,16)在切线上， 有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)， 化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2. 所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0. 11. 解 函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，或x ＝a －1. 当a －1≤1即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意； 当a －1>1即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数， 在(a －1，＋∞)上为增函数． 依题意应有当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0； 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围为[5,7]． 12. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0， ∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a>0时，由f′(x)>0，解得x 由f′(x)<0，解得－a ∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)， (a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)． (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，∴结合f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．