关于传染病模型
关于SARS 模型的建立与相关的预测分析
本文先根据材料提供的模型与数据较为扼要地分析了附件 1 的模型的优缺点，
摘要：全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上运用经典的龙格——库塔微分方程求解算法结合MA TLAB 编程程序在附件一拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议。而后运用差分方程（程序在附件二）就SARS 对经济（主要是旅游业）的影响进行了较为准确的分析，进而通过模型算出的理论预测数值与实际数值进行对比，以数值上的显著差异直观地表现了SARS对经济（旅游）的影响，并对接下来的几个月进行了较为合理的预测。本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，以一篇短文评述去说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。
关键词：微分方程龙格—库塔算法SARS 双线性函数模型差分方程数学模型1 一问题的重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症俗称：非典型是肺炎）21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。（3）收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3 提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
（二）对附件 1 所提供的模型的评价
该模型的合理性首先体现在模型假设上：“假定初始时刻的病例数为N0，平均每病（K ，人每天可传染K 个人一般为小数）平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天。” 其一，一般来说每病人每天可传染的人数与当时的健康人数有关1，但由于北京的人数基数较大，SARS 病人数相对较少并且SARA持续时间不是很长，所以这样假设也是可以的。其二，每个病人可以直接感染他人的时间是有限的，该模型考虑到了这一点，也是很合理的。该模型的合理性还在于用数理统计的方法估计相关参数。该模型的实用性是较好地模拟与预测了北京的SARA数据与发展。在传染病发病初期对疫情的预测结果还是较为理想的，这主要得益于发病初期，由于病情来得突然，有关部门没有来得及采取措施加以控制，使病情得以蔓延迅速，而且发病初期在治疗方法上不是特别有效，治愈所需的时间长，所以使用N t N 0 1 k t 作为模型进行估计以及参数的假设均较为合理，基本上是可行的。但是到了疫情发展中后期，由于政府部门采取强硬措施加强防治工作以及人民群众的防范意识与警觉程度上的普遍提高，加之治疗措施的改进，使得每天被传染的人数下降，并且治愈的人数在不断增加，治愈时间也在不断缩短，每天的病人数应在上一天的基础上减去治愈和死亡的人数，“ “ 并且由于采取强硬措施L”的取值会大大的减小，K”取值也会是个变量，而不是常数。大多数疑是病人往往在早期就会被隔离，所以，基本2上很少能转化成自由非典病人而去接触并传染别人。如果此时还是选取N t N 0 1 k t这样的单调递增函数作为预测模型，就会有较大的误差。该模型的另一个不足是没有考虑SARS 的潜伏期，也没有对人群进行合理的分类（如易感染人群、病人、治愈人群等等），所以必须建立更为合理的假设与模型。
（三）定义与符号说明
S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。E：处于潜伏期人群在人群众的比率。，这种人暂时未发病，但他们最终将发病。I：已受感染者即病人在人群中的比例。R：移出者包括“出院者”和“死亡者”在人群中的比例。M：未被隔离的带菌者。X：疑似病人。a:每个病人每天有效接触并使之感染的平均人数（常数）。b:退出率，即SARS 患者的每日死亡率和每日治愈率之和。c：潜伏期的病人的日发病率。d: 每个未被隔离带菌者被隔离前平均每天感染有效人数。x1: 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例。x2：疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例。j：每个未被隔离的带菌者转化为病人的日转化率。k：被未被隔离的带菌者有效传染的人中可以控制的比例。τ0:SARS 潜伏期天数。
（四）模型的假设：
总体假设：材料提供的疫情统计数据真实有效。基本假设：1、潜伏期一般是 2 到11 天，我们假设为τ5 天。2、据医学权威表明，传染途径主要是SARS 患者，不包括处于潜伏期的。3、SARS 患者被治愈后不具有传染性，也不会再被传染。4、北京市的总人数可视为常数，即不考虑流入人口与流出人口的影响。也不考虑这段（R）时间的人口出生率与自然死亡率。把由SARS 引起的死亡人数视为“移出者” 。5、与SARS 病人接触后都会被感染。
（五）模型的分析：
根据附件三（我们自己从中国网收集得到的数据，比赛题给的数据要详细）中的数据表明，由于疫情初期政府控制力度不够，大众的对SARS 的防范意识不强，造成病情迅速蔓延。而当政府采取有力措施，人们的防患意识增强，疫情则趋于缓和，病患者人数迅速下降。所以SARS 传播大体上可分为两个阶段：1．控制前期：即认为病毒传播方式是自然传播。2．控制后期：政府强力介入之后的病毒传播模型。我们以附件三提供的北京市疫情统计数据为基础建立模型。 3
（六）模型的建立：
1、控前模型的建立：将人群分为易感染人群、已受感染者和移出者三类。时间为3 月1 日到4 月19 日。记S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。
I：已受感染者即病人在人群中的比例。
R：移出者包括“出院者”和“死亡者”在人群中的比例。
a:每个病人每天有效接触并使之感染成为潜伏病人（在τ天后发病）的平均人数。
b:移出率，即SARS 患者的每日死亡率和每日治愈率之和。
τ0:SARS 潜伏期天数。
则有：dS dt aI t 0 S t 0 1 dI aI t 0 S t 0 bI t 2 dt dR bI t 3 dt S t I t Rt 1 4
初始值：S0 S1 S2 S3 S4 I0 I1 I2 I3 I4R0
该微分方程组带有时滞因素，没有解析解。因此我们考虑用差分方程的办法，因为潜，I（1）伏期为 5 天，所以I（0），I（3），I（2），I（4）分别表示疫情开始前 5 天的病人数，从第 5 天开始有：I（5）I（4）aS（0）I（0）－bI（5）即：I（5）｛I（4）aS（0）I（0）｝/1b 同理，I（6）｛I（5）aS（1）I（1）｝/1b ：I（n）In-1aSn-5In-5/ 1b 5 对S（t）亦有S（5）＝S4-aI0S0 S（6）＝S5-aI1S1 ：S（n）＝Sn-1-aIn-5Sn-5 6 对R （t）则有R（n）Rn-1bIn n12…… 7 由此可得SARS 的控前差分方程模型，即：In In - 1 aSn - 5In - 5/ 1 b 5 Sn Sn - 1 - aIn - 5Sn - 5 6 Rn Rn - 1 bIn 7 In Sn Rn 1 8 如果初始值给定，并将参数a，b 确定（a：由有关数据推导得出。b：由医疗水平和有4关数据分析得出，取其平均值）就可计算出任一天的易感染人群、已受感染者和移出者的数目，但可惜的是，由于疫情初期政府控制力度不够，没有提供给我们真实有效数据，如北京首例SARS 病人出现在 3 月 1 日，但只有4 月19 日以后的数据，所以我们只能进行模型建立和分析，而不能求解模型。这也是建立真正有效的能预测的模型的困难之一。困难之二是这个微分方程
组的求解极其困难。困难之三是我们不知道政府在何时干预及力度如何。
2、控后模型的建立：将人群分为易感染人群、已受感染者、移出者、疑似病人和未被隔离的带菌者五类。设控制开始时间为 4 月21 日。记S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。I：已受感染者即病人在人群中的比例。M：未被隔离的带菌者。X：疑似病人。R：移出者包括“出院者”和“死亡者”在人群中的比例。a:每个病人每天有效接触并使之感染的平均人数（常数）。b:移出率，即SARS 患者的每日死亡率和每日治愈率之和。d: 每个未被隔离带菌者被隔离前平均每天感染有效人数。x1: 疑似者中每日被排除的人数占疑似人数的比例。x2：疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例。j：未被隔离的带菌者转化为病人的日转化率。k：被未被隔离的带菌者有效传染的人中可以控制的比例。则有：dS dt x1 X t dM t S t 8 dI jM t bI t x 2 X t 9 dt dR bI t 10 dt dX x1 X t x 2 X t dkM t S t 11 dt dM d 1 k M t S t jM t 12 dt St＋It＋Rt＋Xt＋Mt＝1 13 S0I0R0X0M0为初始值参数的确定：我们以材料提供的北京市疫情统计数据来说明参数的分析方法。（见附件三）以下全部图的坐标0 均表示4 月19 日。（1）x1：x1（每天新增的疑似排除人数）/ （当天疑似病人累计人数—当天移出累计人数）首先我们先直观的观察一下X1 的变化趋势。根据材料提供的数据，用MA TLAB 来出5x1，并画图，如图 1 所示：图1接着用曲线拟合图1，如图 2 所示：图2 从上图可看出，图2 大概有两个峰值。第一个高峰可能是疑似者中非感染者较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。由此4 阶拟合得出的曲线误差很大，为此，我们去掉几个偏差太大的点后，易看出，x1 集中分布在0 到0.05 之间。从图中，可以发现，最集中的数据为0.035，这样我们就以0.035 为x1 的估计值。（2）x2：x2（每天新增的疑似转化为确诊的人数）/ （当天疑似累计人数—当天累计移出者）首先观察x2 的变化趋势，如图 3 所示：6 图3用 5 阶曲线拟合，如图4 所示：图4 从图 4 可见，x2 在疫情得到重视后一直下降。由图还可以看出x2 的值主要分布在0 .0005 和0.015 之间。我们根据SARS 具有潜伏期的情况，估计x2 分为两个阶段值：0.0223 和0.006。从对x1 与x2 的数据处理来看，我们可以将控制后期的这段时期分为两个阶段：过渡期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期，所以在控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于SARS 潜伏期，这一部分人最终将转化为SARS 病人；且因为他们为未被隔离带菌者，在进医院前会传染较多的人；加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间，所以上述原因直接导致了过渡期的形成。（3）b：b（每天新增的出院者和死亡者的人数）/（当天病人累计人数—当天累计移出者人数）首先观察 b 的变化趋势。如图 5 所示：7 图5用 3 阶曲线拟合，如图6 所示：图6由图还可以看出B 的值主要分布在0 .005 和0.09 之间。也可以分为三个阶段值：b 0.0085，0.036 和0.085。（4）j：从材料提供的数据可以估计出其值在0.12 到0.25 之间。现在我们令j0.23。（5）k：根据各地的人们的意识和习惯等因素反映出来，比如在控制期对人口流动的控制严格程度，减少聚会等措施。由此我们估计k 在0.7 到0.9 之间。
（七）模型的解法与求解：
经过尝试，我们可以知道无法从建立的微分方程直接求出S，I，R，X，M 的函数表达式。我们尝试编写龙格—库塔微分求解算法求它们的数值解。龙格—库塔算法（求解微分方程组）：K1ftZn K2ftZnh/2K1 K3ftZnh/2K2 K4ftZnhK3 Zn1Znh/2K12K22K3K4 步长h 取 1 8 Zn 为矩阵（S，I，R，X，M） f 为 5 个方程的形式K（K1K4）为（4X5）的矩阵1 由Zn 的初值可顺序算出K（K1，K2，K3，K4）的值，进而推出Zn1 的值。据此（递推可得任意的Zn 的值。matlab 程序附于附件一中）我们通过求出的数值解跟根据材料算出的每一天的S、I、R、X、M 的值作对比，并画出图像。根据图像可以看出实际数值和理论计算数值存在一定的差异。因此，我们可以通过调整由估计得来的数据来使两个图像
趋于一致。通过分析估计有：x10.035，x20.02230.006，b0.00850.1913，d0.555，j0.22，k0.71。这组数据使图像与实际最为接近。图7 是材料提供的北京市累计病人比率图：图7 （蓝圈表示实际的数据，红线以下是由龙格—库塔方法求得的I 的数值解画出的图：是I 的数值解）图8 注：0 点表示为 4 月19 日，从此开始往后计算天数。从上图曲线的分析可得：91．病人数在 5 月13 号4 月19 日往后25 天前后达到高峰期。2．病人数在5 月18 日左右出现最大值，且Imax0.00015，此后开始下降。3．病人数在6 月10 号前后趋于缓解，并不断递减，在 6 月10 号至7 月10 初为缓解阶段。这是由于政府采取了大力控制措施，使大多数带菌者被隔离，从而被传染的人数越来越少。4．病人数将在130 天后即8 月底左右趋于0，即疫情的最终控制期。
（八）模型的优缺点一．
模型的优点：1首先此模型进行了较为详细的分类，使得微分方程的联立显得较为紧凑，相关性较强。因为材料提供的数据齐全，各参数的设置合理，所以参数的设计在详细的数据的支持下和实际情况较为接近，为图形的拟合和对最终控制期的预测奠定了基础。2该模型适用范围较广，只要数据足够地精确详细，则求出估计参数便可求解。3该模型虽然是控后模型，但只要人的警惕性增强，把控制期提前到疫情初期，那么只要做适当的参数修改便可以作为疫情发展的全过程的预测模型。二．模型的缺点：1首先是没有考虑年龄结构层次对疫情的影响。因为根据医学研究表明，儿童与老人极易感染非典病毒，而青壮年由于精力旺盛使的活动积极者，且由于控制后期的前期人们的活动几率仍然较高，所以接触的几率较大。而在控后期的后期由于人们的活动水平降低，使得接触的几率降低，接触几率的不断降低这一点在模型中并没有得到很好的体现。2随着医疗水平的提高与人们的意识水平、政府的严厉的控制措施，退出率实际上是不断提高的，而在我们的模型中却认为这是一个常数。
（九）控后模型的改进：
1在模型中引入接触率与移出率应随着病人的减少而变化，可能会是趋于p 的变化，随着时间推移有所调整，以附和预测的需要。2在模型中引入接触感染率的概念，即体现接触不一定感染，只不过是感染率较高。3对控后模型加入潜伏期对病毒的传播造成的影响。
（十）对于卫生部门采取的措施的评价
对于卫生部门提前或延后 5 天采取严格的隔离措施的影响，我们可以建立下面的模型进行辅助分析估计：1．模型参数定义：St——t 时刻易感人群总数It ——t 时刻出现的新增患者——患者从患病起经过时间，仍为患者的概率——患者距发病时间，具有传染性的概率——患者与易感人群接触率10近断时间的医学研究表明，从正式发病到治愈一般需7—14 天或更长时间，假定平均治愈时间为12 天。2．基本条件假设：新患者出现的数量与现有患者的数量成正比，也与现有易感者的数量成正比，即发病率是患者人数和易感者人数的双线性函数。由基本假设条件可得：S（t1）St-It1 （1）tIt1 St I t （2）0经整理后得：tSt1St- S t I t （3）0 tSt1St1- I t （4）0 tSt1/St1- I t （5）0 虽然不能具体知道的数值，那么我可以根据较为理想的均匀平均递减概率参数，可得下表：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11/12 10/12 9/12 8/12 7/12 6/12 5/12 4/12 3/12 2/12 1/12 0如果病人发病后5 天才开始隔离，并且的值在疫情初期又较大的话，那么由上表可知病人已经分别以11/12、10/12、9/12、8/12、7/12 的大概率在社会上与易感人群接触和传染。由（5）式得t St1/St1- I t lt1 （6）0也就是St1ltSt，易感人群总数将会一以较大的数值递减，给疫情的控制带来更大的困难。而且在现实生活中在第5 天的（5）gt 7/12。当处于潜伏期时，传染性几乎为0，因而同理我们有理由相信：St1/St1- I t 1 （7）t 0即St1近似于St。所以，如果在病人发病前提前 5 天隔离的话，新增病人数将变得很小。11
（十一）SARS 对经济的影响
从附件四中2003 年度4，5，6，7，8 月的旅游人数与往年同期月份的数据作对比，
可以发现Sars 对经济（旅游业）的影响还是很显著的。下面建立模型进行预测和分析对比，用数值上的差异来说明问题。我们主要用一阶常系数差分方程作为预测模型，他的形式为: xt1pxtq 1在应用一阶常系数差分方程的过程中，系数p 与q 是不易确定的，因为旅游的人数多少只对下一年度产生较大的影响，而对后年度的人数不产生较大的影响，所以对p 与q 的估计使用加权平均的方法来近似计算，即使用1997 到2002 的旅游人数Xi进行构造：-P1X1998/X1997 -P2X1999/X1998……….-P5X2002/X2001.
数学建模 传染病模型
传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 三、模型假设 模型二和模型三的假设条件： 假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. §1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人 和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i . 2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康 人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型. 解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴ 由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为 ()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染. 于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有 i s N dt di N λ= (1)
i s dt di λ=∴ 而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则 ()()?????=-=0 01i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-??? ? ??-+= 11110 ［结果分析］ 作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下： 1. 当2 1=i 时，dt di 取到最大值m dt di ?? ? ??，此时刻为 ??? ? ??-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.
数学建模传染病模型剖析
传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合
MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；
数学建模论文资料传染病模型)
传染病模型 摘要 “传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 二．问题的分析 2.1 问题分析 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。 2.2模型分工
数学模型实验报告传染病
《数学模型实验》实验报告 姓名：学院：地点： 学号：专业：时间：年月日 一、实验名称： 传染病SIR模型 二、实验目的： 探讨传染病的SIR模型。通过微分方程的解的特征，分析受感染人数的变化规律，预报感染病的高潮时间，得出控制感染病蔓延的方法。三、实验任务： 大多数传染病如天花、流感、肝炎、荨麻等治愈后均有很强的免疫力，所以对于病愈后即非健康者（易感染者）、也非病人（已感染者）的人，他们已经退出了传染系统。假设：总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类。三类人在总人数N中占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。建立相关模型，进行求解分析 四、实验步骤： 1.模型假设 2.模型构成 3.数值计算 4.结果分析 五、实验内容： （一）模型假设
1.总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称SIR模型。时刻t三类人在总人数中所占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。 2.病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，传染期接触数为β=λ/μ。（二）模型构成 由假设1显然有s（t）+i（t）+r（t）=1；由假设2,对于病愈免疫的移出者而言应有：Ndi/dt=λNsi-μNi; Ndr/dt=μNi。再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0>0）和i0（i0>0），则由此得到SIR模 型的方程可以写作 （三）数值计算 设方程中λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，MATLAB编程语言如下： 建立函数： 引用： 得到轨迹图如下：
i(t),s(t)图像 i-s图像(相轨线) （四）结果分析 由图可看出，i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少，t趋
数学建模 传染病模型
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍 乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。 模型2 SI模型 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（Infective）（i）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
传染病模型(微分方程)
t 微分方程建模（传染病模型）的求解。 1、模型1：SI 模型。 假设： （1）t 时刻人群分为易感者（占总人数比例的()s t ）和已感染者（占总人数比例的()y t ） （2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。 分析：根据假设，每个患者每天可以使()s t λ个健康者变为病人，因为病人数为()Ny t ，所以每天共有()()Ns t y t λ个健康者变为病人。即： dy N Nsy dt λ=，且()()1s t y t +=，设初始时刻病人比例为b ，则： (1) (0)dy y y dt y b λ?=-???=?，用MATLAB 解此微分方程： >> syms a b >> f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') f = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) %11 ()1111(1)t t y t b e e b b λλ--= = --+- 当0.09,0.1b λ==时，分别在坐标系oty 中作出()y t 的图像，坐标系oyy '中作出 (1)y y y λ'=-的图像， >> a=0.1; >> b=0.09; >> h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') h = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) >> f=subs(h) f = 1/(1+91/9*exp(-1/10*t)) ()y t 的图像 >> ezplot(f,[0,60]) >> grid on >> figure (2) >> fplot('0.1*y*(1-y)',[0,1])
传染病传播数学模型
第二节传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数， k表示每个病人单位时间内传染的人 数，i(0)= i表示最初时有0i个传染病人，则在t?时间内增加的病人 数为 ()()() i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （2.1） 其解为 ()00 k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病的数学模型
传染病模型详解 /,SI SIS SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： dS SI dt N I SI d t N ββ?=-????=?? 从而得到 (1)di i i dt β=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01t t i e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 所示。建立的平均场方程：
1.实验7-1传染病模型2
河北大学《数学模型》实验实验报告 一、实验目的 二、实验要求 1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图 （参考教材 p137-138） 传染病模型 2（ SI 模型）： ; di/dt=ki(1-i),i(0)=i 其中， i(t)是第 t 天病人在总人数中所占的比例。 λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。 i0是初始时刻（ t=0）病人的比例。 取 k=0.1，画出 di/dt~ i 曲线图，求 i 为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。试编写一个 m 文件来实现。 参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）：
[提示] 1）画曲线图 用 fplot 函数，调用格式如下： fplot(fun,lims) fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。 若 lims 取[xmin xmax]，则 x 轴被限制在此区间上。 若 lims 取[xmin xmax ymin ymax]，则 y 轴也被限制。 本题可用 fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]); 2）求最大值 用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd，调用格式如下： x=fminbnd(‘fun’,x1,x2) fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。 返回自变量 x 在区间 x1 传染病模型实验 实验目的： 理解传染病的四类模型，学会利用Matlab软件求解微分方程（组）。 实验题目： 利用Matlab求解传染病的SIS微分方程模型，并绘制教材P139页图3-图6。 SIS模型 假设： (1)、t时刻人群分为易感者(占总人数比例的s(t))和已感染者(占总人数比例的i(t))。 (2)、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。 (3)、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率，显然1 为这种传染病的平均传染期。 μ 则建立微分方程模型为： 令，则模型可写作 分别作图： 页脚内容1 当sigma>1时 Step1:先定义函数 function y=pr1(i,lambda,sigma) y=-lambda.*i.*(i-(1-1./sigma)) step2:作图 lambda=0.3;sigma=2; i=0:0.01:1; y=pr1(i,lambda,sigma) plot(i,y) 页脚内容2 页脚内容3 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.16 -0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 0.02 当sigma<1时 Step1:先定义函数 function y=pr1(i,lambda,sigma) y=-lambda.*i.*(i-(1-1./sigma)) step2:作图 lambda=0.3;sigma=0.5; i=0:0.01:1; y=pr1(i,lambda,sigma) plot(i,y) SI传染病模型 1.模型的建立 由题意知道：在此环境中仅存在健康者（即易感者）和已感者（即病人），且在t时刻人数分别为S(t),L(t),不考虑人口的出生与死亡，此环境中的人口数量 不变N即K，于是在单位时间内每天每个病人感染的人数βS（t）L（t），它是 病人的增加率，所以有： d L =β*S()t*L()t L()0=L1 (1) d t 在t时刻健康者与已感者满足关系式：S()t+L ()t=K(2) 此模型满足Logistic模型，所以它的解为： L（t）=1/1+((1/L1)-1)*exp(-β*t) 1.求平衡点 syms r S L K y y=r*L*(K-L); solve(y) ans = SIS传染病模型 1.模型假设SIS模型的假设条件1.2与SI模型相同，增加的条件为：每天被治 愈的病人数占病人的总数为m ，此称为日治愈率。病人治愈后仍然可以成为被感染的健康者，显然，平均传染期为1/m 。 2. 模型建立 此模型可以修整为：（a 代表β） ()()()()***dL t a S t L t m L t dt =- ()()L t S t K += ()01L L = 求平衡点：（s, l ，k 分别代表S ， L ，K ） syms a t s l m k f f=a*l*(k-l)-m*l; solve(f) ans = -a*(-k+l) 1.δ大于时的图像,10,0.8a a b b δ? ? = == ??? 2.δ小于1时的图像)(0.2,0.8a b == 模型假设：在SIS 模型中我们增加：人群可分为健康者，病人，病疫免疫的移出者，且三种人群的数量分别为S ()t ，L ()t ，R ()t ；病人的日接触率和日治愈率分别为β，m 所以传染期为 m β δ = 1. 模型建立 ()()()()***dL t a S t L t m L t dt =- ()()L t S t K += ()01L L = (1) ()()()**dS t a S t L t dt =- ()()00S K L =- (2) 求平衡点 syms a t s l m k [s,l]=solve('a*l*(k-l)-m*l','-(a*s*(k-s))') s = a*k-a*l a*k-a*l l = 0 k 健康者与病人数量在总人数中的比例()s t ，()i t 对时间的变化关系图为： 传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数， 病人人数的增加，就有 到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ?+λ)(t t x t x t t x ?=-?+)()()(λ 程有个病人，即得微分方时有再设00x t = )1()0(,d d 0x x x t x ==λ 方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ= 结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人 传染病传播的数学模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 传染病传播的 数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k ；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t 时刻的病人数，0k 表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i 表示最初时有0i 个传染病人，则在t ?时间内增加的病人数为 ()()()0i t t i t k i t t +?-=? 两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （） 其解为 ()00k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成 正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程 甲型H1N1流感传播模型研究 小组成员：宋科康张晓鹏姚步泉 摘要 本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。 一、问题重述 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。 二、问题分析 甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量： 三、建立模型 （一）、不考虑潜伏期的数学模型 1、模型假设 （1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生 死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。 （2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。 病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈 的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。 2、模型构成 易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。所以有： () ()()dS t S t I t dt λ=-（1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 () ()dR t I t dt ν=（2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 () ()()()dI t S t I t I t dt λν=-（3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。 3、模型求解 方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /σλν=，于是可以求出方程的解为： 0001()ln s i s i s s σ=+-+（4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况： a 、不论初始条件0S 、0R 如何，病人最终将消失，即0i ∞=。 b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程 0001()ln 0s s i s s σ +-+=在(0,1/)σ内的根。 C 、若01/s σ>，则开始有：()i t 先增加。当01/s σ=时，()i t 达到最大值，然后() i t 数学模型实验—实验报告10 学院： 专 业： 姓 名： 学号：___ ____ 实验时间：__ ____ 实验地点： 一、实验项目：传染病模型求解 二、实验目的和要求 a.求解微分方程的解析解 b.求解微分方程的数值解 三、实验内容 问题的描述 各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。 模型一（SI 模型）： （1）模型假设 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，人群分为健康人和病人，时刻t 这两类人在总人数中所占比例为s （t ）和i （t ）。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a ，a 成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。 （2）建立模型 根据假设，每个病人每天可使as （t ）个健康人变成病人，t 时刻病人数为Ni （t ），所以每天共有aNs （t ）i （t ）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi 又因为s （t ）+i （t ）=1 再记时刻t=0时病人的比例为i0 则建立好的模型为： ) 1(i ai dt di -= i(0)=i0 （3）模型求解 （代码、计算结果或输出结果） syms a i t i0 % a ：日接触率，i ：病人比例， s ：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值 i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t'); y=subs(i,{a,i0},{,}); ezplot(y,[0,100]) 流行病毒的扩散与传播的控制问题 摘要 本文以微分方程为理论基础，建立流行病毒的扩散与传播的控制模型，进而对疫情的蔓延趋势进行分析。 对问题一，首先将人群划分为五类：正常人、疑似患者、确诊患者、治愈者、死亡者，前三类组成传染系统。假设疑似患者包括病毒携带者（潜伏期患者）和非病毒携带者(最终为正常人)两部分，潜伏期患者最终都会被确诊，由此建立各类人群数量之间的变化关系。 然后将疫情变化分为两个阶段：控制前和控制后。在控制前阶段，由于病人未被隔离，相当于自由传染源，其每人每天接触的r个人都会成为疑似病例，因此疫情发展较迅速。在控制后阶段，疑似病例被隔离，确诊病人得到有效治疗，传染源减少，传染源每天接触的人数'r减少，治愈人数增多，退出传染系统者增多，最终疫情得到有效控制。 由上，建立起微分方程模型。 对问题二，代入题中限制条件求解模型得到潜伏期人数和确诊患者人数随时间变化的曲线图，控制前2 t=时，潜伏期人数Q增至15093，确诊患者人数I增至为4062，并且两者增长速度很快，控制后四五天，潜伏期人数和确诊患者人 数增到最大值 max 15206 Q=， max 12659 I=，而后逐渐下降，在12 t=时潜伏期人数几乎为零，当14 t=时确诊患者人数几乎为零。这时，疫情已经被控制。 对问题三，提前一天开始控制，3 t=时，潜伏期人数达到最大值 max 3722 Q=； 4 t=时确诊患者人数达到最大 max 3167 I=，而后也逐渐降低，到第十一天潜伏期的人数几乎为零，第十二天患病者人数几乎为零。 对问题四，将隔离强度增强p改为0.9，重复求解得：高峰期潜伏者人数 max 2527 Q=确诊患者人数 max 2093 I=。到第九天潜伏期人数减为零，到第十天确诊患者人数减为零，并根据以上分析结合实际给出一份建议报告。 关键词：传染病微分方程潜伏期 一、问题重述 近来猪流感在墨西哥爆发，引起全世界人的关注。流行病毒的扩散与传播的控制问题得到各国领导人和世界卫生组织的重视。各国都采取各种措施预防猪流感病毒的传播和蔓延。假设该病毒的潜伏期为d1至d2天，得病患者经治疗经过d3天可以治愈，严重的可能引起患者死亡。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散。设人群中每人每天的接触人数为r。人群中的人可以分为5类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡人和正常人，可控制参数是隔离措施强度，即潜伏期内的患者及疑似患者被隔离的百分数。 1.建立流行病病毒扩散与传播的控制模型； 2.利用所建立的模型针对如下数据进行模拟： 条件1.的d1=2, d2=7, d3=20, r=15； 大学《数学模型》实验实验报告 一、实验目的 二、实验要求 1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图 （参考教材 p137-138） 传染病模型 2（ SI 模型）： ; di/dt=ki(1-i),i(0)=i 其中， i(t)是第 t 天病人在总人数中所占的比例。 λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。 i0是初始时刻（ t=0）病人的比例。 取 k=0.1，画出 di/dt~ i 曲线图，求 i 为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。试编写一个 m 文件来实现。 参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）： [提示] 1）画曲线图 用 fplot 函数，调用格式如下： fplot(fun,lims) fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。 若 lims 取[xmin xmax]，则 x 轴被限制在此区间上。 若 lims 取[xmin xmax ymin ymax]，则 y 轴也被限制。 本题可用 fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]); 2）求最大值 用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd，调用格式如下： x=fminbnd(‘fun’,x1,x2) fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。 返回自变量 x 在区间 x1 关于SARS 模型的建立与相关的预测分析 本文先根据材料提供的模型与数据较为扼要地分析了附件 1 的模型的优缺点， 摘要：全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上运用经典的龙格——库塔微分方程求解算法结合MA TLAB 编程程序在附件一拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议。而后运用差分方程（程序在附件二）就SARS 对经济（主要是旅游业）的影响进行了较为准确的分析，进而通过模型算出的理论预测数值与实际数值进行对比，以数值上的显著差异直观地表现了SARS对经济（旅游）的影响，并对接下来的几个月进行了较为合理的预测。本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，以一篇短文评述去说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程龙格—库塔算法SARS 双线性函数模型差分方程数学模型1 一问题的重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症俗称：非典型是肺炎）21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。（3）收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3 提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 （二）对附件 1 所提供的模型的评价 该模型的合理性首先体现在模型假设上：“假定初始时刻的病例数为N0，平均每病（K ，人每天可传染K 个人一般为小数）平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天。” 其一，一般来说每病人每天可传染的人数与当时的健康人数有关1，但由于北京的人数基数较大，SARS 病人数相对较少并且SARA持续时间不是很长，所以这样假设也是可以的。其二，每个病人可以直接感染他人的时间是有限的，该模型考虑到了这一点，也是很合理的。该模型的合理性还在于用数理统计的方法估计相关参数。该模型的实用性是较好地模拟与预测了北京的SARA数据与发展。在传染病发病初期对疫情的预测结果还是较为理想的，这主要得益于发病初期，由于病情来得突然，有关部门没有来得及采取措施加以控制，使病情得以蔓延迅速，而且发病初期在治疗方法上不是特别有效，治愈所需的时间长，所以使用N t N 0 1 k t 作为模型进行估计以及参数的假设均较为合理，基本上是可行的。但是到了疫情发展中后期，由于政府部门采取强硬措施加强防治工作以及人民群众的防范意识与警觉程度上的普遍提高，加之治疗措施的改进，使得每天被传染的人数下降，并且治愈的人数在不断增加，治愈时间也在不断缩短，每天的病人数应在上一天的基础上减去治愈和死亡的人数，“ “ 并且由于采取强硬措施L”的取值会大大的减小，K”取值也会是个变量，而不是常数。大多数疑是病人往往在早期就会被隔离，所以，基本2上很少能转化成自由非典病人而去接触并传染别人。如果此时还是选取N t N 0 1 k t这样的单调递增函数作为预测模型，就会有较大的误差。该模型的另一个不足是没有考虑SARS 的潜伏期，也没有对人群进行合理的分类（如易感染人群、病人、治愈人群等等），所以必须建立更为合理的假设与模型。matlab传染病模型
SI传染病模型
数学建模_传染病模型 (1)
传染病传播的数学模型
传染病模型数学建模论文
传染病模型 SI SIR
传染病的扩散和传播模型(hgp)
1.实验7-1传染病模型2
关于传染病模型