【汇总13份试卷】江西省赣中南五校2021届高三(上)第一次联考数学模拟试卷(特色班)含解析

江西省赣中南五校2021届高三（上）第一次联考数学模拟试卷（特色班） 考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

【答案】D

【解析】

【分析】 71log 30a >=>，13

log 70b =<，0.731c =>得解． 【详解】 71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D 【点睛】

比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．

2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ?∠=∠=，则异面直线1AB 与1

BC 所成角的余弦值为（ ）

A ．33

B ．6

C 3

D 3【答案】B

【解析】

【分析】

设1AA c

=，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ?和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ?=，12b c ?=，12

a c ?= 1AB a c =+，11BC BC BB

b a

c =+=-+

()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴?=+?-+=?-+?+?-?+=

-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+?+= ()222212222BC b a c b a c a b b c a c =-+=++-?+?-?=

11

111116cos ,66

AB BC AB BC AB BC ?∴<>===? 即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：6本题正确选项：B

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

3．若||1OA =，||3OB =0OA

OB ?=，点C 在AB 上，且30

AOC ?∠=，设

OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n 的值为（ ） A ．13 B ．3 C D

【答案】 B 【解析】 【分析】 利用向量的数量积运算即可算出．

【详解】

解：30AOC ?∠=

3cos ,2

OC OA ∴<>= 32

OC OA

OC OA ?∴=

()3mOA nOB OA mOA nOB OA +?∴=+222232m OA nOB OA

OA mnOA OB n

OB OA +?=+?+1OA =，3OB =，0OA OB ?=

2

= 229m n ∴=

又C 在

AB 上

0m ∴>，0n > 3m n ∴

= 故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=

对称，为了得到函数()g x x

=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ）

A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变

B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12

，纵坐标保持不变 C ．先向右平移

3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移

3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12

，纵坐标保持不变 【答案】D

【解析】

【分析】 由函数()f x 的图象关于直线3x π

=对称，得1m =，进而得

()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ????=+=+=- ? ????

?，再利用图像变换求解即可 【详解】

由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得233f m π??=+ ???，即23322m m +=+，解得1m =，所以()3sin cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ?

???=+=+

=- ? ?????，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移

3

π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可.

故选：D

【点睛】 本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题

5．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ?∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）

A ．6

B ．10

C ．5

D ．15 【答案】D

【解析】

【分析】

以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，

建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】

如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ?∠=，取BC 中点E ，

以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，

建立空间直角坐标系．

设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1

,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===．

设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =， 则130,20,

n AC x y n AA z ??=+=???==??取1x =，

得(1,3,0)n =-．

设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ，

则112sin 48||BC n

BC n

θ?-==

=?， cos θ

∴==， ∴直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于

5

故选：D

【点睛】

本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ）

A ．42

B ．21

C ．7

D ．3 【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】

由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=， ()1747772732122

a a a S +?∴===?=. 故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 7．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）

A ．3

B ．6

C ．3

D ．33 【答案】C

【解析】

【分析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：

则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ，

由中位线定理可得//GH BC 且1122

GH BC a ==， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，

2

21322EG EH a a a ??==-= ??? ， 由余弦定理可得222

cos 2EG GH EH EGH EG GH

+-∠=?

222

313

a a a

+-

==，

所以直线EG与直线BC

，

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

8．设x∈R，则“|1|2

x-<“是“2x x

<”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必条件

【答案】B

【解析】

【分析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由|1|2

x-<，得13

x，又由2x x

<，得01

x

<<，

因为集合{|01}{|13}

x x x x

<

所以“|1|2

x-<”是“2x x

<”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

9．设 2.71828...

e≈为自然对数的底数，函数()1

x x

f x e e-

=--，若()1

f a=，则()

f a-=( ) A．1-B．1C．3D．3-

【答案】D

【解析】

【分析】

利用()

f a与()

f a

-的关系，求得()

f a

-的值.

【详解】

依题意()11,2

a a a a

f a e e e e

--

=--=-=，

所以()()11213a a a a f a e

e e e ---=--=---=--=-

故选：D

【点睛】 本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

10．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}

2log 11B x x =+>，则A B =（ ） A ．{}12x x <≤

B ．{}22x x -≤≤

C ．{}23x x -<<

D ．{}

13x x << 【答案】A

【解析】

【分析】 根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解.

【详解】

解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；

又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，

则{}12A B x x ?=<≤.

故选：A.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.

11．如图，设P 为ABC ?内一点，且1134

AP AB AC =+，则ABP ?与ABC ?的面积之比为

A ．

14

B ．

13 C ．23 D ．16 【答案】A

【解析】

【分析】 作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ?与ABC S ?的比例，再由ADP S ?与APB S ?的比例，可得到结果.

【详解】

如图，作//

PD AC交AB于点D，

则AP AD DP

=+，由题意，

1

3

AD AB

=，

1

4

DP AC

=，且180

ADP CAB

∠+∠=，

所以

11111

||||sin||||sin

223412

ADP ABC

S AD DP ADP AB AC CAB S

??

=∠=??∠=

又

1

3

AD AB

=，所以，

1

3

4

APB ADP ABC

S S S

???

==，即

1

4

APB

ABC

S

S

?

?

=，

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 12．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的右焦点，直线

2

b

y=与椭圆交于B，C两点，且90

BFC

∠=?，则该椭圆的离心率是（）

A．

6

3

B．

3

4

C．

1

2

D．

3

2

【答案】A

【解析】

【分析】

联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果.

【详解】 由222212x y a b b y ?+=????=??

，得2x b

y ?=????=??

，所以,2b B ?? ? ???

，,2b C ?????. 由题意知(),0F c

，所以,2b BF c ??=- ? ???

，,22b CF c a ??=-- ? ???. 因为90BFC ∠=?,所以BF CF ⊥,

所以

2222222331044442b a c BF CF c c c a c a ????-?=+=-+=-= ??? ???????

. 所以2232c a =

，所以c e a =

=， 故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若向量()

()221a x b x ==，，，满足3a b ?<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1-

【解析】

【分析】

根据题意计算223a b x x ?=+<，解得答案.

【详解】

()

()221a x b x ==，，，，故223a b x x ?=+<，解得31x -<<.

故答案为：()3,1-.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力. 14．过点()()32,5,2A B ---，

，且圆心在直线3240x y -+=上的圆的半径为__________．

【解析】

【分析】