高三数学开学考试试题答案
1．B 解：根据题意，由扇形的面积公式可得： 制作这样一面扇面需要的布料为1212404020204002323πππ???-???=. 故选：B.
2．C 由诱导公式知，71
sin
sin()sin 6662
ππππ=+=-=-，
7πcos
cos()cos 666πππ=+=-=， 所以角()02παα≤<
终边上一点的坐标为1(,2-，
故角的终边在第三象限，
所以tan α=， 由02πα≤<知，43
π
α= 故选：C
3．C 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 、 且b 2+c 2、a 2+bc 、
则：2221
222
b c a bc cosA bc bc +-===、
由于：0、A 、π、 故：A 3
π
=
、
由于：sin B sin C 、sin 2A 、 利用正弦定理得：
bc 、a 2、
所以：b 2+c 2、2bc 、0、 故：b 、c 、
所以：△ABC 为等边三角形． 故选C 、
4．D 对A ，因为A B >，所以a b >，又
sin sin a b A B
=，所以
sin 1sin A a
B b =>，即sin sin A B >，所以A 正确；
对B ，因为ABC 为锐角三角形，所以2A B π+>
，即有022
A B ππ
>>->，所以sin sin cos 2A B B π??
>-= ???
，B 正确；
对C ，因为2221cos 22
a c
b B a
c +-==，所以()2
0a c -=，即a c =，而60B =，所以ABC 是等边三
角形，C 正确；
对D ，由cos cos a A b B =可得，sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或
22A B π+=，亦即A B =或2
A B π
+=
，
所以ABC 是等腰三角形或者直角三角形，D 不正确． 故选：D
5．解：(0,)απ∈
，sin cos αα+= 两边平方后得：112sin cos 3αα+=
，即1sin cos 3
αα=-， sin 0α∴>，cos 0α<，
sin α∴
，cos α=，
则22cos 2cos sin ααα=-= 故选：A ．
6．22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =??，即sin 2sin 2A B =. 故22A B =或22A B π+=，即A B =或2
A B π
+=.
故选：D .
7.将()f x 横坐标缩短到原来的
12得：()2sin 216g x x π?
?=+- ??
?
当0,6x π??
∈ ???
时，
2,662x πππ??+∈ ???
sin x 在,62ππ?? ???上单调递增 ()g x ∴在0,6π??
???
上单调递增，A 正确；
()g x 的最小正周期为：22T π
π== 2
π∴不是()g x 的周期，B 错误；
当12
x π
=-
时，206x π
+
=，112g π??
-=- ???
()g x ∴关于点,112π??
-- ???
对称，C 错误；
当0,
6x π??
∈ ??
?时，2,662x πππ??
+∈ ???
()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 8．将函数()2sin 6f x x π?
?
=+
??
?
的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，得到12sin 2
6y x π??=+ ???，再将所得图象向左平移3π
个单位长度，得到函数
11()2sin[()]2sin()23623
y g x x x πππ
==++=+的图象.
故选：B.
9．解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C
==，则sin sin sin cos cos cos A B C
A B C ==，即tan tan tan A B C ==，即
A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；
对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=?，
即A B =或90A B +=?，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；
对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <
∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；
故选：ACD ．
10．选项A ：76
π-
终边与56π
相同，为第二象限角，所以A 不正确；
选项B ：设扇形的半径为,,33
r r r π
π=∴=，
扇形面积为
13322
π
π??=，所以B 正确； 选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，
3
cos 5
α=-，所以C 正确；
选项D ：角α为锐角时，0<<,02
π
ααπ<<，所以D 不正确.
故选:BC 【点睛】
本题考查有关角的定义和范围、三角函数的定义、扇形弧长和面积公式的命题真假判定，属于基础题.
11．()cos 2cos 28123g x x x πππ???
?
??=+
+=+ ? ????
?????
． ()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；
当0,2x π??∈????
时，42,333x πππ??+∈???? 时，故()g x 在0,2π??
????上有增有减，选项B 错误；012g π??= ???，故12
x π
=
不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；
当,66x ππ??
∈-
????
时，220,33x ππ??+∈????，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，
D 正确． 故选：ACD
12．由题知：函数()f x
，所以A =.
因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为
2
π
， 所以
22
T π=，2T π
πω==，2ω=，(
)()2 f x x ?=+. 又因为()f x 的图像关于点π,012??
- ???
对称，
所以 =0126f ππ?????
? ?????
-=-+，6k ππ?-+=，k Z ∈.
所以6
k π
?π=
+，k Z ∈.因为2
π
?<
，所以6
π
=
?. 即(
)2 6f x x π=+?
? ??
?.
对选项A
，0512f ππ==?
???
≠?A 错误.
对选项B ，,66x ππ??∈-????，2,662x πππ??+∈-????， 当π
π26
6x
时，()f
x 取得最小值 故B 正确. 对选项C
，sin(2)2625f ππααα??
-=-==
???
， 得到3cos 25
α=
. 因为(
)()4
4
22
22
3sin cos sin cos sin cos cos 25
ααααααα-=+-=-=-， 故C 错误. 对选项D ，
()2g x x =的图像向右平移
6
π
个单位得到
222263236y x x x x πππππ?????????
?=-=-=+-=+ ? ? ? ????????
?????，
故D 正确. 故选：BD
13．()sin 2sin()3
f x x x x π
==+
；
当x θ=时，函数()f x 取得最大值 2,3
2
k k z π
π
θπ∴+=
+∈；
26
k π
θπ∴=
+，k z ∈；
∴1tan()tan(2)tan()246446k πππππθπ+=++=+==+
故答案为：2+．
14．22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,
设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2
2
13124
y t t t ??=-+-=--- ???， 当12
t =
时，函数有最大值为3
4-；当1t =-时，函数有最小值为3-.
故函数值域为3
[3,]4
--. 故答案为：3[3,]4
--.
15．解：∵sin +cos =
2
θθ， ∴()2
1
sin +cos =1+2sin cos =2
θθθθ， ∴1sin cos =-
4θθ 则1sin cos 1
tan 4tan cos cos sin sin θθθθθθθθ
+
=+==- 故答案为：-4 16．51
sin(
)sin()cos()63233
ππππααα+=++=+=、 17．（1）()()()()
3sin cos tan 22tan sin f ππααπααπααπ????
-+- ? ?????=----cos sin (tan )
cos (tan )sin αααααα
-??-==--?； （2）331cos()cos()sin 227ππααα-
=-=-=，1sin 7
α=-， 又α
是第三象限角，∴cos 7
α==-
，
∴()cos()cos 7
f ααα-=--=-=．
18．解：（1
）2
1cos21()cos sin 2sin 2262x f x x x x x x π-??=+=
+=-+ ??
? 令
3222,262
k x k k π
ππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤
+∈ 则()f x 的单调减区间为5[,]36
k k π
π
ππ++
，k ∈Z . （2）令26
t x π
=-
，因为[
,]63x ππ
∈，则,62t ππ??∈????，即()1sin ,,262f t t t ππ??
=+∈????
，
由于()sin f t t = 在,62t ππ??
∈????
上单调递增，则当6t π=时，()min 1f t =；
当2
t π
=
时，()max 32
f t =
.即()f x 的最大值为3
2，最小值为1.
19．解：由题意得2
3AOB π∠= ，BAO ∠为锐角，3sin 5
BAO ∠=，
所以414
34cos ,cos cos 532525
10BAO OBA BAO π+??∠=∠=-∠=?+?=
??? 即
4cos 10
β+=
（2
）因为1123,sin 3sin 223OA S OA OB BOA OB π==??∠=??=
所以5OB = 由余弦定理得
2222
2cos 92515493
AB OA OB OA OB π=+-??=++=
所以7AB = 20.解法一：
由sinA =√3sinB 可得：a
b =√3，
不妨设a =√3m,b =m(m >0)，
则：c 2=a 2+b 2?2abcosC =3m 2+m 2?2×√3m ×m ×√3
2
=m 2，即c =m .
选择条件①的解析：
据此可得：ac =√3m ×m =√3m 2=√3，∴m =1，此时c =m =1. 选择条件②的解析： 据此可得：cosA =
b 2+
c 2?a 2
2bc =
m 2+m 2?3m 2
2m =?1
2
，
则：sinA =√1?(?12
)2=√3
2
，此时：csinA =m ×
√32
=3，则：c =m =2√3.
选择条件③的解析： 可得c
b =m
m =1，c =b ，
与条件c =√3b 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵sinA =√3sinB,C =π
6,B =π?(A +C), ∴sinA =√3sin (A +C )=√3sin (A +π
6), sinA =√3sin (A +C )=√3sinA ·
√3
2
+√3cosA ·1
2 ，
∴sinA =?√3cosA ,∴tanA =?√3,∴A =2π3
,∴B =C =π
6
,
若选①，ac =√3,∵a =√3b =√3c ,∴√3c 2=√3,∴c=1; 若选②，csinA =3,则
√3c 2
=3,c =2√3;
若选③,与条件c =√3b 矛盾.
21.（1）原式222222cos sin sin cos 1tan tan 11
cos sin 1tan 10
βββββββββ-+-+=
==++； （2
）
cos()05
αβ+=
>且(0,)αβπ+∈，(0,)2παβ∴+∈
，则sin()5αβ+=
， 243
cos2()2cos ()12155αβαβ∴+=+-=?-=，
4
sin 2()2sin()cos()5αβαβαβ+=++=，
1tan 7β=
，(0,)2πβ∈
，sin ββ∴==
，
2)cos[2()]co c s2()cos sin 2()si s(n o αβαββαββαββ+=+-=+++∴
34=55+， 又(0,)2
π
αβ+∈，(0,
)2
π
α∈，2(0,)αβπ∴+∈
2=
4
π
αβ∴+.
22．解：(1)5
cos 013
B =-
<， B ∴为钝角，12sin 13
B =
， B 为钝角C ∴为锐角，
3sin 5
C =
， 4cos 5
C ∴=
. ()sin sin A B C ∴=+=sin cos cos sin B C B C +1245333
13513565
=
?-?=
. (2)::sin :sin :sin a b c A B C =11:20:13=，
设11a k =，20b k =，13c k =，BC 边上的高为h 则2133sin 6622
S ab C k =
==，12k =
11
2a ∴=
，11133222
S h =?=， 6h ∴=.
BC 边上的高为6