数学建模期末考试题

班级：通工13**

学号：0313****

姓名：***

成绩：

西安邮电大学理学院

2014年12月3日

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。

举例：牛顿定律。

假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。

(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。

令x（t）表示在t时刻物体的位置，则

2．数学模型

答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。它包括三大特征：

1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。

2.应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。

3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。

举例：管道包扎

问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。

假设：(1)直圆管，粗细一致。

(2)带子无弹性等宽。

(3)带宽小于圆管截面周长。

(4)包扎时不剪断带子且不重叠。

设W为带宽，C为截面周长，L为管长，M为带长。则

M=+

3．抽象模型

答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。

举例：如汽车司机对方向盘的操作。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

答：（1）按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。

（2）按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

（3）按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。

（4）按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。

（5）按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。

（6）按人们对事物发展过程的了解程度分：黑箱模型、灰箱模型、白箱模型。白箱模型指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。

灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度上都还有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。黑箱模型指一些内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂、也可以简化为灰箱模型来研究。

2．数学建模的基本步骤

答：

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据等，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型。才能有应对的方法。在

模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。

（2）模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一部=步。假设得不合理或太简单。会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。常常在合理与简化之间做出恰当的折中。通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的综合。想象力、洞察力、判断力以及经验，在模型假设中起着重要作用。

（3）模型构成：根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等。这里除了需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较为广阔地应用数学方面的知识。要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其他对象的共性，借用已有的模型。建模时还应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你的模型总是希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。

（4）模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。

模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。

模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模，如上图中的虚线所示。这一步对于模型是否真的有用非常关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善，真到检验结果获得某种程度上的满意。

（5）模型应用：应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关。应当指出，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就

班。

3．数学模型的作用

答：数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际的问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。

三、解答题（满分20分，写出必要的推理过程及演算步骤）

C 路线选择(9n+2, 9n+4)

某人从南郊前往北郊火车站乘火车,有两条路可走. 第一条路穿过市中心,路程较短,但交通拥挤,所需时间(以分钟计) 服从正态分布N；第二条路沿环城公路走,路程较长,但意外阻塞较少,所需时间(35,80)

服从正态分布(40,20)

N. 试问(1)假如有50分钟时间可用,应走哪条路？

(2)若只有40分钟时间可用,又应该走哪条路线？

答：（1）1.模型准备：此问题属于概率学中的已知正态分布求解概率问题，因此可用正态分布解法求解。

2.模型假设：走两条路均严格服从正态分布。

3.模型构成：

设X表示“该人沿第一条线路从南郊到北郊火车站所需的时间”，表示“该人沿第一条线路从南郊到北郊火车站所需的时间小于50分钟的概率”；Y表示“该人沿第二条线路从南郊到北郊火车站所需的时间”，表示“该人沿第一条线路从南郊到北郊火车站所需的时间小于50分钟的概率”。

4.模型求解：

由以上分析可知，X~(35，80)，Y~(40，20)，则

{X50}=()Φ(1.68)=0.95352

{Y50}=Φ()Φ(2.24)0.98745

所以，该人从南郊到北郊火车站沿第二条路走，在50min内到达的概率比沿第一条路的概率大，故此时应选择第二条路走。

（2）若有40min可用，则可同理（1）

{X40}=()Φ(0.56)=0.71226

{Y40}=Φ()Φ(0)0.5

所以，该人从南郊到北郊火车站沿第一条路走，在40min内到达的概率比沿第二条路的概率大，故此时应选择第一条路走。

5.模型分析：由此可见，当所需时间越短，应选择第一条路，所需时间越多，应选择第二条路。

四、综合题（21分）

O 验血分组问题(7n+5, 7n+4, 7n+1)

在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此需要对团体中团体成员逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病；呈阴性则无此种疾病. 逐个验血工作量也很大. 为了减少验血的工作量，有位统计学家提出一种方案：把团体中的成员进行分组，再把组内所有人员的血样混合后再检验，若呈阴性，则该组内所有人员都无此疾病，这时只需作一次检验；若呈阳性，这时为搞清楚谁患有此种疾病，则对组内每个人员分别检验，共需检验1

k 次. 若该团体中患此病症的概率为p，且各人得此种疾病相互独立，那么此种方法能否减少验血次数？若能减少，那么减少多少工作量？

答：1.模型准备：这是一个概率学中离散型随机变量的应用的数学模型，运用公式计算出用新的验血方法平均每个人检验次数比逐个验血少的平均次数的数学期望，分析数据，得出结果。

2.模型假设：假设对该团体的检验过程不会出错，并严格遵守离散性随机变量过程。

3.模型构成：设该团体共有k人；X表示用新方法验血时，每个人需要检验的平均次数，则X只能有两种取值：当该团体无疾病时，X=;当该团体有人患病时，X=1+。若用旧方法检验，则X=1。

4.模型求解：

由以上分析可知，用新方法检验时，X的分布律为

P{ X=}=P{ X=}=

则每个人检验的平均次数的数学期望为

E(X)=

而用旧方法检验的数学期望E(X)=1，所以减少的工作量Q为

Q=

5.模型分析：经过计算可知，当k越大，Q越大，p越小，Q越大。

五、复述题（20分）

Q 三级火箭发射卫星模型.(3n+1)

答：

1.论文题目：三级火箭发射卫星

2.论文摘要：通过计算一级火箭发射的初速度和末速度，火箭的推进力和升空速度，理性型火箭的条件，进而得到多级火箭发射卫星的条件，在进一步得到三级火箭发射卫星的优点。

3.关键字：净载体，动量守恒，理想火箭，多级火箭。

4.论文正文：

(1)问题提出：为什么不能用一级火箭发射人造卫星。

①问题分析及模型假设：

1.0卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度。

1.1假设卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动。

1.2假设地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心。

1.3假设其它星球对卫星的引力忽略不计。

②模型设计：

设地球半径为R，中心为O，质量为M，曲线C表示地球表面，C'表示卫星轨道，C'的半径为r，卫星的质量为m。

③建模与求解：

1.根据假设，卫星只受地球引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为

F=G(1)

若把卫星放在地球表面，则由（1）式得

Mg=G又F=mg所以得

mg=即v=R=7.6 km/s

2.火箭推进力及升空速度

火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。

（1）模型假设

为使问题简化，假设:

2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；

2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)，且均为时间t的连续可微函数；

2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身的速度u为常数,即气体相对于地球的速度为v(t)-u

（2）建模与分析

由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为：

m(t+Δt)-m(t)=?Δt+(Δt) v(t+Δt)-v(t)=?Δt+(Δt)

由动量守恒定律可得m=-u

表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度的乘积。

v(t)=+uln()

此式表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质量，这要从结构上想办法。

（3）一级火箭末速度上限

火箭卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有效负载，如卫星), 燃料质量,结构质量(如外壳、燃料容器及推进器) 。一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制。

同理可求解二级、三级、四级火箭模型。由此模型可知,用三级火箭代替二级火箭很值得，但用四级火箭代替三级火箭时重量减轻不多，而实际上由于工艺的复杂性及每集火箭都需要配备一个推进器，所以四级以及四级以上火箭不合算，故三级火箭的设计是最优的。

（3）模型优缺点及误差分析：

优点：建立的模型能够利用较为准确的数据反映出模型要达到的效果。

缺点：在建立的模型上，模型过于简单，粗糙，不够细致，没有详细的说明问题。

误差分析：1、自己在建立数学模型时，有一些假设，达到理想状态，这些假设出的数据与实际的数据还是有误差的。2、自己在计算时候有求对数，幂指数等，在每步计算时候都需要保留小数，这样算下来，就会有误差。

参考文献：

《数学模型》姜启源编，高等教育处出版社

《数学建模—方法与范例》寿纪麟编，西安交通大学出版社