相对论的几何表述_
第17卷第7期大 学 物 理Vol.17 No.7
1998年 7月COLLEGE PHYSICS July. 1998
教学研究相对论的几何表述③①
梁灿彬
(北京师范大学物理系,北京 100875)
3 学一点点广义相对论
3.1 引力的实质是时空弯曲
狭义相对性原理实际上是关于物理定律的
定律,它要求一切物理定律具有洛伦兹不变性.
因此,在建立狭义相对论物理学时,应该以它为
标准重新审查已有的物理定律,凡符合这个要
求的就仍被视为定律,凡不符合这个要求的就
要改造,直至符合要求才作为物理定律纳入狭
义相对论物理学这个框架中.首先审查麦氏电
磁理论.麦氏方程天生就有洛伦兹不变性(改写
为四维形式可更清晰地看出这一点),因而可以
不经改造地纳入狭义相对论物理学中.这其实
并不奇怪,因为狭义相对论出现的重要原因之
一就是麦氏理论与非相对论时空观有矛盾.再
来审查牛顿第二定律.它是伽里略不变的,所以
不可能是洛伦兹不变的.事实上,由牛顿第二定
律可推出质点在恒力作用下速率无限增大,仅
此一点就与狭义相对论格格不久.因此对牛顿
第二定律必须修改,修改后的质点运动方程为
f= dp/dt,其中p=γmu,γ≡(1 -u2/
c2)-1/2.第三,我们来审查牛顿的万有引力理
论.牛顿引力论的一个重要方程是反映引力势
和质量密度ρ的关系的泊松方程Δ2=4πρ,但此方程不具有洛伦兹不变性,因为其解
(r,t)= ρ(r′,t)|r′-r|
表明场点r处t时刻的引力势由空间各点在
同一时刻的质量密度ρ决定,这意味着引力场
以无限速度传播,显然与狭义相对论相悖.因
此,牛顿引力论必须改造.牛顿万有引力定律形
式上与静电库仑定律很相似,既然麦克斯韦能
把库仑静电学推广改造为如此漂亮的麦氏电磁
理论,看来不难把牛顿引力论改造为狭义相对
论框架内的引力理论.然而情况却远非如此简
单.关键在于,万有引力定律与库仑定律虽很相
似,却存在“符号差别”:电荷有正负两种,同性
相斥,异性相吸.质量则只正不负,虽然同性,却
只吸不斥.仿照电磁理论,可以构造一个在狭义
相对论框架内的引力理论,根据这个理论,在引
力场有变化时将出现类似于电磁波的引力波,
而且也以光速传播.不幸的是,由于上述符号差
别,由引力波带走的能量竟是负的.这意味着一
个物质系统在辐射引力波时自身能量不断增
加,从而辐射强度加大,由此又会获得更多能
量.如此循环,必然导致物理上不可接受的后
果.虽然可以通过修改理论来克服这一困难,但
又出现新的困难.事实上,狭义相对论框架内的
引力理论远非一个,但每个理论都有其自身问
题.虽然无法绝对否定在狭义相对
论框架内建
立满意的引力理论的可能性,
爱因斯坦却独辟
蹊径,于1915年成功地创建了革命化的、独立
于狭义相对论的崭新引力理论———广义相对
论.有趣的是,后人在克服狭义相对论框架内的
某种引力理论的困难的努力中,几经修改后得
到的竟然也是与爱因斯坦广义相对论完全一样
的理论!
①收稿日期:1997-06-25;修回日期:1997-11-21有两个重要因素促使爱因斯坦创立广义相
对论,它们是引力的“普适性”(universality)和
马赫原理.我们只介绍前者.引力的“普适性”包
括两层意思:1)任何物体在引力场中都受引力
(电中性的物体在静电场中却不受电力,故电力
无普适性);2)引力场中任何两个物体,不论材
料、构造……如何,只要初始状态(位置、速度)
相同,而且除引力外不受力,它们以后每一时刻
的位置和速度就必然一样,这一结论叫“等效原
理”(理由见后),已被许多越来越精确的实验所
证实,它可以表述为:任意两个质点在引力场中
的同一点有相同的引力加速度.这虽是司空见
惯的结论,但为什么会这样?静电场中的两个
点电荷就不这样.设点电荷电量为q,质量为
m,所在点场强为E,则它所受电场力为f=
qE,它获得的加速度为
a=f/m=(q/m)E (14)
若在同一点放另一点电荷(电量为q′,质量为
m′),则其加速度为a′=(q′/m′)E.a′与a不
等,除非两者的荷质比相同.在对引力作类似讨
论时,不妨也把“荷”与“质”加以区别.质点的
“荷”决定它在引力场中怎样受力,可称为引力
质量,记作mG;质点的“质”则决定它在力的作
用下出现怎样的加速度,可称为惯性质量,记作
mI[即式(14)中的m],仿照上述讨论不难导出
质点在引力场中的引力加速度为a=(mG/
mI)g,其中g是该点的引力场强.如果不同质
点有不同的引力荷质比mG/mI,它们在引力场
中同一点就不能有相同的引力加速度.而无数
实验所验证的等效原理则表明任何质点都有
mG=mI,这就应引起深思.引力的“荷”与“质”
本是两个完全不同的概念,它们为什么相等?
牛顿力学不能回答这个问题.在牛顿力学中,这
是作为实验事实(牛顿理论体系的一个公理)被
承认的.难道mG=mI仅是一种巧合吗?难道
就没有更深刻的原因藏在这个事实的背后吗?
难道一定不存在一个更优美的理论,其中mG
=mI是可用推理证明的吗?对等效原理的思
考,加上马赫原理的启发,促使爱因斯坦创立了
他的广义相对论.
mG=mI的事实等价于初始位置和速度相
同的、除引力外不受力的任何物体在引力场中
都“齐步走”.这实在是十分奇怪的事情.物理学
是研究物理客体运动(演化)规律的学问.物理
客体好比演员.正如演员
的表演不能没有舞台
一样,物理客体的演化也总是在某种舞台(或背
景)上进行的,
这舞台(背景)就是时空.在广义
相对论创立前,人们默认相对论的背景时空是
闵氏时空.闵氏时空是如此简单,以致人们往往
不注意(忘记)它的存在.引力场中的“齐步走”
现象引起了爱因斯坦对时空背景的注意.假如
你看演出时发现演员的头顶突然下降了20
cm,你会认为他蹲下了.然而,假如台上所有演
员的头顶以及桌面、椅面都同时下降20 cm,那
么最大的可能是舞台台面下降所致.类似地,在
引力作用下的“齐步走”现象分明强烈暗示着引
力本身是一种纯时空效应:引力的存在改变了
时空几何.不妨这样猜测:引力可忽略时,时空
是平坦的;引力不可忽略时(例如,在必须考虑
地球或太阳的引力场时),时空变得弯曲,弯曲
情况(即线元,或时空几何)取决于产生引力场
的物质分布.根据这一猜测,引力非常不同于其
他力,它特殊到这样一个程度,以致在四维语言
中它不再是力而是时空的弯曲!于是,除引力
外不受力的质点就应称为自由质点.注意到闵
氏时空中自由质点的世界线必为测地线的结
论,自然进一步假定弯曲时空中自由质点的世
界线也是(该时空的)测地线(自由质点是最简
单的质点,测地线是最简单的世界线,认为自由
质点的世界线是测地线的这一假定非常符合美
学原则).引力的存在不表现为质点受到一个称
为“引力”的四维力,而表现为时空的弯曲.那
么,质点就“白受”引力了吗?当然不,引力使时
空弯曲,从而影响了测地线(不同于平坦时空的
测地线),而只受引力的质点的世界线是测地
线,因此,引力通过改变测地线来改变自由质点
的运动方式[注].以上就是广义相对论最基本的
假定.根据这一假定,可以把mG=mI作为逻
辑结论来推出(现在到了关键的、也可以说是水
到渠成的一步).设两个自由质点有相同的初始
2大 学 物 理 第17卷位置和速度,即它们的世界线相交且在交点处
切矢相等.由于自由质点的世界线为测地线,而
测地线由初始条件(测地线的出发点及在该点
的切矢)唯一决定(小节1.3的定理“一点一矢
定一测”),这两条世界线必然重合.翻译为物理
语言,就是引力场中两个初始状态相同的自由
质点在以后各时刻的状态必然相同,而这正是
mG=mI的等价表述.可见,一旦认识到引力的
实质是时空的弯曲,mG=mI这一长期来无法
解释的实验事实就是十分自然的结论.
上述讨论表明,广义相对论是独立于狭义
相对论框架的物理理论,狭义相对论框架中容
不下广义相对论,容不下引力.反之,
由于广义
相对论允许各种各样的时空,不妨把狭义相对
论看作广义相对论用于闵氏时空的特例.
3.2 爱因斯坦方程
牛顿
力学认为引力场由物质分布产生,由
引力势描述,它与物质分布的联系体现在泊
松方程Δ2=4πρ中.广义相对论对引力的看法
虽与牛顿力学不同,但同样认为引力由物质分
布产生.既然引力是时空弯曲的体现,就应存在
把时空曲率和物质分布联系起来的关系.爱因
斯坦通过几年努力,终于找到这一关系,后来称
为爱因斯坦方程(是广义相对论的另一重要假
设).它可以象征性地表为
“时空曲率”=“物质的质量、动量密度”.
平坦时空的曲率点点为零,于是由上式可
知右边处处为零,即平坦时空中没有物质分布.
物理学是研究物质运动的,没有物质还有物理
吗?实际上,狭义相对论研究各种物体(和场)
的运动及其相互作用,却忽略它们之间的引力
作用,亦即忽略所有这些物质产生的引力场.如
果引力不能忽略,时空就不平坦,就必须用广义
相对论.可见,虽然狭义相对论本身非常严密准
确,它只不过是一个理论模型,一旦用于客体就
必然是近似的.
爱因斯坦方程是张量方程,它包含多个分
量方程,其中一个在引力场足够弱时近似回到
泊松方程.因此牛顿引力论可以看作广义相对
论在弱引力场条件下的近似.用广义相对论进
行计算通常都很复杂,“杀鸡焉用牛刀”,在引力
场足够弱的前提下,对低速问题可放心使用牛
顿力学;对高速问题可放心使用狭义相对论.太
阳系内的引力场在绝大多数情况下是足够弱
的,只有极少数问题(如水星的近日点进动)才
要用到广义相对论.反之,中子星及黑洞附近的
引力场很强(时空弯曲很甚),非用广义相对论
不可.
爱因斯坦方程的第一个精确解是由史瓦西
在方程发表不到一年之内求得的,称为史瓦西
解,其线元在坐标系(t,r,θ,)中的表达式为
ds2=-(1-2M/r)dt2+(1-2M/r)-1dr2+
r2(dθ2+sin2θd2) (取引力常数G=1),
其中M为常数.这是一个静态球对称解,描述
球对称恒星外部的时空几何(M代表恒星质
量),把它用于太阳以外的时空,对讨论水星近
日点进动、星光在太阳附近的弯折以及球对称
星体的引力红移等问题都有重要作用.爱因斯
坦方程的另一精确解是描述我们的宇宙的解.
它有三种可能模式,最简单的一种的线元在坐
标系(t,x,y,z)中的表达式为
ds2=-dt2+a2(t)(dx2+dy2+dz2)
其中a(t)称为宇宙的尺度因子,是t的常增函
数,表明在这一模式中宇宙不断(永远)膨胀.
3.3 等效原理
由牛顿力学可得如下结论.设电梯因缆绳
断裂而自由下落,其内部的观者便有失重感.如
果他放开手中的
苹果,便会发现它不像平常那
样离手下落,而是处于随遇平衡之中.理由很简
单:电梯观者G相对于惯性系(地球)有重力加
速度g,为非惯性观者,故他认为苹果受两个
力
,一是重力mGg(mG是苹果的引力质量),
二是惯性力-mIg(mI是苹果的惯性质量).由
于mG=mI(这是关键),合力为零,因而随遇平
衡,或说处于失重状态.假如他是宇航员,将觉
得这苹果与远离各星球(因而引力可忽略)的作
惯性运动的飞船内的苹果有相同表现.推而广
之,由于mG=mI,根据牛顿力学,自由下落电
梯中的一切力学实验都与远离星球的惯性飞船
内的相应实验结果相同.因此把mG=mI称为
3第7期 梁灿彬:相对论的几何表述等效原理.以上是牛顿力学的结论.爱因斯坦在
创立广义相对论的初期,曾把等效原理作了假
设性的推广:自由下落电梯中的一切物理实验
都与远离星球的惯性飞船内的实验等效.后人
称此为爱因斯坦等效原理,而把mG=mI改称
为弱等效原理.此外还有一个强等效原理(略).
爱因斯坦等效原理对广义相对论的创立起过重
要作用.然而,在有了广义相对论后,人们发现
爱因斯坦等效原理可从广义相对论的基本假设
推出.因此有些广义相对论高手把等效原理戏
称为“广义相对论的接生婆”,并建议“在广义相
对论这个新生婴儿诞生后把她体面地埋葬
掉”[7].不过,直接应用等效原理可以方便地解
决许多问题,因而应该承认它很有用.此外,等
效原理在用实验判断各种引力理论的正确性中
有重要作用(除牛顿引力论和广义相对论外,还
有很多引力理论,其中个别理论与广义相对论
有很强的竞争力).
弱等效原理还可有另一表述.仍用牛顿力
学讨论.设飞船在远离星体的空间中作匀加速
运动,船内观者(加速观者)将看到苹果在惯性
力作用下作反向匀加速运动,就像在地球附近
那样.不难相信,船内的一切力学实验都与地面
附近的对应实验结果相同.据此,人们常说“加
速飞船内的宇航员发现自己置身于引力场中”,
“加速度与引力场等效”.对这两句话应有正确
理解.根据第一句话,思维清晰的初学者常提出
这样的问题:既然加速飞船中的宇航员感到有
引力,而引力就是时空曲率,船内宇航员岂非觉
得自己置身于弯曲时空中?答案是否定的:既
然早已约定飞船远离星体,它所在的时空必然
平坦,谁看都一样.导致以上错误结论的关键在
于推理过程中两次用到引力一词,而两次含义
不同,加速宇航员所感到的“引力”其实只是非
真实的表观引力,它不由物质产生,不对应于时
空弯曲,只因加速宇航员的感觉得名.类似地,
也不能把
“自由下落电梯观者发现引力消失”理
解为自由下落观者测得的时空曲率为零.时空
曲率是张量,是纯几何的,不会在某些坐标系中
非零而在某些坐标系中为零.然而,曲率的效应
需要足够的时空范围来显
示,电梯观者只观察
附近的时空范围,因而觉察不出曲率的效应.这
与以下的简单例子类似:二维球面上每点的曲
率张量都不为零,但若只关心球面某点附近一
小片球面ΔS的情况,就可用其切平面的一小
部分ΔS近似代替(图28).例如,为测量两根经
线在北极的夹角可把每根经线的一小段看作直
线.总之,谈及等效原理时必须分清与时空弯曲
对应的真实引力和由观者加速运动造成的表观
引力.著名相对论学家Synge在他的书[7]中对
此作过充分强调.下面是该书序言的一段译文:
图28
在爱因斯坦的理论中,
要么存在引力场,要么不存
在,取决于黎曼张量是否为
零.这是一个绝对的性质,
与任何观者的世界线都毫
无关系.时空要么平坦,要
么弯曲,在本书的若干地方
我都不得不煞费苦心地把由时空曲率导致的真
实引力效应与那些由观者世界线的弯曲导致的
效应区分开来(在多数通常情况下以后者
为主).
希望Synge所煞费的苦心没有白费,希望
有更多读者从此对分清真假引力的重要性留下
深刻印象.下一小节是对此的一个检验.
3.4 双子佯谬和爱因斯坦转盘问题都是纯狭
义相对论问题
广义相对论于1915年问世后,由于种种原
因,经历了半个世纪的“冬眠期”,进展缓慢.大
约从60年代开始,不断进步的天文观测手段发
现的“奇特”天体现象迫切需要广义相对论加以
解释,霍金等人以“出奇兵建奇功”的态势引入
近代微分几何使广义相对论在理论上得到了长
足发展.用近代微分几何语言对广义(和狭义)
相对论的理解和阐述比60年代前的讲解要精
辟、深入、准确得多.然而,不少物理工作者难下
决心花出足够时间学习近代微分几何,国际上
用近代微分几何讲述广义(和狭义)相对论的优
秀论著又使一般读者望而却步,因而许多广义
相对论书籍和文章基本上还是老讲法.两种讲
4大 学 物 理 第17卷法的一个差别是老讲法偏重于坐标系而新讲法
偏重于时空几何.广义相对论和狭义相对论的
划界问题就是一个表现.在老讲法中,只要涉及
非惯性坐标系的问题都属于广义相对论.在新
讲法中,狭义与广义相对论的分野在于时空几
何:只要背景是闵氏时空,不论物理客体是否作
加速运动,也不管使用什么坐标系,一律属于狭
义相对论范畴.只有弯曲时空的问题才属于广
义相
对论.可以说,狭义相对论物理学是研究闵
氏时空中物理客体演化规律的学问,而广义相
对论物理学则是研究弯曲时空中物理客体演化
规律的学问.划界标准虽无对错之分,却有是否
更能反映本质之别.据笔者所知,当今国际相对
论有识之士都用时
空几何划界.讨论相对论问
题时首先要明确约定时空几何是平坦抑或弯
曲.在双子佯谬中,通常默认地球引力可以忽
略,因此是闵氏(平坦)时空(原则上也可讨论弯
曲时空的双子问题,但似无太多新意).无论使
用什么坐标系都不会改变这一时空几何.有人
喜欢使用与加速运动的兄弟相联系的加速坐标
系,再根据等效原理认为在该系中存在引力场,
然后根据“涉及引力就要用广义相对论”得出结
论说双子佯谬的分析非用广义相对论不可.这
一推理的问题出在“引力场”的一词多义上:加
速系中存在的“引力场”只是表观引力场,而必
须用广义相对论处理的引力场却是真实的、由
物质分布按爱因斯坦方程产生的引力场!这正
是不注意时空几何的结果.由此也可见Synge
书中的那段话(见小节3.3末)的语重心长.还
有人走得更远,由“加速系中有引力场”进而声
称时空是弯曲的,从而得出非用广义相对论不
可的结论.这无疑是自陷怪圈,从平坦时空出发
三转两转竟然转出个弯曲时空来.以上讨论说
明事先明确约定时空几何的十分必要性.退一
步说,即使采用老的划界标准,双子佯谬也完全
可用狭义相对论解决,因为问题的实质无非是
比较图22中甲、乙两条世界线的线长,而为此
只须用到甲所在的惯性坐标系而根本不涉及非
惯性系.
与双子佯谬类似,根据新的划界标准,爱因
斯坦转盘问题也是纯狭义相对论问题,因为事
先早已约定爱因斯坦转盘是闵氏时空中的转
盘,但转盘问题远比双子问题复杂,从略.
结束语 什么是相对论的几何语言?为什么要
用几何语言?
在变化纷繁的研究对象中抓住不变的东西
是相对论学家从数学家学来的高招.在相对论
中,凡与观者、参考系、坐标系以及一切人为因
素无关的对象称为绝对的,否则称为相对的.例
如,事件是绝对的,事件的时、空坐标是相对的;
细尺的世界面是绝对的,每个惯性系测得的“某
时刻的细尺”是相对的;时空是绝对的,空间和
时间是相对的;等等.一个绝对对象在不同参考
系中成了不同的相对对象,在注意到它们的区
别的同时,应特别注意它们所描述的是同一对
象(“万变不离其宗”).如果只看见对象在坐标
变换时变来变去,却抓不住万变所不离的“宗”,
就有可能“找不着北”,乱了阵脚.考虑如下四维
时空的线元:
ds2=-t-
4dt2+dx2+dy2+dz2(15)
有人一看就认定它代表弯曲时空,殊不知一个
简单的坐标变换t′=t-1,x′=x,y′=y,z′=
z就把它变为ds2=-(dt′)2+dx2+dy2+
dz2,这是闵氏线元在惯性坐标系(t′,x,y,z)
的形式,可见式(15)无非是闵氏线元在非惯性
系(t,x,y,z)的表现.如果愿意,可选非惯性坐
标把闵氏线元的表达式变得
要多离奇有多离
奇.线元本身是绝对的,其坐标表达式却是相对
的.不妨把线元比喻为人,把它在不同系的不同
表达式比喻为他穿着不同的衣服,误把闵氏线
元的非惯性系表式当作弯曲线元就无异于“只
重衣冠不认人”.遗憾的是这种错误屡见不鲜.
上述例子说明坐标语言有时会遮盖研究对象的
绝对性质.“不识对象真面目,只缘身在某系
中.”这与几何学类似.在解析几何中,设x,y
是直角坐标,则方程x2+y2=R2(常数)代表
圆.但通过坐标变换可把上式变得使你认不出
它代表圆.要突出圆的绝对性可改用不借助坐
标系的纯几何语言:圆是与定点距离相等的动
点的轨迹.不妨把这种(非解析)几何学的语言
5第7期 梁灿彬:相对论的几何表述称为纯几何语言.以上阐明了几何语言的优越
性,但并不否认坐标语言具有便于表达和计算
等等好处.又因为相对论中的三维看法总是借
助某参考系看四维时空的产物(是借某参考系
对时空进行“1+3分解”的结果),天生就是相
对的,所以直接涉及绝对对象的语言只能是四
维几何语言.通常就称为相对论的几何语言.
注 狭义相对论的质点运动方程f=dp/dt的四维形式
是F=dP/dτ,其中,τ、P和F分别是质点的固有时、四维动量
和所受的四维力.例如,若质点带电并处于电磁场中,则F是
四维洛伦兹力.按照把引力纳入狭义相对论框架的最初企图,
质点所受的引力也应体现为一个四维力.然而在广义相对论
中就不这样,它认为只受引力的质点所受的四维力为零.引力
只表现为时空的弯曲.弯曲时空的求导方式与平坦时空有别,
须要使用协变导数.弯曲时空的质点运动方程是0=DP/dτ,
右边表示四维动量对固有时的协变导数.可见引力不以四维
力的形式出现,它对质点运动的影响体现在运动方程右边的
求导中.事实上,DP/dτ=0正是弯曲时空的测地线方程,可见
自由质点的世界线是弯曲时空中的测地线.
4 参考文献
1 Geroch R. General relativity from A to B. Chicago: The
University of Chicago Press, 1978. 123~133
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J. Math. Phys, 1993,34(3):1 016
9 Synge L. Relativity, the general theory. Amsterdam: North
-Holland Publishing Company, 1960. IX页(在序言)
GEOMETRIC FORMULATION OF THE THEORY OF RELATIVITY
Liang Canbin
(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing, 100875, China)
Abstract The fundamentals of differential geometry is introduced in popular language. The
effects of“contraction of a rod”and“slowing down of a clock”, as well as the twin paradox are
analyzed in detail using geometric language. Some misunderstandings involved are clarified. The
fundamentals of the general theory of relativity is also introduced briefly, emphasizing the reason why
gravity is the curvature of the spacetime. Some misunderstanding point relative to the principle of
equivalence is also clarified. The line of demarcation between the special and general theories of
relativity is given, and it is pointed out clearly that the twin paradox is within the scope of special
relativity.
Key words special relativity; general relativity; Minkowski spacetime; curved spacetime; effect
of“slowing down of a clock”; twin paradox
6大 学 物 理 第17卷