高等传热学课件对流换热-第6章-1

第六章 高速流动对流换热
在前面几章介绍的强制对流换热中， 我们假设速度和速度梯度充 分小，以致动能和粘性耗散的影响可以忽略不计。现在考虑高速和粘 性耗散的影响。我们主要介绍有更多重要应用的外部边界层。
6.1 高速流对流换热基本概念
高速对流主要涉及以下两类现象： z 从机械能向热能的转换，导致流体中的温度发生变化； z 由于温度变化使流体的物性发生变化。 空气一类气体若具有极高的速度，将会导致超高温离解、质量浓 度梯度，并因此发生质量扩散，使问题变得更加复杂。这里仅限于关 注未发生化学反应的边界层；对空气来说，这意味着我们将不考虑温

度超过 2000K 或者马赫数高于 5 的情况。对液体，如果普朗特数足 够高的话，粘性耗散实际上在中等速度时就具有很可观的作用。 我们的讨论仅限于普朗特数接近于 1 的气体。 有关高速对流的研究大都涉及对机械能转换和流体物性随温度 变化两个因素的总体考虑，很难看到它们单独的影响。这里，我们暂 不考虑变物性的影响，首先讨论能量转换问题。 能量转换过程能可逆地发生，也能不可逆地发生。比如，在边界 层内，激波与粘性的相互作用使得机械能与热能间的不可逆转换增 大，无粘性的速度变化（比如在接近亚音速滞止点附近流体的减速） 则产生可逆的，或者非常接近可逆的能量转换。高速边界层滞止点的 比较能很好地说明这两种情况的明显区别。 z 在滞止点（图 6-1）处速度降低，边界层以外的压力和温度提高。 对于亚音速流动， 该过程几乎是等熵的， 流体粘度不起什么作用。 无论减速可逆还是不可

逆，滞止区边界层以外的流体 温度等于滞止温度， 也就是说， 流体温升来自于绝热减速：
? T∞
V2 = T∞ + 2c
（6.1.1）
V
若不考虑变物性影响，并
* 用 T∞ 代替 T∞ ， 低速滞止点的解
也能适用于高速滞止点问题：
? qw = h (Tw ? T∞ )
图 6-1 滞止点的流动
（6.1.2）
z 但高速边界层问题有所不同。 如果自由速度很高， 边界层以内速 度梯度很大， 边界层内因粘性切应力产生粘性耗散。 如果物体是 绝热的，那么耗散产生的热量可以靠分子或者涡漩传导的机理， 从靠近表面的向边界层外传递出去， 如图 6-2 所示。 稳态条件下， 在粘性耗散和热传导之间存在一种平衡状态， 导致图 6-2 所示的 温度分布。此条件下的表面温度就等于绝热壁面温度 Taw 。

 W
Φ
T∞
u∞
Taw
图 6-2 高速边界层中的速度剖面和绝热壁面温度剖面
z 热量究竟是传向壁面还是从壁面传出来取决于表面温度高于还 是低于绝热壁面温度 Taw 。 z 流体的普朗特数也和绝热壁面温度有一定关系。 普朗特数是粘度 （决定能量耗散） 与热扩散率 （与热量从边界层中逃逸的机理相 关）之比。高普朗特数将导致高的绝热壁面温度。

6.2 滞止焓方程
考虑 Pr 数近似等于 1 的气体的高速流动边界层问题。忽略体积 力所做功、内热源和质量浓度梯度，引进滞止焓 i * 、理想气体焓与温 度的关系式，以及切应力与粘性系数之间的关系式：
di = cdT ( c是比定压热容) ?u τ yx = μ ?y
对层流边界层，在普朗特数等于或接近等于 1 的时候，从一般形 式的能量方程可推导出以滞止焓为独立变量的能量方程。
1 i? = i + u 2 2
?i? ?i? ? ? k ?i ? ? ? ?u ? + ρυ = ? + ? uμ ? ρu ? ?x ?y ?y ? c ?y ? ?y ? ?y ?
（6.2.1）

?i? ?i ?u 由 = + u ，求解 ?i / ?y 并代入上式，移项并引入普朗特 ?y ?y ?y
数的定义后得出层流边界层的滞止焓能量方程：
1 2 ? ? ? ( u )? ?i ?i ? ? λ ?i ? ? ? ? 1 ? 2 （6.2.2） = ? ρ u + ρυ ? + ? μ ?1 ? ? ? ?x ?y ?y ? c ?y ? ?y ? Pr ? ?y ? ? ? ?
? ? *
对湍流边界层，也可以用一样的思路推导。忽略体积力和源项， 代入分子热流密度和切应力得出： 1 2 ? ? ? ? * ? ? ( u ) ? ?i ?i ? λ ?i ? 1 ? 2 ? ρu + ρυ = ? ? ρυ ′i′ ? + ? ? ′ ′ 1 u u μ ρ υ ? ? ? ? ? ?y ? ? c y ?x ?y ?y ? ? Pr ?y ? ? ? ? ? ? ? ? （6.2.3） 关于湍流的各种涡漩扩散率模型可用于上式。

首先，利用时均场封闭性重写湍流热流通量和雷诺应力：
? ?1 2?? ? u ?? ? ? ? ? i λt ? i λ t ? i 2 ? = = ? ? ? ρυ ′i ′ = ρ at ? ?y c ?y c ? ?y ?y ? ? ? ? ?
?1 ? ?? u2 ? 2 ? ? ρ u ′υ ′u = ρν t ? = μt ?y
?1 ? ?? u2 ? ?2 ? ?y
然后，引进有效粘度、有效导热系数和有效普朗特数的定义：
μeff = μ + μt = μ + ρν t λeff = λ + λt = λ + ρ cat
Preff =
λ eff
μeff
1 + ν t /ν = / c 1/ Pr + (ν t /ν ) / Prt

得到湍流边界层的滞止焓方程为：
? ? ?i ?i ? ? λeff ?i ? ? ? 1 + ρυ = ? ρu ? + ? μeff ? 1 ? ? ?x ?y ?y ? ? Preff ? c ?y ? ?y ? ?
? ? *
1 2 ? ? ( ? 2 u ) ? （6.2.4） ? ? ? y ? ? ?
根据式（6.2.2）或式（6.2.4）的解，就可由下式（对于湍流，用 时均量代替层流的量）求出表面上的热流密度 qw ： ? ?T ? qw = ? ? λ ? ? ?y ? w 在壁面处，有：
? ?i* ? ? ?i ? ? di ?T ? ? ?T ? = ?c ? ? =? ? =? ? ? ? y ? y d T ? y ? y ?w ? ?w ? ?w ? ?w ?
于是，得到根据滞止焓确定表面热流的关系式：
? λ ?i * ? qw = ? ? ? y ? c ? ?w
（6.2.5）

z 如果比热容并非常数（对高速流往往如此） ，以焓为变量的能 量方程会比较便于应用和表达。 z 在利用上述滞止焓方程式，定义一个焓传导系数 gi 作为对流 换热系数 h 的替代量会很方便。
? λ ?i* ? ?? ? ?( λ / c ) ?i* / ?y ? c y ? ? ?w ? ?w gi = = ? ? ? ? iw i∞ ? i∞ ? iw
于是，表面热流密度的计算式可改写为：
? ? qw = gi iw ? i∞
（6.2.6）
(
)
（6.2.7）
如果速度低 （ i* = i ） 、 且比热容 c 为常数， 那么， 焓传导系数 gi 与 流换热系数 h 之间存在简单的关系：
gi = h / c
（6.2.8）

6.3 高速流边界层对流换热
一、 Pr = 1流体的高速流边界层
通过应用层流边界层的滞止焓方程（6.2.2）式，来考察 Pr = 1流 体的高速边界层的一些特征。 定义滞止温度 T ? ：
2 u T? = T + 2c
对于 Pr = 1 和 c 等于常数的情况，层流边界层的滞止焓方程 （6.2.2）式变成：
? ?T ? ?T ? ? ? ? ?T ? ? +υ ρ c ?u ? ? = ?λ x y y y ? ? ? ? ? ? ? ?
（6.3.1）
在 Pr = 1 和 c 等于常数的情况下， μ 和 λ 仍可随温度变化，对大 多数气体来说，可以假设它们具有相同的温度函数（如萨瑟兰公式） 。

上式与针对低速边界层对流换热的能量方程形式相同，因此，在
Pr = 1的条件下，只要在解中用 T * 替代 T ，则低速层流边界层解的表
达式即可适用于高速层流边界层换热。 如果假设 Prt = 1、Pr = 1 ，那么对湍流边界层也可以得出和层流 边界层同样的结论。 z 注意：除了静态温度分布会影响流体物性以外，高速流动量方 程并不受粘性耗散的影响。 对恒壁温低速边界层，其求解的边界条件为：
x = 0 ： u = u∞ 、 T = T∞ ；
y = 0 ： u = υ = 0 、 T = Tw ；
y → ∞ ： u = u∞ 、 T = T∞ 。

当用 T * 替代 T 时， 恒温平板的高速绕流层流边界层的滞止温度形 式能量方程（6.3.1）式的边界条件为：
? x = 0 ： u = u∞ 、 T ? = T∞ ； ? y = 0 ： u = υ = 0 、 T ? = Tw ；
? y → ∞ ： u = u∞ 、 T ? = T∞ 。
低速边界层问题的解最终表示为局部对流换热系数 h ：
? ?T ? = h ( Tw ? T∞ ) qw = ? λ ? ? ? ?y ? w
对高速边界层，在 y = 0 处 u = 0 ，有 ( ?T */ ?y ) w = ( ?T / ?y ) w 、
Ts* = Ts ，所以
? ?T ? ? ? = ? qw = ? λ ? h T T w ∞ ? ? ?y ? w
(
)
（6.3.2）

该式表明， 如果在对流速率方程中用自由流滞止温度代替自由流 温度，就能够算出 Pr = 1时表面上的热流密度；而这正是高速粘性耗 散的主要影响。令上式中的 qw = 0 ，即可计算出 Pr = 1情况下的绝热 壁面温度：
? h Tw ? T∞ ＝0 ?
(
)
qs
T?
? T∞
2 u∞ ? Taw＝Tw＝T∞ = T∞ + （6.3.3） 2c q ＝0
根据这些结果可画 出边界层中的温度分 布，如图 6-3 所示。因 为所有气体的普朗特数 都接近 1，所以实际气 体的情况不会与上述结 果有重大的差别。
s
qs T
T∞
图 6.3 P r = 1 的高速边界层中温度分布

二、 Pr ≠ 1时恒物性流体的高速流层流边界层换热
现在我们考虑绕流平板的层流高速边界层， T∞ 和 u∞ 等于常数但
Pr ≠ 1。这样，我们能更清楚地看到粘性耗散的影响以及 Pr 数所起
的作用，首先考虑流体物性恒定的情况。 其连续方程、动量方程与相应低速流问题中的一样，但能量方程 中包含粘性耗散项。于是，该问题适用的微分方程为：
?u ?υ + =0 ?x ?y
?u ?υ ? 2u u +υ =ν 2 ?x ?y ?y ?u ?υ ? 2T aPr ? ?u ? =a 2 + u +υ ? ?x ?y ? c ? y ?y ? ?
2
（6.3.3） （6.3.4）
（6.3.5）

因为连续方程和动量方程与低速边界层时相同， 且速度边界条件 也相同，所以显然存在速度场的相似解。 对能量方程，需要重新寻求相似解，可采用和求解动量方程时一 样的相似变量η = y
u∞ 。如果假设： f = f (η ) 、T = T (η ) ，而且 νx
u=
?ψ ?ψ ，υ = ? ，ψ = ν xu∞ f ?x ?y
2 u∞ 1 T ′′ + Pr f "2 + Pr f T ′ = 0 2 c
这样，能量微分方程(6.3.5）式就变成了常微分方程： （6.3.6）
定义一个独立变量: Θ (η ) =
T ? T∞ ，上式可变为： 2 u∞ / 2c
（6.3.7）
1 Θ′′ + Pr f Θ′ + 2 Pr f " = 0 2

我们首要关心的是绝热壁面情况， 即 qs = 0 时相似方程式 （6.3.7） 的特解，用 Θaw 。那么，绝热壁面情况下，上式的边界条件是：
Θ ( ∞ ) = 0 ， Θ′ ( 0 ) = 0
由式（6.3.7）可积分得到绝热壁面条件的表面温度：
1/ 2 ? η1 ? exp P 2 " f d η P f dη ( ) ? ∫0 ? r r ∞ ∫0 ? 2 ? Θaw (0) = ∫ dη 0 η 1 ? ? exp ? ∫ Pr f dη ? ? 02 ?
η
（6.3.8）
针对不同 Pr 数，利用 Blasius 相似解中的 f (η ) 值，可得到上式 的数值积分。其结果是 Pr 数的函数，当 Pr 位于 0.5～10 之间时，可 用下式近似地表示：
Θaw (0) ≈ Pr1/ 2
（6.3.8）

通常认为，Θaw (0) 被就是恢复系数 rc 。绝热壁面温度 Taw 可以从 下式得出：
2 u∞ = T∞ + rc 2c
Taw
（6.3.9）
这里， rc ≈ Pr1/ 2 。当 Pr = 1时 rc = 1，上式就简化为式（6.3.3） 。 上面，我们已经得出了一个特解 Θaw ，但它仅给出了壁面上没有 传热时的温度场。如果我们求出相似方程式（6.3.7）齐次部分的一个 通解，就能够推导出它的完整解。 在低速边界层相似解中：
1 2 对θ (η ) ，有θ (0) = 0 和θ ( ∞ ) = 1两个边界条件，我们已得到了一个通
θ ′′ + Pr f θ ′ = 0
解。于是式相似方程式（6.3.7）的完整解为：

Θ = Θaw + C1θ + C2
将该式代入式（6.3.7）即可得到证明。 下面确定系数。根据边界条件：
（6.3.10）
Θ(∞ ) = 0 ，
Tw ? T∞ Θ(0) = 2 u∞ / 2c
由第一项边界条件，得出： C1 = ?C2
Ts ? T∞ ? Θaw (0) 由第一项边界条件，得出： C2 = 2 u∞ / 2c
于是，定壁温下，高速流层流边界层的解为：
? Tw ? T∞ Taw ? T∞ ? T ? T∞ Θ= 2 = Θaw + ? 2 ? 2 ? (1 ? θ ) （6.3.11） u∞ / 2c u∞ / 2c ? ? u∞ / 2c
2 u∞ T ? T∞ = Θaw + ( Tw ? Taw ) (1 ? θ ) 2c
（6.3.12）

根据温度分布，可计算壁面对气流的加热热流密度 qw 。由上式 导出温度梯度：
2 ? ?T ? ? ?θ ? ?T ?Θaw u∞ ?θ ? ? ? = 0 ? (Tw ? Taw ) ? ? = ? (Tw ? Taw ) ?y ?y 2c ?y ? ?y ?w ? ?y ? y =0
于是有：
? ?T ? θ ′(η = 0) λ qw = ? λ ? = ( T ? T ) w aw ? ? y ν x / u∞ ? ?w
由低速流层流边界层相似解，
∞ η 1 ? ? θ ′ ( 0 ) = ? ∫ exp( ? Pr ∫ ζ dη ) ? 0 2 ? 0 ? ?1
≈ 0.332 Pr 1/ 3
于是，壁面对气流的加热热流密度 qw 为：
0.332 Pr1/ 3 qw = λ (Tw ? Taw ) ν x / u∞
（6.3.13）

对于高速边界层，定义一个建立在表面温度和绝热壁面温度之 差基础上的对流换热系数 h 。令：
qw = h (Tw ? Taw )
则高速流层流边界层的对流换热系数计算关系式为：
（6.3.14）
0.332 Pr1/ 3 h=λ ν x / u∞
或
2 Nux = 0.332Pr1/3 Re1/ x
（6.3.15）
（6.3.16）
该结果与低速流边界层对流换热问题的结果形式上完全一样， 只是定义对流换热系数的温差不同。 实际上，在常物性假设下，如果将对流换热系数定义式中的主 流温度 T∞ 替换为 Taw ，那么低速流强制对流边界层的对流换热系数关 系式（层流、湍流） ，也可适用于高速流边界层对流换热。