九年级数学中考冲刺资料

第一讲 全国数学联赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ）

（Ａ）bc ab >

（Ｂ）c b b a +>+ （Ｃ）c b b a ->-

（Ｄ）

c

b c a > 2、如果方程()0012

>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）

（Ａ）2 （Ｂ）4 （Ｃ）3 （Ｄ）5

3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）

（Ａ）12 （Ｂ）14 （Ｃ）16 （Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且

p b

a

c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二

（Ｂ）二、三

（Ｃ）三、四

（Ｄ）一、四

5、如果不等式组??

?<-≥-0

80

9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、

b ）共有（ ）

（Ａ）17个

（Ｂ）64个

（Ｃ）72个

（Ｄ）81个

二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2

x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程(

)

015132832

2

2

2

=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。

10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。

第二讲全国初中数学联合竞赛试卷二

第一试（4月4日上午8:30--9:30）

考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组

的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，

点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。

（A）0；（B）1；

（C）2；（D）不小于3的整数。

6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若

是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。

1、已知且，则＝________。

2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交

BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的

最小角等于________。

3、已知为整数，且满足，则＝________。

4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，

且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

第二试（4月4日上午10:00--11:30）

考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。

一、（本题满分20分）

某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分，题、题满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？

A

B C D

E

F

K 二、（本题满分25分）

如图，设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC 。已知圆过点C 且与AC 相交于F ，与AN 相切于AB 的中点G 。求证：AD⊥BF。

三、（本题满分25分） 已知

为整数，方程

的两根都大于－1且小于0，求

和

的值。

第三讲 219年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题

（2007年4月1月 下午1∶00－3∶00）

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．若x 3＋x 2＋x ＋1＝0，则x －27

＋x

－26

＋…＋x －

1＋1＋x ＋…＋x 26＋x 27的值是 （ ）

（A ）1

（B ）0 （C ）－1 （D ）2

2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A

与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB ＝14cm ，BC ＝12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则

点A 与⊙K 的距离为（ ） (A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm

A

B C

D

3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．

如果令a i ，j ＝???1，第i 号同学同意第j 号同学当选，2，第i 号同学不同意第j 号同学当选．

其中i ＝1，2，…，50；j ＝1，2，…，50．则同时同

意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ） （A ）a 1,1＋a 1,2＋…＋a 1,50＋a 50,1＋a 50,2＋…＋a 50,50 （B ）a 1,1＋a 2,1＋…＋a 50,1＋a 1,50＋a 2,50＋…＋a 50,50 （C ）a 1,1a 1,50＋a 2,1a 2,50＋…＋a 50,1a 50,50 （D ）a 1,1a 50,1＋a 1,2a 50,2＋…＋a 1,50a 50,50

4．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c

a ＋

b ＝t ，则一次函数y ＝tx ＋t 2的图象必定经过的象限是 （ ）

（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限

5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有 （ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝62那么AC 的长等于 （ ） （A ）12 （B ）16 （C ）43

（D ）8 2

二、填空题（共6小题，每小题6分，共满分36分） 7．函数y ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x ＋3|，当x ＝___________时，y 最小值等于___________．

8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为__________．

9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ， ∠A ＝60o，则AD 的长为___________cm ．

10．设x 1，x 2，x 3，…，x 2007为实数，且满足x 1x 2x 3…x 2007＝x 1－x 2x 3…x 2007＝x 1x 2－x 3…x 2007＝…＝x 1x 23…x 2006－x 2007＝1，则x 2000的值是__________．

11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B

→C →D →E →F →A →…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

12．正整数M 的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第

一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于___________．

A B C

D E F G P Q

M N 13．（本题满分12分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点

为B （0，4），且ac ＝b ．

（1）求该二次函数的解析表达式；

（2）将一次函数y ＝－3x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一

个交点为C ，求△ABC 的面积．

14．（本题满分12分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、

AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．

15．（本题满分14分）2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为P 1，P 2，P 3，…，P 2007．小明

用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．

A B C

D E F G

A

B

C

P

第四讲 2020年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（每小题5分，共30分） 1、设a ＜b ＜0，a 2

＋b 2

＝4ab ，则

b a b

a -+的值为（ ） A 、3 B 、6 C 、2

D 、3

2、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2

－ab －bc －ca 的值为( )

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 3、如图，点

E 、

F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点

G ，则

ABCD

AGCD S S 矩形四边形等于( )

A 、

65

B 、

54

C 、4

3

D 、3

2

4、设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2

－2a ＋3

π，则x 、y 、z 中至少有一个值( )

A 、大于0

B 、等于0

C 、不大于0

D 、小于0

5、设关于x 的方程ax 2

＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是( )

A 、7

2

-

＜a ＜52 B 、a ＞52

C 、a ＜7

2

-

D 、11

2

-

＜a ＜0 6、A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )

A 、22b a +

B 、22b ab a ++

C 、

()b a +2

1

D 、a ＋b

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2

＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。

8、已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。

9、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600

，点P 是△ABC 内的一点，使得 ∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。

10、如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OA 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切

或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2

。

11、满足(n 2－n －1)n ＋2

＝1的整数n 有 个。 12、某商品的标价比成本高p%不得超过d%，则d 可以用p 表示为 。

三、解答题（每小题20分，共60分） 13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，522

天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，7

6

2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承

包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。

(1)求证：EC

AC ED QD =（2）求证：22

CE AC PE CP =

A

B

C

D E

F

P

Q

第五讲

2019年长沙市长郡中学高中实验班招生考试数学试题

2019年湘郡中学红色之旅文化素质测试

数学试题 2005.6.25

时量：150分钟 总分：150分

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分

一．选择题（每小题4分，共20分。每小题A 、B 、C 、D 四个选项中有且只有一个正确，请将你认为正

确的答案填入相应的括号内） 1．下面给出三个命题： ①若x 2=2004×2006+1，则x =2005； ②若x 2≠y 2，则x ≠y ；

③方程111x x -+=g 的解是2x =±.

其中正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

2．公园里准备修五条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个 3．若抛物线y=x 2+bx+c 的顶点在第二象限，则函数y=bx+c 的图象是（ ）

4．如图，△ABC 的面积是1，若AD=DE=EC ，BF=FG=GC ，则阴影部分的面积是（ ） A ．

19 B ．

18

C ．17

D ．16

5．若c >1>b >a ，且a 2-b 2-c 2+bc+b+c -1=0，则（ ） A ．a+b >c B ．a+b c

二．填空题（每小题5分，共40分。请将你认为正确的答案填入相应的横线上）

6．分解因式：x 2+4x+3-y 2-2y =

7．若32x =-，则3

3

1

x x +

= . 8．一本书的页号为1至n ，在把这本书的各页号累加起来的时候，有一个页号被错误地多加了一次。若所得到的错误的和数为2005，则这个被多加一次的页号是 .

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC延长线上一点，且AD=BC，E为BD的中点，若AE⊥CE，则∠BAC的度数是.

10．已知非负实数x、y、z满足：

123

234

x y z

---

==，记A=5x+6y+7z，则A的最小值为.

11．一次竞选中，某候选人在国内安排了竞选旅行，我们不妨设他乘飞机。第一天他到正东方某地。第二天接着向正北方向飞到某地。第三天接着向正西方向飞到某地，第四天接着向正南方向飞到某地，第

五天接着又向正东方向飞到某地，……，如果第n天他飞行路程为

2

2

n

英里，那么从他的出发点到完

成第40天旅行的终点有英里.

12．设凸四边形ABCD外切于⊙O，且AB=2，BC=3，CD=4，则OA·OC+OB·OD= . 13．已知乘积1×2×3×4×…×33×34是一个三十九位的整数：295 232 799 039 604 14c d47 618 609 643 5ab 000 000，则由数字a、b、c、d组成的四位数abcd= .

三．（本题满分10分）

已知：x2+y2+z2=2，且x+y+z=xy+2. 试求实数x、y、z的值.

四．（本题满分10分）

如图，M为四边形ABCD内一点，N为四边形ABCD外一点，△ABM和△CDM都是等腰三角形，且顶角∠AMB=∠CMD=120°. 若△AND是等边三角形，求证：△BCN是等边三角形.

已知二次函数f(x)=ax2-bx+c的图象经过点(1, 2), (3, 6). 问：正整数a、b、c分别取何值时，函数f(x)的最小值最大？

六．（本题满分20分）

已知一个长方体由若干个同样的小正方体块砌成，这个长方体的过同一顶点的三个面上涂有红色. 如果涂有红色的小正方体块与没有涂红色的小正方体块的数目恰好都是正整数n. 试求n的所有可能情况.

七．（本题满分20分）

已知：如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=135°，点N和点M分别在射线AB和AD上，使得∠MCD=∠NCB=90°，外接圆AMN和ABD相交于点A和K. 求证：AK⊥KC.

甲、乙两兄弟分100枚硬币. 分法如下：每次由甲取一把硬币，并如实说出是多少枚，然后由乙决定这一把归谁，这样继续下去，直到有一个人得9次（或分完）为止，剩下的全部归另一个人. 问甲最多可以保证得到多少枚硬币？

第六讲 2019年全国初中数学联合竞赛试卷

（2002年4月21日8：30—10：30）

一、选择题（本题42分，每小题7分）

1、已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） (A) a

2、若m 2=n+2，n 2=m+2(m ≠n)，则m 3-2mn+n 3的值为（ ）

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a -b+c|+|2a+b|-|2a -则（ ）

(A)M>0 (B)M ＝0

(C)M <0

(D)不能确定M 为正、为负或为0

4、直角三角形ＡBC 的面积为120，且∠BAC=90o，AD 是斜边上的中线，过D 作DE ⊥AB 于E ，连CE

交AD 于F ，则△AFE 的面积为（ ） (A)18 (B)20 (C)22 (D)24 5、圆O 1与O 2圆外切于点A ，两圆的一条外公切线与圆O 1相切于点若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则圆O 1与圆O 2(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3

P

B C 那么k 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知a<0，ab<0，化简，=+----|

3a b ||23b a |1

.

2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一 周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，

若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。

4、设N=23x+92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有 对。 三、（本题满分70分） 1、（本题满分20分）

已知：a ，b ，c 三数满足方程组???

=+-=+48

c 38c ab 8b a 2

，试求方程bx 2+cx -a=0的根。 2、（本题满分25分）

如图，等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意点，过P 作两腰的平行线分别与AB ，AC 相交于Q ，

R 两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC 的外接圆上。

3、（本题满分25分）

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

第七讲

2018年全国初中数学联赛初赛试卷

3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30

学校___________ 考生姓名___________

一、选择题:（每小题7分，共计42分）

1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）

（A）a＞b?a2＞b2; (B)a≠b?a2≠b2;

(C)|a|＞b?a2＞b2; (D)a＞|b|?a2＞b2

2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）

（A）0 (B) 3 (C) 22005(D)3·22005

正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，

则m的值是（）

（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1

5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）

（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个

6、如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）

（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0

二、填空题:（每小题7分，共计28分）

1、已知：x为非零实数，且

11

22

x x-

+= a, 则

2

x1

x

+

=_____________。

2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.

4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1

×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有_ _个。

三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。

B A O E D C

四、（本题满分25分）如图，AB 是⊙o 的直径，AB=d ，过A 作⊙o 的切线并在其上取一点C ，使AC=AB ，

连结OC 叫⊙o 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求AE 的长。

五、（本题满分25分）设x = a+b －c ,y=a+c －b ,z= b+c －a ,其中a 、b 、c 是待定的质数，如果

x

2

=2,试求积abc 的所有可能的值。

第八讲

2019年长沙市湘一实验中学夏令营（B ）

自然科学综合素质测试

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分

小计

提示：本套试题测试时间为120分钟，全卷满分200分，其中数学140分；物理40分；化学20分.

一．填空题（每小题8分，共计80分） 1．已知x <0，11x x -

=-，则331

x x

+的值为 . 2．已知a 、b 、c 、d 均不为零，c 、d 是方程x 2+ax+b =0的根，a 、b 是方程x 2+cx+d =0的根，则a+b+c+d 的值为 .

3．一个凸多边形恰有3个内角是钝角，这个凸多边形的最多边数为 .

4．f (x )=3ax +1-2a 在-1

p c a b

+++===，那么，直线y =px +p 一定通过第 .

7．Rt △ABC 的面积等于120，AD 是斜边上的中线，过D 作DE ⊥AB ， 垂足为E ，CE 交AD 于F ，则△AFE 的面积等于 .

8．若x 可取任意实数，则代数式(x-1)(x -3)(x +2)(x +4)的最小值为 .

9．如图，△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =10cm. 一动点 P 由C 点经B 点，沿CB →BA 边向A 点移动，当P 点移到 BA 边上时，由P 向斜边AC 作垂线，垂足为Q ，PQ 与过C 点且垂直于BC 边的直线l 交于R ，假设P 点移动的距离为

x cm ，△CQP 的面积为y cm 2，则y =f (x )的表达式为 .

10．正方形ABCD 所在平面内有一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形，满足条件

的P 点有 个.

二．（本题共18分）

直角三角形三条边的长均为整数，周长的数值恰与面积的数值相等，求这个直角三角形三边的长度各是多少？ 三．（本题共18分）

已知函数y =x 2-6x +8的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于D 点，过D 作x 轴的平行线交图象于另一点C ，动点P 以每秒2个长度单位的速度从C 点出发，沿CD 方向运动，同时，另一点Q 以每秒1个长度单位的速度从A 点出发，沿AB 方向运动.

⑴经过多长时间，P 、Q 两点间的距离最短？

⑵当四边形PQBC 的面积恰为14面积单位时，求动点P 、Q 所运动的时间. 四．（本题共24分）

已知半径为1的圆O 内有一定点P ，2

2

PO =，AB 为⊙O 内过P 点的任意一条弦，∠AOB =2θ，分别过A 、B 作⊙O 的切线交于C ，设P 到AC 、BC 的距离分别为a 、b .

求证：a 、b 是方程2

2

22sin sin 0x AB x θθ-+=g 的两根.

第九讲

2020年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）

（2008年4月１９日 上午９：00—１１：３０）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、从分数组{

}111111

,,,,,24681012中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ） （A ）1148与 (B)11410与 (C)11810与 (D)11812

与

2

的结果是（ ）

（A ）1

2

(B)4

(C)

3

8

(D)

17

+ 3、55

5的末尾三位数字是（ ）

（A ）125

(B)375

(C)625

(D)875

4、若实数,,x y z 满足方程组： 1.........(1)2 2..........(2)2 3...........(3)2xy

x y yz

y z zx

z x ?=?+??=?+??=?+?

, 则有（ ） （A ）x+2y+3z=0

(B) 7x+5y+2z=0

(C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=0

5、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）

（A ）15 (B)18 (C)21 (D)24

6、某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8ab cd 与，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=（ （A ）４０ (B)５０ (C)６０

(D)７０

二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 7

、设(9,x y ==则 .

K

N F

D A

C P M 8、一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是 .

9、如图，在边长为1的正三角形ABC 中，由两条含0

120圆心角的弓形弧?

AOB ， ?AOC 及边BC 所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 .

10、不超过6

53)的最大整数是 .

三.解答题（共70分）

11. （本题满分20分）设a 为整数,使得关于x 的方程a 2

x -(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.

12. （本题满分25分）如图，四边形中ABCD 中 ，E,F 分别是AB,CD 的中点，P 为对角线AC 延长线上的任意一点，PF 交AD 于M ，PE 交BC 于N ，EF 交MN 于K ; 求证：K 是线段MN 的中点.

13. （本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？