高三数学分段函数
2.11分段函数与绝对值函数
——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之
一、明确复习目标
了解分段函数的有关概念;掌握分段函数问题的处理方法
二.建构知识网络
1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.
3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.
三、双基题目练练手
1.设函数f (x )=????
?≥--<+,
11
4,1)
1(2
x x x x 则使得f (x )≥1的x 的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2]∪[0,10]
B.(-∞,-2]∪[0,1]
C.(-∞,-2]∪[1,10]
D.[-2,0]∪[1,10] 2.(2006安徽)函数2
2,0
,0x x y x x ≥?=?
-
的反函数是 ( ) A .,02,0
x
x y x x ?≥?=??- B .2,0
,0x x y x x ≥??=?-?
C .,02,0
x
x y x x ?≥?=??--
D .2,0
,0x x y x x ≥??=?--?
3.(2007启东质检)已知21[1,0)
()1[0,1]
x x f x x x +∈-?=?+∈?,,,则下列函数图象错误..
的是( )
4.(2006全国Ⅱ)函数19
1
()n f x x n ==
-∑的最小值为 ( )
(A )190 (B )171 (C )90 (D )45
5.(2005北京市西城模拟)已知函数f (x )=??
?<-≥-),
2(2
),
2(2
x x x 则f (lg30-lg3)
=___________;不等式xf (x -1)<10的解集是_______________.
6. (2006浙江)对R b a ∈,,记则{}?
??≥=b a b b
a a
b a <,,,max 则函数
(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .
7.
已知函数1
3
2
(0)()(01)log (1)
x
x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}=
8.函数2
21(0)
()(0)
x x f x x x ?+≥?=?-?的值域 。
简答:1-4.ACDC;
4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…
5. f (lg30-lg3)=f (lg10)=f (1)=-2,
f (x -1)=??
?<-≥-.
32
,
33
x x x 当x ≥3时,x (x -3)<10?-2<x <5,故3≤x <5.
当x <3时,-2x <10?x >-5,故-5<x <3.解集 {x |-5<x <5} 6. 由()()2
121212
2
≥
?-≥+?-≥+x x x x x , ()112122x x f x x x ???+≥ ?????=????-< ?????
如右图()min 13
22f x f ??== ???
7.12
-;8. 当x ≥0时,x 2+1≥1;当x<0时,-x 2
<0原函数值域是[1,+∞]∪(-∞,0)。
四、经典例题做一做
【例1】设定义在N 上的函数f (x )满足f (n )=???-+)]
18([13
n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f (2002).
解:∵2002>2000,
∴f (2002)=f [f (2002-18)]=f [f (1984)]=f [1984+13]=f (1997)=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.
【例2】判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ?-≥?=?-+?的奇偶性。
解:当x>0时,-x<0, f(-x)= -(-x)2(-x+1)=x 2(x -1)=f(x);
当x=0时,f(-0)=f(0)=0;当x<0时,f(-x)=( -x)2(-x -1)= -x 2(x+1)=f(x)。因此,对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数。
提炼方法::分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系,得出f(x)是否是
奇偶函数的结论。
【例3】(2007启东质检)已知函数1
()|1|f x x
=-
,(0)x > (1)当0,()()a b f a f b <<=且时,求证:1ab >;
(2)是否存在实数,()a b a b <,使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ,若存
在,则求出,a b 的值,若不存在,请说明理由;
(3)若存在实数,()a b a b <,使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时,值域为
[,](0)ma mb m ≠,求m 的取值范围.
解:(1)∵0x >,∴1
1,1,()11,0 1.x x
f x x x
?-≥??=??-<?
∴)(x f 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数. 由0,()()a b f a f b <<=且,可得01a b <<<, 所以有
1111a b -=-,即11
2a b
+=
.∴2ab a b =+>
1>,即1ab >
(2)不存在满足条件的实数,a b .
若存在满足条件的实数,a b ,使得函数1
()|1|y f x x
==-
的定义域、值域都是[,a b ],
则0a >.由1
1,1,()11,0 1.x x
f x x x
?-≥??=??-<?
①当,a b ∈(0,1)时,1
()1f x x
=
-在(0,1)上为减函数. 故(),().f a b f b a =??=?,即1
1,11.
b a
a b
?-=????-=??,解得a b =. 故此时不存在适合条件的实数,a b .
②当,a b ∈[)1,+∞时,1
()1f x x =-
在(1,+∞)上为增函数.故(),().
f a a f b b =??=?,即1
1,11.a a b b
?-=????-=??
此时,a b 是方程2
10x x -+=的根,由于此方程无实根. 故此时不存在适合条件的实数,a b .
③当a ∈(0,1),[)1,b ∈+∞时,由于1∈[,a b ],而[](1)0,f a b =?,故此时不存在适合条件的实数,a b .
综上可知,不存在适合条件的实数,a b .
(3)若存在实数,()a b a b <,使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时,值域为
[,]ma mb ,则0,0a m >>.
①当,a b ∈(0,1)时,由于()f x 在(0,1)上是减函数,值域为[,]ma mb ,
即1
1,11.mb a ma b
?-=????-=?? 解得a =b>0,不合题意,所以,a b 不存在.
②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时,由(2)知0在值域内,值域不可能是[,]ma mb ,所以
,a b 不存在.故只有[),1,a b ∈+∞.
∵|1
1|)(x x f -=在(1,+∞)上是增函数,∴(),().f a ma f b mb =??=?,即1
1,11.
ma a mb b
?-=????-=??
,a b 是方程210mx x -+=有两个根.
即关于x 的方程2
10mx x -+=有两个大于1的实根. 设这两个根为12,x x .则121211
,x x x x m m
+=
?= ∴1212
0,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ?>??-+->??-->?即140,
120.m m ->???->??
解得1
04
m <<
. 综上m 的取值范围是104
m <<
. 【例4】设a 为实数,设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。 (Ⅰ)设t =x x -++11,求t 的取值范围,并把f (x )表示为t 的函数m (t ); (Ⅱ)求g (a );
解:(I )∵t=x +1+x -1,
∴要使t 有意义,必须1+x ≥0且1-x ≥0,即-1≤x ≤1. ∵t 2
=2+221x -∈[2,4],t ≥0, ①
∴t 的取值范围是[2,2].
由①得21x -=
21t 2
-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=2
1at 2
+t-a,t ∈[2,2].
(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m (t )=2
1at 2
+t-a, t ∈[2,2]的最大值.
注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 2
1at 2
+t-a 的对称轴,分以下几种情况讨论.
(1)当a>0时,函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由
t=-
a
1
<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.
(2)当a=0时,m(t)=t,t ∈[
2,2], ∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.
若t=-
a
1
∈(0,2],即a ≤-22,则g(a)=m(2)=2. 若t=-
a 1∈(2,2],即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a
21
.
若t=-
a 1∈(2,+ ∞),即a ∈(-2
1
,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有g(a)=12, ,2121, ,2222
2, .a a a a a a ?
+>-??
?
---<≤-???≤-??
核心步骤:(1) m(t)=a(
21t 2-1)+t=2
1at 2
+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日
起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ; 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ;
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?
(注:市场售价和种植成本的单位:元/210kg ,时间单位:天) 解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=?
?
?≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ,
由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=
200
1
(t -150)2+100,0≤t ≤300. (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t ),则由题意得 h (t )=f (t )-g (t )
即h (t )=???????≤<-+-≤≤++-3002002102527200
120002
175********t t t t t t ,,
当0≤t ≤200时,配方整理得 h (t )=-
200
1
(t -50)2+100, 所以,当t =50时,h (t )取得区间[0,200]上的最大值100; 当200 200 1 (t -350)2+100 所以,当t =300时,h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5. 综上,由100>87.5可知,h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t =50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. 思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值. 五.提炼总结以为师 1.分段函数、绝对值函数问题类型—— 2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究;解题中务必看清自变量在哪一段,该代哪个解析式。 同步练习 2.11分段函数与绝对值函数 【选择题】 1.(2006山东)设12 32 2 ()log (1) 2 x e x f x x x -?=?-≥??,则不等式()2f x >的解集为 ( ) A.(1,2)(3,)+∞U B.)+∞ C.(1,2))+∞U D.(1,2) 2.已知函数(21)72(1) () (1)x a x a x f x a x -+-=?≥? 在(-∞,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(0,1) B .(0,2 1 ) C .3,18?????? D .31,82?? ???? 3. 已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=构造函数F(x ),定义F 如下:当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x F =,当)(|)(|x g x f <时,)()(x g x F -=,那么)(x F ( ) A .有最小值-1,无最大值 B .有最小值0,无最大值 C .有最大值1,无最小值 D .无最小值,也无最大值 【填空题】 4.已知f (x )=? ??<≥,0,0, 0,1x x 则不等式xf (x )+x ≤2的解集是________________. 5.(2005北京东城模拟)定义“符号函数”f (x )=sgn x =?? ? ??<-=>,01,00,01 x x x 则不等式x +2> (x -2)sgn x 的解集是______________. 6.已知函数f(x)=|x 2-2x -3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点,则a= 。 简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集{x |x ≤1}; 5.(-5,+∞);6. 由图象易知a=4。 【解答题】 7.求函数21(0) ()1(0)x x f x x x ?+≤=?->? 的反函数。 解:∵ f (x )在R 上是单调减函数, ∴ f (x )在R 上有反函数。 ∵ y=x 2+1(x ≤0) 的反函数是y =(x ≥1), y=1-x (x >0)的反函数是y=1-x (x <1), ∴ 函数f (x ) 的反函数是1 (0)()1(0)x f x x x -?≥?=? -? 注 :求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。 8.设A ={x ||x |=kx +1},若A ∩R +=φ,A ∩R -≠φ,求实数k 的取值范围. 解法1:方程|x |=kx +1的解是函数y=|x |和y =kx +1交点的横坐标,结合图形知,当直线y =kx +1在α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k ≥1. 解法2:由题意须0 1x x kx ? -=+? ①有解, 1 x x kx >?? =+? ②无解. ①中k=-1时无解,1 1,011k x k k -≠-= <>-+时得; ②中k=1时无解,k ≠0时,若1 01,1x k k =><-即则②有解, 所以, k ≥1. 9. (2005浙江)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称,且f (x )=x 2+2x . (Ⅰ)求函数g (x )的解析式; (Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )-|x -1|; (Ⅲ)若h (x )=g (x )-λf (x )+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围. 解:(I )设函数()y f x =的图象上任一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y , 则 0002 02 x x y y +?=???+?=?? 即 00x x y y =-??=-?. ∵点00(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上. ∴22,y x x -=- 即22,y x x =-+ 故g(x)=22x x -+. (II)由()()|1|g x f x x ≥--可得:2 2|1|0x x --≤ 当x ≥1时,2 21|0x x -+≤ 此时不等式无解。 当1x <时,2 210x x -+≤ ∴112 x -≤≤ 因此,原不等式的解集为[-1, 12 ]. (III) 2 ()(1)2(1) 1.h x x x λλ=-++-+ ① 当1λ=-时,()h x =41x +在[-1,1]上是增函数, ∴1λ=- ②当1λ≠-时,对称轴的方程为11x λ λ -= + (i) 当1λ<-时, 11λ λ-+1≤-,解得1λ<-。 (ii) 当1λ>-时,11λ λ -+≥1时,解得10λ-<≤ 综上,0λ≤ 10. 某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率P 与日产量x (件)之间大体满足关系: ???? ?∈>∈≤≤-=),(3 2),1(961 N x c x N x c x x P (其中c 为小于96的正常数) 注:次品率生产量 次品数 =P ,如0.1P =表示每生产10件产品,约有1件为次品.其余为合格品. 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损 2 A 元,故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 讲解 (1)当x c >时,23P =,所以,每天的盈利额120332 A T xA x =-?=; 当1x c ≤≤时,196P x = -,所以,每日生产的合格仪器约有1196x x ??- ?-?? 件,次品约有196x x ?? ?-?? 件.故,每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ??????=--?=- ? ? ? ?---????? ?. 综上,日盈利额T (元)与日产量x (件)的函数关系为: ()3, 12960, x x A x c T x x c ???-≤≤???=-??? ? >? (2)由(1)知,当x c >时,每天的盈利额为0. 当1x c ≤≤时,()3296x T x A x ??=- ? ?-? ?. 令96x t -=,则09695c t <-≤≤.故 ( )3961 144969722114797022t T t A t A t t A A -????=--=-- ? ????? ?≤-=> ?. 当且仅当144 t t = ,即()1288t x ==即时,等号成立. 所以(i )当88c ≥时,max 147 2 T A =(等号当且仅当88x =时成立) . (ii ) 当188c ≤<时,由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤, 易证函数()144 g t t t =+在(12,)t ∈+∞上单调递增(证明过程略). 所以,()()96g t g c ≥-.所以, ()211441 1441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ??+-????=--≤---=> ? ? ?--??????即2max 14418921922c c T A c ?? +-= ?-?? . (等号当且仅当x c =时取得) 综上,若8896c ≤<,则当日产量为88件时,可获得最大利润;若188c ≤<,则当日产量为c 时,可获得最大利润. 点评:分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在复课时认真对待. 【探索题】(2006福建)已知函数2 ()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ (I )求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t (II )是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解:(I )2 2 ()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时,()f x 在[],1t t +上单调递增, 2 2 ()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时,()(4)16;h t f == 当4t >时,()f x 在[],1t t +上单调递减, 2()()8.h t f t t t ==-+ 综上,2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ?-++ =≤≤??-+>? (II )函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点,即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22()86ln , 62862(1)(3) '()28(0), x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时,'()0,()x x φφ>是增函数; 当(1,3)x ∈时,'()0,()x x φφ<是减函数; 当(3,)x ∈+∞时,'()0,()x x φφ>是增函数; 当1,x =或3x =时,'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 Q 当x 充分接近0时,()0,x φ<当x 充分大时,()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 ()70, ()6ln 3150,x m x m φφ=->???=+-? 最大值最小值 即7156ln3.m <<- 所以存在实数m ,使得函数y =f (x )与y=g (x )的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值范围为(7,15-ln 3) 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14 C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a >0,a ≠1)。 4、函数与方程 (1)了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系。 (2)理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 (3)能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是:1.题型有两个选择题和一个解答题;2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大。 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2- 9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关 高三1学期期末考试 数学试卷(文) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请把答案直接涂在答题..卡.相应位置上..... . 1. 已知集合{1,1},{|124},x A B x R =-=∈≤<则A B =I ( ) A .[0,2) B .{ 1 } C .{1,1}- D .{0,1} 2. 下列命题中错误的是 ( ) A .如果平面⊥α平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C .如果平面⊥α平面γ,平面⊥β平面γ,1=?βα,那么直线⊥l 平面γ D .如果平面⊥α平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3. 已知}{n a 为等差数列,其公差为2-,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为}{n a 的前n 项和, *N n ∈,则10S 的值为 ( ) A .110- B .90- C .90 D .110 4. 若实数a ,b 满足0,0a b ≥≥,且0ab =,则称a 与b 互补, 记(,)a b a b ?=-, 那么(,)0a b ?=是a 与b 互补的 ( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件 5. 若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是 ( ) A .222a b ab +> B .a b +≥ C .11a b +> D .2b a a b +≥ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ?≤≤?≤??≤?给定。若(,)M x y 为D 高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题 附答案解析 Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合M ={x |x 2+2x =0,x ∈R },N ={x |x 2-2x =0,x ∈R },则M ∪N =( ) A .{0} B .{0,2} C .{-2,0} D .{-2,0,2} 2.设f :x →|x |是集合A 到集合B 的映射,若A ={-2,0,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{2} C .{0,2} D .{-2,0} 3.f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A .(3,-2) B .(3,2) C .(-3,-2) D .(2,-3) 4.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .9 5.若函数f (x )满足f (3x +2)=9x +8,则f (x )的解析式是( ) A .f (x )=9x +8 B .f (x )=3x +2 C .f (x )=-3x -4 D .f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 6.设f (x )=??? x +3 x >10, fx +5 x ≤10,则f (5)的值为( ) A .16 B .18 C .21 D .24 7.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0},若S ∩T ={(2,1)},则 a , b 的值为( ) A .a =1,b =-1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =1 D .a =-1,b =-1 8.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) C .(-1,0) 9.已知A ={0,1},B ={-1,0,1},f 是从A 到B 映射的对应关系,则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 10.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2- x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n ∈N *时,有( ) A .f (-n ) 指对函数 1比较大小,是指对函数这里很爱考的一类题型,主要依靠指对函数本身的图像性质来做题,此外,对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量;估算;作差法;作商法等。 1、若π2log =a ,6log 7=b ,8.0log 2=c ,则( ) A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是( ) A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ,则下列不等式成立的是( ) A .10<<a 且1≠a ),则()f x 一定过点( ) A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时,函数()32-=-x a x f 必过定点( ) 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点( ) 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2,则a =( ) 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点,则b a ,分别为( ) A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题 函 数 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是 高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一:集合的含义与表示 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确 定的:属于或不属于。 (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 3、集合的表示:{…} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法: ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系: (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:aA (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:(或BA) 注意:有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数: 3.幂函数: 定义形如αx y=(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 图像 性质过定点:所有的幂函数在(0,) +∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).单调性:如果0 α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,) +∞上为增函数.如果0 α<,则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时, max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π =∈Z 时, max 1y =; 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ; 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1. 设有函数组:①y x = ,y = y x = ,y = ;③y ,y = ;④1(0),1 (0), x y x >?=?-,x y x =;⑤lg 1y x =-,lg 10x y =.其中表示同一个函数的 有 2. 2.设集合{02}M x x =≤≤,{02}N y y =≤≤,从M 到N 有四种对应如图所示: 其中能表示为M 到N 的函数关系的有________. 3.写出下列函数定义域: (1) ()13f x x =-的定义域为______________; (2) 2 1 ()1 f x x = -的定义_______; (3) 1 ()f x x =的定义域为_________; (4) 0()f x =________. 4.已知三个函数:(1)() () P x y Q x = ; (2)y =(*)n N ∈; (3)()log ()Q x y P x =.写出使各函数式有意义时,()P x ,()Q x 的约束条件: (1)___________________(2)______________________(3)______________________________. 5.写出下列函数值域: (1) 2 ()f x x x =+,{1,2,3}x ∈;值域是{2,6,12}. (2) 2()22f x x x =-+; 值域是[1,)+∞. ① ② ③ ④ (3) ()1f x x =+,(1,2]x ∈. 值域是(2,3]. 【范例解析】 例 1.设有函数组:①21 ()1 x f x x -=-,()1g x x =+; ②()f x = , ()g x = ③()f x =()1g x x =-;④()21f x x =-,()21g t t =-.其中表示同一个函数的有 . 例2.求下列函数的定义域:① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域: (1)242y x x =-+-,[0,3)x ∈; (2)2 2 1 x y x =+()x R ∈; (3 )y x =- 【反馈演练】 1.函数f (x )=x 21-的定义域是___________. 2.函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________. 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________. 4. 函数23y x =-+_____________. 5.函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________. 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ,g (x )=lg [(x -a -1)(2a -x )](a <1) 的定义域为B . (1) 求A ; (2) 若B ?A ,求实数a 的取值范围. 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+=?>? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ , 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x => ) 2012年高考文科数学汇编:函数 一、选择题 1 .(2012年高考(重庆文))设函数2 ()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合 {|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N I 为 ( ) A .(1,)+∞ B .(0,1) C .(-1,1) D .(,1)-∞ 2 .(2012年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A .cos 2y x = B .2log ||y x = C .2 x x e e y --= D .3 1y x =+ 3 .(2012年高考(四川文))函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 4 .(2012年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( ) A .1y x =+ B .2 y x =- C .1 y x = D .||y x x = 5 .(2012年高考(山东文))函数21 ()4ln(1) f x x x = +-+ ( ) A .[2,0)(0,2]-U B .(1,0)(0,2]-U C .[2,2]- D .(1,2]- 6 .(2012年高考(江西文))已知 2()sin ()4 f x x π=+若a =f (lg5),1 (lg )5b f =则 ( ) A .a+b=0 B .a-b=0 C .a+b=1 D .a-b=1 7 .(2012年高考(江西文))设函数211 ()21x x f x x x ?+≤? =?>? ?,则((3))f f = ( ) A . 15 B .3 C . 23 D . 139 8.(2012年高考(湖南文))设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,() f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2 x π≠时 ,()()02 x f x π '- >,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 ( ) 第一章 集合与函数 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 如图,U 是全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 A.(M S P ) B.(M S P ) C. (M P ) (S C U ) D.(M P ) (S C U ) 2. 函数 ]5,2[,142 x x x y 的值域是 A. ]61[, B. ]13[, C. ]63[, D. ),3[ 3. 若偶函数)(x f 在]1,( 上是增函数,则 A .)2()1()5.1(f f f B .)2()5.1()1(f f f C .)5.1()1()2( f f f D .)1()5.1()2( f f f 4. 函数|3| x y 的单调递减区间为 A. ),( B. ),3[ C. ]3,( D. ),0[ 5. 下面的图象可表示函数y=f(x)的只可能是 y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x A. B. C. D. 6. 函数5)(3 x c bx ax x f ,满足2)3( f ,则)3(f 的值为 A. 2 B. 8 C. 7 D. 2 7. 奇函数)(x f 在区间[1,4]上为减函数,且有最小值2,则它在区间]1,4[ 上 A. 是减函数,有最大值2 B. 是增函数,有最大值2 C. 是减函数,有最小值2 D. 是增函数,有最小值2 8.(广东) 客车从甲地以60km /h 的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km /h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中,正确的是 A. B. C. D. 9. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、,,,如:集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么? A 表示函数y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-? ?? ???1013 显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是,这里千万小心,还有一个B 为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有 2n 种选择,即集合A 有2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n - ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 第四讲函数的概念与表示 一.知识归纳: 1.映射 ( 1)映射:设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合 A 中的任一个 元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f : A→B。 ( 2)象与原象:如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射,那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象。 注意:( 1)对映射定义的理解。( 2)判断一个对应是映射的方法。 2.函数 ( 1)函数的定义 ①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是 x 的函数, x 叫作自变量。 ②近代定义:设 A 、 B 都是非空的数的集合,f: x→y是从 A 到 B 的一个对应法则,那么从 A 到 B 的映射 f : A→B就叫做函数,记作y=f(x) ,其中 x∈ A,y ∈ B,原象集合 A 叫做函数的定义域,象集合 C 叫做函数的值域。 注意:①C B; ② A,B,C 均非空 ( 2)构成函数概念的三要素:①定义域②对应法则③值域 3.函数的表示方法:①解析法②列表法③图象法 注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。 二.例题讲解: 【例 1】下列各组函数中,表示相同函数的是() (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答:选D 点评:判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式:下列各对函数中,相同的是( D ) (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】( 1)集合 A={3,4},B={5,6,7} ,那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是;从B 到 A 的映射的个数是。 ( 2)设集合 A 和 B 都是自然数集合N,映射 f:A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n,则在映射 f 下,像20 的原象是。 解答:( 1)从 A 到 B 可分两步进行,第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法( 5 或 6 精选 高三总复习-指对数函数题型总结归纳 指对函数 1比较大小,是指对函数这里很爱考的一类题型,主要依靠指对函数本身的图像性质来做题,此外,对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量;估算;作差法;作商法等。 1、若π2 log =a ,6log 7 =b ,8.0log 2 =c ,则( ) A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,67 .06 7.0的大小顺序是( ) A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.76 0.7 log 660.7<< D.6 0.7 0.7 log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? ,则( ) A.3 12 y y y >> B.2 13 y y y >> C.1 32 y y y >> D.1 23 y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设1)3 1 () 31 (31<<>x x b a ,则下列不等式成立的是( ) A .10<< 第二章 函数 一.函数 1、函数的概念: (1)定义:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中 的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作:y =)(x f ,x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义 域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域: (1)定义域定义:函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 (2)确定函数定义域的原则:使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 (3)确定函数定义域的常见方法: ①若)(x f 是整式,则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1. 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2. 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零,如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)求抽象函数(复合函数)的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1)求)31(x f -的定义域 3、值域 : (1)值域的定义:与x 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)确定值域的原则:先求定义域 (3)常见基本初等函数值域: 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切) 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点: 1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set ),其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,基本形式为123{,,,,}n a a a a ???,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ,适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集N ,正整数集*N 或 N +,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to ),分别用符号∈、?表示,例如3N ∈, 2N -?. ¤例题精讲: 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合; (2)大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空:已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈,则有: 17 A ; -5 A ; 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合:(教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4) (1)一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合; (2)二次函数24y x =-的函数值组成的集合; (3)反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解,试用列举法表示集合A . 高三数学试卷中函数专题复习策略 一、《考试说明》对函数部分的要求 1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性,了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值; 2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象,理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质,理解指数及对数的运算. 3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系,能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用. 5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,函数的极大值、极小值,闭区间上函数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点 函数是高中数学的核心内容,是学习高等数学的基础,作为高中数学中最重要的知识模块,贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况,函数命题呈现如下特点: 1.知识点覆盖面全.近几年高考题中,函数的所有知识点基本都考过,特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考. 2.题型难度涉及面广.在每年高考题中,低档、中档、高档难度的函数题都有,且填空、解答题型都有. 3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位,近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透,例如,解析几何中经常涉及函数的值域的求法,三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面 (一)关注函数的定义域 定义域的求法实际上就是解不等式,考生必须能够做到以下两点:一是熟知定义域常见要求,如分式的分母不为零;偶次根号下非负;对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;零次幂的底数不为零;三角函数中的正切、余切的定义域等等;二是熟练掌握常见不等式的解法,如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式. 例1.(2012年江苏卷)函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 . 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得高三数学复习教案:指数与指数函数教案
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