勾股定理及两点间距离公式C(教师版)

学科教师辅导讲义

【答案】144

【例10】如图，在一块用边长为cm

20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A点处，，鸽子吃完小朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？

【答案】360厘米

【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

【答案】13米

【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁

C

B

A

棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？

【答案】3米

【例13】有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（ 的值取3）

【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形.最短路线为展开图中的线段AB.

【答案】15cm

【例14】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等）

【答案】

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

【借题发挥】

1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

【答案】540千米

2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，

C

（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。

（2）求∠ADC的度数。

3．如图：设甲到岛上去探宝，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又向西走3千米，再折向北走6千米处往东一拐，仅1千米找到宝藏，问登陆点到探宝点的距离是多少？

4．△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？5．你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！

6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？

A B

C

a

b

c

S1

S3

S2

A

C

a

b

c

S2

S3

B

S1

【答案】

214

尺；294尺

7．求四个水平放置的正方形的面积的和.（即求1234S S S S +++）

题型四：两点间距离公式

【例14】求下列两点间的距离： （1）()2,8A -和()3,4B -

（2）()2,1C

和()2,3D -

（3）()3,2P -和()23,1Q （4）()5,2M -和()2,5N

（5）()1,2E 和()3,2F - （6）()5,4G -和()5,9H -

【答案】略

【方法总结】利用公式

【例15】已知三角形三个顶点的坐标，判断三角形的形状. （1）()1,1A --、()3,1B -、()3,2C （2）()2,1A -、()2,3B --、()4,1C - （3）()3,1A -、()3,3B --、()

233,1C --

（4）()2,5A 、()5,1B -、()2,1C -- （5）()1,3A -、()1,2B -、()4,5C （6）()1,2A --、()2,1B -、()2,1C - 【答案】略

【例16】3．在角坐标平面内，已知A 、B 两点的坐标分别为()1,3-、()6,4，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，求点P 的坐标 【答案】（3,0） 【借题发挥】

在直角坐标平面内，已知△OAB 是等边三角形，且O 、B 两点的坐标分别为()0,0、()4,0. （1）求点A 的坐标.

（2）如果△OAB 内一点P 到三角形三边的距离都相等，求点P 的坐标. 【答案】（1）()()

2,23,2,23-；（2）22,

33?? ???，22,33??- ??

? 【随堂练习】

填空题：

1．在直角三角形中，两条直角边分别为5,12，则斜边上的高为 .

2．若长方形的一条对角线与一边的差为1cm ，另一条边长3cm ，则这个长方形的面积等于 平方厘米. 3．若3是关于x 的方程()2

2120x a x -++=的解，那么以3,a 为边的等腰三角形的面积为 .

4．如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD ⊥AB 于A ，10,8AC AB ==,如果将△ABD 绕点旋转180°，将交点A 转到点A '的位置，那么AA '= .

5．如图，△ABC 为等边三角形，边长为4cm ，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，EF ∥BC 交AC 于F ，则△AEF 的周长是 .

【答案】1．60

13；2．12；3．3914或5114

；4．6；5．12.

选择题：

1．在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，6BC cm =，则此三角形的周长为（ ） A.63; B.1263+; C.183; D.1863+.

2．已知Rt △ABC 的三边都是整数，两条直角边长度的比是3:4，则斜边的长可能是（ ） A.9; B.10; C.12; D.14.

3．已知()2,4P -，()4,2Q -下列各点中在线段PQ 垂直平分线上的点有 （ ）

①()1,1A ②()2,2B -③()1,1C --④()0,0D

A.1个;

B.2个;

C.3个;

D.4个.

4．三角形三个内角的度数比为3:2:1，那么它的三条边的长度之比为（ ） A.3:2:1; B.3:2:1; C.2:3:1; D.9:4:1.

5．已知直角三角形有一条直角边长11厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为（ ） A.120厘米; B.132厘米; C.144厘米; D.156厘米. 【答案】DBB CB 解答题：

1．如图，在△ABC 中，，∠A =90°，AB AC =，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若2AB cm =.求：AD 的长,

2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，中线AD 的长为7，中线BE 的长为4.求：AB 的长 3．已知()2,3A -和()1,4B 在y 轴上找一点C ，使△ABC 为直角三角形. 4．四边形中，∠A =60°，∠B =∠D =90°，2,1AB CD ==.

（1）求BC 、AD 的长；

（2）求四边形ABCD 的面积.

【答案】1．(222)cm -；2．213；3．()()()()0,3,0,7,0,2,0,5-；4．

3

32

； 【课堂总结】

【课后作业】

1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥CD 于E ，BF ⊥AD 于F ，

∠ABC =120°，2,23BE cm BF cm ==，则平行四边形ABCD 的面积为 平方厘米.

2．在△ABC 中，5,8AB cm AC cm ==，∠BAC =60°，则BC 的长为 cm . 3．如图所示，在扇形AOB 中，4OA =，∠AOB =120°，那么阴影部分的面积等于 .

4．已知弓形的高为4cm ，弦长为12cm ，则弓形所在圆的半径为 .

5．在直角坐标平面内有()()()0,6,0,2,4,2A B C -三个点，则以这三个点为顶点的△ABC 是 三角形. 【答案】1．8；2．7；3．

163π-43；4．13

2

；5．等腰直角； 选择题：

1．以下列各组数为三边长的三角形中，不能组成三角形的是（ ）

A.31,31,22+-;

B.3.5,4.5,5;

C.4,7.5,8.5;

D.()221,2,11n n n n -+>.

2．在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（ ） A.偶数; B.奇数; C.自然数; D.以上结论都不对. 3．在下列命题中，真命题有（ ）

①有一个角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形；

②有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形； ③三条边长分别为10,20,30的三角形是直角三角形； ④三个外角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形. A.4个; B.3个; C.2个; D.1个.

4．在Rt △ABC 中，斜边上的中线17CD =，直角边16AC =，则直角边BC 的长等于（ ） A.30; B.32; C.33; D.34.

5．若直角三角形三边a 、b 、c 满足整式3

2

2

2

2

3

0a a b ab ac bc b ++--+=则的形状为（ ） A.等腰三角形; B.等边三角形; C.等腰直角三角形; D.直角三角形. 【答案】BDAAD 解答题：

1．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于E .求证：2

2

2

BE BC AE =+.

2．如图，在△ABC 中，∠C =90°，6,8AC cm BC cm ==，以点C 为圆心，CA 的长为半径作弧，交斜边AB 于

D .求AD 的长.

3．如图，某船向正东航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，此时又测得岛C 在北偏东30°方向，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险，请说明理由.

4．给出一组式子：32

＋42

＝52

，82

＋62

＝102

，152

＋82

＝172

，242

＋102

＝262

．… (1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子；

(2)请你证明你所发现的规律．

5．在直角坐标平面内，已知△ABC 是直角三角形，且∠C =90°，点C 在x 轴上，A 、B 两点的坐标分别是()2,6、

()10,2，求点C 的坐标.

6．在直角坐标系内，已知△OAB 是等腰三角形，O 、A 两点的坐标分别为（0,0）、（3,4），点B 在x 轴上，求点B 的坐标.

【答案】1．略；2．7.2cm ；3．有危险；4.略；5.()()4,0,8,0；6.()()()255,0,,0,5,0,6,06??

-

???

二、综合提高练习

1.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME ～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中18732211=====A A A A A A OA Λ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

A 1

O

A 2A 3A 4

A 5

A 6

A 7A 8

ICME-7

图甲 图乙

;2121112

=

=+S ，）（ ;22,31)2(22==+S ;2

3

,41)3(32==+S …… （1） 请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2） 推算出OA 10的长；

（3） 求出2

10232221S S S S ++++Λ的值。

2．已知P 为长方形ABCD 内一点，6PA =，7PB =，8PC =，求PD . 【答案】51

【提示】2222222

364964PE x y PF PD x y ?=-=-?

?=-=-??①②

，①-②即可.

3．已知四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，若6AC cm =，1MN cm =，求BD 的长. 【答案】42

【提示】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半BN=DN=3,则MN 为等腰三角形的三线.