2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程练习：第二章 随机变量及其分布 单元质量测评

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第二章单元质量测评

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题,共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1，2,3，4，5五个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( ）A．25 B．10

C．9 D．5

答案C

解析由题意，由于是有放回的取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4，3＋3＝6，4＋4＝8，5＋5＝10,5个不同的和;若两次取球为不同号码，则还有1＋2＝3,1＋4＝5，2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3,…，n。如果P（ξ<4)＝0.3,那么（）A．n＝3 B．n＝4

C．n＝10 D．n不能确定

答案C

解析∵ξ是等可能地取值，∴P(ξ＝k)＝错误!(k＝1,2，…,n),∴P（ξ〈4）＝错误!＝0.3，∴n＝10.

3．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是（）

A．0。16 B．0.24

C．0。96 D．0。04

答案C

解析三人都不达标的概率是(1－0.8)×（1－0。6）×(1－0。5）＝0。04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0。04＝0.96.

4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1）,若P(ξ〉1）＝p，则P（－1〈ξ<0)＝( ）

A。错误!＋p B．1－p

C．1－2p D。错误!－p

答案D

解析P(－1〈ξ<0)＝错误!P（－1<ξ〈1)＝错误!［1－2P(ξ>1）］＝错误!－P（ξ>1）＝错误!－p.

5．甲、乙、丙三个在同一办公室工作，办公室只有一部电话机,经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是错误!,错误!，错误!.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是（）A。错误! B.错误! C.错误! D.错误!

答案D

解析根据题意，三个电话中恰有两个是打给乙，即3次独立重复试验中恰有2次发生,所以所求事件的概率P＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!.

6．已知随机变量X～B错误!，则D（2X＋1)等于（）

A．6 B．4

C．3 D．9

答案A

解析D（2X＋1）＝D（X）×22＝4D(X)，D（X）＝6×错误!×错误!＝错误!,∴D（2X ＋1）＝4×错误!＝6。

7．某校14岁女生的平均身高为154。4 cm，标准差是5.1 cm，如果身高服从正态分布，那么在该校200个14岁女生中身高在164。6 cm以上的约有( ）A．5人B．6人

C．7人D．8人

答案A

解析设某校14岁女生的身高为X（cm），则X～N（154。4，5。12）．由于P(154。4－2×5。10，随机变量ξ的方差D（ξ)＝错误!，则x＋y＝( ）

A.错误!

B.错误!

C。3

4

D．2答案C

解析由题意知2x＋y＝1,则E(ξ）＝4x＋2y＝2。又D（ξ）＝(－1)2×x＋12×x ＝2x＝错误!，解得x＝错误!，所以y＝1－2x＝错误!，所以x＋y＝错误!.故选C.

9．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A）＝( ）

A.错误! B。错误! C.错误! D。错误!

答案A

解析出现点数互不相同的共有n(A）＝6×5＝30种，出现一个5点共有n（AB)＝5×2＝10种，∴P(B｜A)＝错误!＝错误!.

10．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜,比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为( )

A。错误! B.错误! C。错误! D.错误!

答案C

解析甲以4比2获胜，则需打六局比赛且甲第六局胜前五局胜三局，故其概率为C错误!错误!3×错误!2×错误!＝错误!.

11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c[a,b，c∈(0，1）]，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为（)

A.错误! B。错误! C。错误! D。错误!

答案B

解析由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝错误!·3a·2b≤错误!错误!2＝错误!×错误!2＝错误!,当且仅当3a＝2b＝错误!，即a＝错误!,b＝错误!时取“等号”．故选B.

12．某地区高二女生的体重X（单位：kg)服从正态分布N（50，25)，若该地区共有高二女生2000人，则体重在50~65 kg间的女生共有（）

A．683人B．954人

C．997人D．994人

答案C

解析由题意知μ＝50，σ＝5，∴P（50－3×5

第Ⅱ卷（非选择题，共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为________．答案200

解析种子发芽率为0。9,不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0.1），∴E（ξ）＝1000×0。1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E(ξ)＝200。

14．在等差数列｛a n}中,a4＝2，a7＝－4.现从{a n}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．（用数字作答）答案错误!

解析由a4＝2,a7＝－4可得等差数列｛a n｝的通项公式为a n＝10－2n(n＝1，2，…,10）．由题意，三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为错误!,取得负数的概率为错误!,在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C23错误!2错误!1＝错误!.

15．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2,3，4，5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金（单位：元)；随后放回该卡片,再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E（ξ1）－E(ξ2)＝________(元）．

答案0。2

解析依题意得ξ1的所有可能取值分别为1，2，3,4，5，且取得每个值的概率均等于错误!，因此E（ξ1）＝错误!×（1＋2＋3＋4＋5)＝3。ξ2的所有可能取值分别为1.4×1，1.4×2，1。4×3,1.4×4，且P（ξ2＝1。4×1)＝错误!，P(ξ2＝1.4×2）＝错误!，P（ξ2＝1。4×3)＝错误!，P(ξ2＝1.4×4)＝错误!，因此E（ξ2)＝错误!×1.4×(1×4＋2×3＋3×2＋4×1）＝2.8，E(ξ1）－E(ξ2）＝0。2(元）．16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①P（B)＝错误!；

②P（B｜A1）＝错误!；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1,A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B）的值不能确定,因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

答案②④

解析由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，且P（B)＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.

故①③⑤错误;

∵P（B｜A1）＝错误!＝错误!＝错误!，故②正确；

由互斥事件的定义知④正确．

三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分)某校高三（1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．（1)求选到的是第一组的学生的概率；

（2）已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．

解设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．

（1）由题意,P（A)＝错误!＝错误!.

(2）解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下（即以所选到的学生是共青团员为前提），有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P（A|B）＝错误!.

解法二：P(B）＝错误!＝错误!，P(AB）＝错误!＝错误!,

∴P（A|B）＝错误!＝错误!.

18．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为错误!,乙每次击中目标的概率为错误!。

(1）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X）；

（2）求乙至多击中目标2次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

解（1）X的概率分布列为

P

错误! 错误! 错误! 错误!

E(X ）＝0×18＋1×3

8＋2×错误!＋3×错误!＝1.5或E （X ）＝3×错误!＝1。5。

(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 错误!错误!3＝错误!.

(3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2,则A ＝B 1＋B 2.

B 1，B 2为互斥事件,P(A)＝P(B 1）＋P(B 2)＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。 19．（本小题满分12分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明） 解 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1,2，…，13）． 根据题意，P （A i ）＝1

13

，且A i ∩A j ＝∅(i≠j）．

(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染"，则B ＝A 5∪A 8。所以P （B ）＝P(A 5∪A 8)＝P （A 5）＋P(A 8)＝错误!。

(2）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且 P （X ＝1)＝P （A 3∪A 6∪A 7∪A 11)

＝P （A 3）＋P （A 6）＋P （A 7）＋P （A 11)＝错误!, P （X ＝2）＝P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)

＝P(A1)＋P（A2)＋P（A12)＋P(A13）＝错误!，

P（X＝0)＝1－P(X＝1)－P（X＝2）＝5

13

.

所以X的分布列为

X012

P错误!错误!错误!

故X的期望E（X)错误!错误!错误!错误!

（3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

20．(本小题满分12分)随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50，60)，2；[60， 70)，7；［70，80)，10;［80，90)，x;[90,100］，2，其频率分布直方图受到破坏,可见部分如图所示，据此解答如下问题．

(1）求样本容量及x的值；

（2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ,求ξ的数学期望．

解(1）由题意，得分数在［50,60）内的频数为2，

频率为0.008×10＝0。08，

所以样本容量n＝错误!＝25,

x＝25－(2＋7＋10＋2）＝4。

（2）成绩不低于80分的人数为4＋2＝6,成绩不低于90分的人数为2,所以ξ的所有可能取值为0，1,2,

因为P(ξ＝0）＝错误!＝错误!，P（ξ＝1）＝错误!＝错误!，P（ξ＝2）＝错误!＝错误!，所以ξ的分布列为

所以ξ错误!错误!错误!错误!。

21．（本小题满分12分)2019年3月北京市政府为做好“两会”接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为错误!,第二轮检测不合格的概率为错误!，两轮检测是否合格相互没有影响．

(1)求该海产品不能销售的概率；

(2）如果该海产品可以销售,则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元）．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列,并求出数学期望E（ξ)．

解(1)记“该海产品不能销售”为事件A，

则P(A)＝1－错误!×错误!＝错误!。

所以，该海产品不能销售的概率为错误!.

（2)由已知，可知ξ的可能取值为－320,－200,－80，40,160.

P（ξ＝－320)＝错误!4＝错误!，

P（ξ＝－200）＝C错误!·错误!3·错误!＝错误!，

P（ξ＝－80)＝C错误!·错误!2·错误!2＝错误!，

P(ξ＝40)＝C3，4·1

4

·错误!3＝错误!,

P（ξ＝160)＝错误!4＝错误!。

所以ξ的分布列为

E错误!错误!错误!错误!错误!＝40.

22．（本小题满分12分)气象部门提供了某地区六月份（30天)的日最高气温的统计表如下：

由于工作疏忽,统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9。

某水果商根据多年的销售经验,得到六月份的日最高气温t（单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：

（1

（2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；

（3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率．

解（1）由已知，得P（t≤32）＝0.9,

∴P（t>32）＝1－P（t≤32）＝0.1，

∴Z＝30×0。1＝3，

Y＝30－(6＋12＋3）＝9.

(2）P（t≤22)＝错误!＝0。2，

P（22〈t≤28)＝错误!＝0。4，

P（28

P(t〉32)＝错误!＝0.1,

∴六月份西瓜日销售额X的分布列为

∴E(X）＝2×0.2＋5×0。4＋6×0。3＋8×0.1＝5，

D（X）＝(2－5)2×0。2＋(5－5)2×0。4＋(6－5)2×0。3＋(8－5）2×0。1＝3.

（3)∵P（t≤32）＝0.9,

P(22〈t≤32)＝0。4＋0。3＝0.7,

2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程练习：第二章随机变量及其分布单元质量测评 Word版含解析∴由条件概率，得P(X≥5|t≤32)＝P（t〉22｜t≤32）＝错误!＝错误!＝错误!。