高二理科数学(选修2-2、2-3)综合测试题

高二理科数学（选修2-2、2-3）综合测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．复数

i i

4321-+的共轭复数为 A. i 5251+- , B. i 5251--, C. i 5251+ D.i 5

251-

2.在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法

种数为

A ．23

397C C B.23323

97397C C +C C C.514

100397C -C C D.5

5

10097C -C

3.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为 A.72 B.48 C.24 D.60

4．若0()2f x '=,则0lim

→k 00()()

2f x k f x k

+-=

A ．2 B.1 C. 1

2

D. 无法确定

5.10

1x x ?

?+ ??

?展开式中的常数项为

（A ）第5项 （B ）第6项 （C ）第5项或第6项 （D ）不存在

6.袋中有5个红球，3个白球，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是红

球，则第2次抽出的是白球的概率为

（A ）

37 （B ）38 （C ）47 （D ）12

7.曲线3sin (0)2

y x x π

=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为 A . 1 B . 2 C . 5

2

D. 3

8. 4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法 A ．72种 B ．24种 C ．36种 D ．12种 9．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为

23和3

4

，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

（A ）

12 (B)512

(C)14 (D)16 10.已知随机量X 服从正态分布N （3,1），且P （2≤X ≤4）=0.6826，则P(X ＞4)= 。

A.0.1588

B.0.1587

C.0.1586

D.0.1585

11.定积分

1

)x dx ?

等于（ ）

Ａ

2

4

π- Ｂ

12π- Ｃ 14π- Ｄ 12

π-

12.在曲线()02≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为12

1，则这个切线方程是.

A.y=-2x-1

B.y=-2x+1

C.y=2x-1

D.y=2x+1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是__________

14.某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是___________ 15.若

21

()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是

16、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同

的涂色方法共有 种（用数字作答）．

三、解答题：（17题10分，18～22每题12分） 17.命题p ：i i

m +->-22（i 是虚数单位）；

命题q ：“函数3223f x x mx 2m x 32

=

-+-（）（）在（－∞，＋∞）上单调递增”. 若p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求m 的范围。

18.一个碗中放有10个筹码，其中8个都标有数字2，2个都标有数字5，某人从此碗中随机不放回地抽取3个筹码，若他获得的奖金等于所抽3个筹码所标的数字之和，求他获得奖金数额的数学期望。

19. 已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++．

(1) 若(1)0f '-=，求函数y =()f x 在[－

3

2

，1]上的极大值和极小值； (2)若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围． 20.数列

{}n a 满足）（*2N n a n S n n ∈-=。 （Ⅰ）计算4321a a a a ，，，；

（Ⅱ）猜想通项公式n a ，并用数学归纳法证明。

21.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝

球2个。现从盒子中每次任意取出一个球，若取出的是蓝球则结束，若取出的不是蓝球则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球次数最多不超过3次。求： （1）取两次就结束的概率； （2）正好取到2个白球的概率；

22. 设曲线cx bx ax y ++=2

32

13在点A(x,y )处的切线斜率为k(x),且k(－1)=0.对一切实数x,不等式x ≤k(x)≤)1(2

12

+x 恒成立(a ≠0).

(1) 求k (1)的值;

(2) 求函数k(x)的表达式; (3) 求证:)(1

)2(1)1(1n k k k +++ ＞2

2+n n

答案

一．选择题: BBCBB ADCBB AC 二．填空题：

13.25 14.2

5

15. 1b

≤- 16.630

三．计算题：

17.解：命题p ：m >1或m<-1， 命题q ：1≤m ≤3，------------4分

由题意p 真q 假或p 假q 真 当p 真q 假时：m<-1或m >3

当p 假q 真时：m=1 ------------8分 综上：m<-1或m >3或 m =1 ------------10分

18.E ξ=7.8

19.解：(Ⅰ)∵(1)0f '-=，∴3210a -+=，即2a =．

∴2

1()3413()(1)3

f x x x x x '=++=++．

… 2分

由()0f x '>，得1x <-或1

3x >-；

由()0f x '<，得1

13

x -<<-． … 4分

因此，函数()f x 的单调增区间为3(1)2--，，1(1)3-，；单调减区间为1

(1)3

--，．

()f x 在1x =-取得极大值为(1)2f -=；()f x 在1

3

x =-取得极小值为

150

()327

f -=

． … 8分 (Ⅱ) ∵32()f x x ax x a =+++，∴2()321f x x ax '=++．

∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解． … 10分

∴244310a =-??≥D ，∴23a ≥，即 a a ≤≥

或．

因此，所求实数a 的取值范围是()-∞+∞ ，． … 12分

20解：（Ⅰ）8

15

47231

4321====a a a a ，，，…………………4分 （Ⅱ）猜想12

1

2--=n n n a ，…………………6分

证明：

① 当n=1 时，a 1=1猜想显然成立；………………………7分 ② 假设当n=k *)1(N n n ∈≥且)时，猜想成立，

即k k k k k k a k a a a S a -=+++=-=-2...,2

1

2211，

那么，）

（时，k k k k k a k a k S S a k n ---+=-=+=+++2)1(21111， ,2

12221

222211

1k

k k k k k a a -=-+=+=∴+-+ 时猜想成立；当1+=∴k n ………………………11分

综合①②，当*

N n ∈时猜想成立。………………………12分

21. 解：（1）取两次的概率()1182111010414

25525

C C P C C ξ==?=?=……5分

答: 取两次的概率为4

25

………………..6分

（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，….7分

所以恰有两次取到白球的概率为

53333215331010101010101000

P =

???+??= 答: 恰有两次取到白球的概率为153

1000

………………….12分

22．（本小题满分14分）解：（1）由1)1(1)1(2

1)(2

≤≤+≤≤k x x k x 得，所以

1)1(=k ……………2分

（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由1)1(=k ，0)1(=-k 得…………3分

21

,210

1==+???

?=+-=++b c a c b a c b a …………………………………………4分 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212

≠≥+-a c x ax 恒成立得

??

?

?

?

?

??

?

=+≤-=?>2104410c a ac a 41==?c a ，…………………………6分 同理由02121)21(2

≥-++-c x x a 恒成立也可得: 4

1==c a ……………7分

综上41==c a ，21=b ，所以41

2141)(2++=x x x k ………………8分

（3）2

22)

1(4

)(14)1(412)(+=?+=++=n n k n n n n k 要证原不等式式，即证4

2)1(13121222+>

++++n n

n

因为2

1

11)2)(1(1)1(12+-

+=++>+n n n n n 所

以

211141313121)1(131212

22+-

+++-+->++++n n n 2121+-=n =42+n n 所以

)(1

)2(1)1(1n k k k +++ >

2

2+n n ……………………………………………12分 本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：

由2

22)

1(4)(14)1(412)(+=?+=++=n n k n n n n k 1． 当1=n 时，左边=1，右边=3

2

，左边>右边，所以1=n ，不等式成立

2． 假设当m n =时，不等式成立，即2

2)(1)2(1)1(1+>++m m m k k k 当1+=m n 时，左

边

=2)2(422)1(1)(1)2(1)1(1+++>+++++m m m m k m k k k 22)2(442+++=m m m 由0)

3()2(43)1(2)2(442222>++=++-+++m m m m m m m

所以3

)1()1(2)1(1)(1)2(1)1(1+++>+++++m m m k m k k k 即当1+=m n 时，不等式也成立综上得 2

2)(1)2(1)1(1+>+++n n n k k k