(完整版)2012-2013《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期

《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案

考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!

一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）

1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则

1

n n A ∞=∈A ;

（D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ???

,则

1

n n A ∞

=∈A .

2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c

（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ???

，则1

li (

)()m n n n n P A A P ∞→∞

==；

（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1

1

(

)()n n n n P P A A ∞

∞===∑.

3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100

0()k A k f kI ω==∑，其中1000

,,

i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

若已知100

100!1

!(100)()!2

k k k P A -=

，则2f dP Ω=? . 0

2

10(),2550

2525k

k kP A =+=∑

4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度

2,01,0,

(,)0,x y x f x y <<<

?

其他， 则[[|]]E E X Y = .2/3

5. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为

1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；

（2）20

(())E X t dt π

=? .

,0,(;1)01,x

cos x e cos f x ωω-?>?

=???

其他，20(1())E X t dt π

ω=? 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1

()()X t W t

=，则相关

函数2

(1,2)2

X R σ=

.

7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为

0.50.500.50.500.20.30.5P ?? ?= ? ???

则（1）()

11

lim n n p

→∞

= ；（2）()

33

n n p ∞

==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）

1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为

22

12

2

22

1(,)2x x f x y e σπσ

+-

=

,

令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .

解解.（1） 解方程22,,u x y v y ?=+?=?

得|,,u x v y v ??=???≤=

所以雅可比行列式220

J

u v =

=-, 故

2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-?≤?==???

其他. ……5分

（2）对0u >，

2

22

1(,))2(u u U u

g u e g u v d v v σπσ-

∞

-∞-==

??

2

2

222

2

22u u

u u

e e u u σ

σπσ

σ

-

-

-=

=

?

,

故2

22,0,()20,.u

U e

u u g u σσ-?>?=???

其他

……10分

2.（10分）设(,)U V 的概率密度

,0,0,

(,)0,

u e u v v g u v -?->>=??其他，

（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),

10V V I ωω>∈>?=??，

其他，（2）(|)D V U .

解 U 的边缘概率密度为

00,0,,0,

()(,)0,,0,

,u

u u u U e dv u e u u u v d u g v g --??>>?===??

?????其他其他 所以条件概率密度

|1

,0,

(,)(|)()0,V U U v u g u v v u u

g g u ?<

?其他. ……4分

（1）

101{1}|1

01

11

()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====??

……7分

（2）因为2

1(|)2

D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

……10分

3.（10分）设12,,

,n X X X 独立同分布，均服从两点分布，即

11{0},{1}=1-,(01)P X p P X p p ===<<，令12n X X X Y ++

+=，（1）求Y 的

特征函数；（2）求3()E Y .

解: （1）因为Y 服从二项分布(,)B n q ，所以Y 的特征函数

()()it n t p qe φ=+

……5分

（2）132()()n n E E X Y X X ++=+

2

3

1,1,,,1,()()n

n

n

i

i

j i j k i i j j i

i j k EX E X X E X X X ====/=+

+

∑∑

∑

互不相等

23(1)(1)(2)nq n n q n n n q =+-+--

……10分

三.随机过程题（共40分）

1. （10分）设1()(0)X t t ≥是参数为(0)λ>的泊松过程，即满足： (1)1(0)0;X =

(2)1()X t 为独立增量过程；

(3)对,0,s t ?≥有(){()()},0,1,!

k t

t e P X s t X s k k k λλ-+-==

=.

2()(0)X t t ≥也是参数为(0)λ>的泊松过程，且与1()X t 独立，令12()()()Y t X t X t =+，（1）求()(,)Y Y t R s t μ和；（2）求{(1)1}P Y =.

解：因为12()()()Y t X t X t =+是参数为2λ的泊松过程，所以

（１）2()2(,),min{,}24Y Y t R s t s t st λμλλ==+

……5分

（２）2{(1)1}2e

P Y λ

λ-==

……10分

2. （10分） 设{(),}t X t -∞<<∞是平稳过程，()f λ是其谱密度函数，（1）证明：对于任意的0h >，()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程；（2）求()Y t 的谱密度.

解 （1）0[()][()()]E Y t E X t h X t μμ+-=-==,

[()()][()()][()()]E Y t Y t E X t h X t X t h X t τττ+=++-++- ()()(2)X X X h h R R R τττ-=+--

与t 无关，则()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程。

……5分

（2）1

()()()()]2[2X X X i h h d f e R R R λτηλττττπ

+∞--∞

=

-+--?

2()()()ih ih f e f e f λλλλλ-=-- 2()(1cosh )f λλ=-.

……10分

3. （10分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为

1/21/41/41/201/21/21/20P ??

??=??

????

， 初始分布为0001

{0}{1}{2}3

P X P X P X ======, 求

(1) 124 {1,1,2}P X X X ===和1240 {1,1,2|=0}P X X X X ===; (2) 2X 的分布律.

解 (1) 21/21/41/41/23/81/81/21/83/8P ??

??=??????

(1)(1)(2)

011112124 {1,1,2}0}{i i

P X i X p P X p p X ======∑

1240011112 {1,1,2|=0}(2)0P X X X X p p p ===== ……６分

(2) 2

1/21/41/411

1(2)(0)1/23/81/8,24

41/21/83/111,,,3338p p P ??

????

??=== ? ??

?????

????

……10分

4.（10分）齐次马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3,}，一步转移概率矩阵为

1100000000221100000000221100000000220001000000111100000044441200000000331200000000331200000000331200

3

3

P ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?

确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.

解. （1）链可分, {1，4}{3}是不可分闭集, 状态空间{3}{1,{4}2,5,6,7,}E ?=?

……2分

（2） 周期

()1,1,2,...d i i ==.

……4分

（3） 设平稳分布为12(,,)πππ=?,则

,11,1,2,i i i P i ππππ==≥=?

??

?

????∑

解之得(,0,,,0,0,)p q p π=,其中0,0,21q p p q ≥≥+=. ……7分

（4） 所以1,3,4正返态,其余都不是常返态，又因为

4224111

1,1,1,6,7,243

ii f f f i =

<=<=<=?，所以2,4,6,7,?都为非常返态。

……10分