二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析

练习：

1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，

2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）

A ．1y ＞2y

B ．1y 2y =

C ．1y ＜2y

D ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．

的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0

C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x

D. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.

3、如图是二次函数y =ax 2

+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．

4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）

5、在反比例函数a

y x

=

中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）

6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）

7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）

①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点

A

B A ．

B ．

C ．

(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D

)

A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大

B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小

C. 存在一个负数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大

D. 存在一个正数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④

B. ①④

C. ②③

D. ①③

11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值

小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）

(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0

(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定

12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的

函数的一些结论：

① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（

31，3

8

）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2

3

； ③ 当m < 0时，函数在x >

4

1

时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）

A. ①②③④

B. ①②④

C. ①③④

D. ②④

(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移

二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)

平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)

移），，对于旋转、对称变换也是一样。

结论：抛物线y =ax 2+bx +c

关于x y= -ax 2-bx-c 抛物线y =ax 2+bx +c 关于y y= ax 2

a 取相反数. k 绕顶点旋转180°后的解析式为y = -a (x -h )2+k

练习：

1.1个单位，得到的抛物线是（ C ）

A. y=－－2（x －1）2 C. y=－2x 2+1 2.抛物线5经过平移得到2

2x y -=，平移方法是( D A 3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

3. 把抛物线y =x 2

+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2－3x ＋5，则( A )

A . b =3,c =7 B. b =6,c =3 C. b =－9,c =－5 D.b =－9,c =21

4.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( B ) A ．y ＝2(x －2)2 + 2 B ．y ＝2(x + 2)2－2 C ．y ＝2(x －2)2－2

D ．y ＝2(x + 2)2 + 2

5.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）． A ．221216y x x =--+ B ．2

21216y x x =-+- C ．2

21219y x x =-+- D ．2

21220y x x =-+-

6.将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. 2x y -=

B. 12+-=x y

C. 12-=x y

D. 12--=x y

7.如图，两条抛物线12121+-

=x y 、12

1

22--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为

（ A ）

A ．8

B ．6

C ．10

D ．4

(三)二次函数与一元二次方程的关系

（1）如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x= x 0时，函

数的值是0，因此x= x

是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根.

（2）二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共

点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax 2+bx+c=0根的三种情况(没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根)及一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式的三种情况.

（3）二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系见表:

说明：不要忽视利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。 练习：

1. 已知二次函数的解析式是322--=x x y .

（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （2）当x 为何值时，函数值y =0？

（3）当-3

(2) 令0322=--x x ，解得3,121=-=x x

∴当x = -1或3时，函数值y =0 (3) 观察图象知：-4≤y ＜12

2.二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ B ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3. 已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于

x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .

（11-=x ，32=x ）

4.二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2

0ax bx c ++=的两个根；（11x =，23x =）

（2）写出不等式2

0ax bx c ++>的解集；（13x <<）

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（2x >） （4）若方程2

ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.（2k <）

5.二次函数y =kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（

A. k<3

B. k<3且k≠0

C. k≤3

D. k≤3且k≠0

6. 函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c -2=0

的根的情况是（ A ）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个异号的实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．没有实数根 7.二次函数y = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：

利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（ D ）． A ．x ＜0或x ＞2 B ．0＜x ＜2 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．－1＜x ＜3

8. 下列表格是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0 （a ≠0，a

A. 6

B. 6.17

C. 6.18

D. 6.19

9.已知二次函数y 1=x 2-x -2和一次函数y 2=x +1的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当y 1＞y 1时，自变量x 的取值范围是（ A ）

A ．x ＜-1或x ＞3

B ．-1＜x ＜3

C ．x ＜-1

D ．x ＞3 10.已知二次函数y =ax 2＋bx ＋c （其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说

法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11.下列命题：

①若a+b+c=0，则b 2－4ac≥0； ②若b>a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b 2－4ac>0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ B ）．

Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 12.已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=． （1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若

1

55

m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 解：（1）依题意，得0≠m ，

∴2242=--=-=m

m a b x ， 24168164)4()24(4442222-=

--=--

-=-=m

m m m m m m m a b ac y ．

∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．

解法二：y=m(x 2?4x+4) ?2=m(x?2)2?2，∵m≠0，∴

顶点为)2,2(-.

（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，

∴02442

=-+-m mx mx 的根是整数．

∴22x m

==±

． ∵0m >，∴2x

=

∴2

m

是完全平方数．

∵155m <<， ∴22

105m <

<

∴2

m 取1，4，9， 当21m =时，2=m ； 当24m =时，21=m ； 当29m =时，

m ∴m 的值为2或21或2

9

．

∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或29y =

13.已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个

公共点.

（1）求C 1的顶点坐标；

（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x

轴的一个交点为A （-3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；

（3）若n

y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围. 解：（1）1,1)1(222-=-++=++=x m x m x x y 对称轴为

x 与 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.

∴C 1的顶点坐标为（-1，0）

（2）设C 2的函数关系式为,)1(2k x y ++=

把A （-3，0）代入上式得,4,0)13(2-==++-k k 得 ∴C 2的函数关系式为.4)1(2

-+=x y

∵抛物线的对称轴为x x 与,1-=轴的一个交点为A （-3，0），

由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.

（3）当x y x 随时,1-≥的增大而增大，

当.2,,121>∴>-≥n y y n 时

,12),,2(),(,111-≥-----

.4,22,21-<∴>--∴>n n y y .42:-<>n n 或综上所述

（四）二次函数的解析式 1.二次函数的几种表达形式

关注各种表示之间的联系与转化，也就关注了学生对函数关系的理解、对数学方法的理解。事实上，这一思想渗透在二次函数整章的内容中，如一般二次函数的作图，始终都在考虑表达式与图象之间的联系、表达式的变化引起图象相应的什么变化等。一直在用分析、推理的方法，而不只是简单的描点作图。

对于用表格表示二次函数，突出的是自变量和函数值的对称性，由表格中的数值可以直接获取函数及图象的某些特征（比如对称轴，最值、图象顶点等），这一点在近年中考题中有所体现。在教学中，数形结合我们可能更多的关注依形判数，其实用表格表示二次函数，是由数到形的转化，如在二次函数y =x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：

-n , y 1)(n , y y 2)

则m的值为__________.－1

2. 用待定系数法求二次函数的解析式

二次函数的解析式的几种形式

一般形式：y＝ax2＋bx＋c （a≠0）

顶点式：y=a(x－h)2+k （a≠0，（h，k）是抛物线的顶点坐标）

交点式：y= a(x－x1) (x－x2) （a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）

课本并没有系统讲解二次函数的解析式.但是我们认为新课标所提出的要求应该是对学生的最低要求，它并不反对教师结合学生的实际对教材的重新处理.学习二次函数的解析式的确定对二次函数顶点、二次函数与二次方程的关系等知识可以加深印象.在教学过程可以通过一题多解及变式练习，帮助学生理解和巩固。例如

（1）如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，试确定a，b，c的值.

变式一：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，当x＝－2时，函数的最大值为4，试确定a，b，c的值.

变式二：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，对称轴是直线x＝－2，最高点的纵坐标为4，试确定a，b，c的值.

（2）如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－3，0）、（1，0）、（0，－3），试确定a，b，c的值.

变式一：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是－3、1，与y轴交点的纵坐标是－3，试确定a，b，c的值.

变式二：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－3，0）、（0，－3），且对称轴是x=－1，试确定a，b，c的值.

变式三：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－4，5）、（0，－3），且对称轴是x=－1试确定a，b，c的值.

变式四：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－4，5）、（2，5）、（1，0），试确定a，b，c的值.

说明：在求解过程中尽量不用三元一次方程组，其实，抓住条件转化，不列反而简单。（五）二次函数的实际应用的几类常见问题

（1）物体飞行问题（跳远、投篮、喷水等）

（2）桥拱水面问题

（3）最优化问题（利润、费用等）

（4）图形问题

前两类问题通常需要建立恰当的直角坐标系（一般题中已经建好），把实际问题中的条件转化为平面直角坐标系中的点的条件，用待定系数法求出二次函数解析式，再求解相关问题。

后两类问题通常直接根据实际问题中的各个量之间的关系寻求变量间的关系，经过整理后得到二次函数解析式，再由函数性质求解问题。

在解决实际问题时，把实际问题中的条件转化为数学问题是关键。因此在教学中，要突出转化的过程。

（六）与二次函数有关的综合题

二次函数在各地近年中考中，考查形式多样，拓展面广，加强了数学思想方法的考查，与方程、圆等知识的综合的问题难度没有明显增加。

解二次函数综合题特别是解与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础. 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键.

[例题]

1、已知抛物线)0()21(22≠+-+=k k x k x y 与x 轴交于两点A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2），顶点为C .

(1) 若△ABC 为直角三角形，求k 的值； (2) 若△ABC 为等边三角形，求k 的值. 解：(1) 作CD ⊥AB 于D ，则AD =DB

∵△ABC 为直角三角形 ∴AD =CD ∵a AD 2?

=，a

CD 4?=

∴a

a 42?=

? ∵△≠0， ∴△=4 ∵△= -4k +1 ， ∴-4k +1=4， 4

3

-

=k (2) 同理∵△ABC 为等边三角形

∴CD =3AD ∵a AD 2?

=，a

CD 4?= ∴

a

a

234?

=

? ∵△≠0， ∴△=12

∵△= -4k +1， ∴-4k +1=12，4

11

-

=k 2、（2011年海淀一模）已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=. （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；

（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.

证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ?=-=---=-+=-≥0，

所以方程总有两个实数根.

解：（2）由（1）2(5)m ?=-，根据求根公式可知,

方程的两根为：

x =即：11x =，24x m =-, 由题意，有448m <-<，即812m <<.

（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知

抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -），由题意，可得：14m -=-或44m m -=-，即3m =或4m =.

3、（2010年海淀二模）已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）. （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；

（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C .

①当AC =

②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（t >0），同时将直线l ：3y x =沿y 轴

正方向平移t 个单位.平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值

时，在直线'l 上存在点P ，使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形? 解：（1）证明：令0y =,则2(2)20x a x a +--=.

△=22)2(8)2(+=+-a a a ．

∵ 0>a , ∴ 02>+a ．∴ △0>.

∴ 方程2(2)20x a x a +--=有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线与x 轴有两个交点.

（2）①令0y =,则2

(2)20x a x a +--=，

解方程，得122,x x a ==-.

∵A 在B 左侧，且0a >，∴抛物线与x 轴的两个交点为A (,0)a -，B (2,0).

∵ 抛物线与y 轴的交点为C ，∴ (0,2)C a -. ∴ ,2AO a CO a ==.

在Rt △AOC 中，222AO CO +=，22(2)20a a +=． 可得 2a =±．∵ 0a >，∴ 2a =． ∴ 抛物线的解析式为24y x =-.

②依题意，可得直线'l 的解析式为3y x t =+，'A (2,0)t -，'B (2,0)t +, ''4A B AB ==. ∵ △''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形， ∴ 当''90PA B ∠=?时，点P 的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --.

∴ 3(2)4t t -+=. 解得 52t =

或1

2

t =. 当''90PB A ∠=?时，点P 的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-.

∴3(2)4t t ++=. 解得52t =-或1

2

t =-（不合题意，舍去）.

综上所述，52t =或1

2

t =.

4、(2011年西城一模)抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．

（1）求证：

1

023

b a +>； （2）抛物线经过点1

(,)2

P m ，Q (1,)n ．

① 判断mn 的符号；

② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），

请说明116x <

，21

12

x <<． （1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴ 12362366b a b c c

a a a a

++==-=-．

∵ a ＞0，c ＜0，∴ 0c a <，0c a ->． ∴ 1

023

b a +>．

（2）解：∵ 抛物线经过点P 1

(,)2

m ，点Q (1,)n ， ∴

1

1 ,

4

2 .

a b c m a b c n ?++=???++=? ① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0， ∴ 223a b c +=-

，223

a

b c =--． ∴ 1112111

()42424312

b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0．

2(2)33

a a

n a b c a c c c =++=+--+=-＞0．

∴ 0mn <．

② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．

∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1

(,)2

m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方． ∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），

∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足

21

12

x <<．

（如图所示）∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知1

23

b a -<， ∴ 12123x x +<．

∴ 12221332x x <-<-，即116x <