【精品线代试题】大学线代 考研线代第三章复习题

第三章向量复习题

一、填空题：

1.当____时，向量线性无关.

2..向量则6，

3.如果线性无关，且不能由线性表示，则

的线性无关

4.设,，当5/2时，线性相关.

5.一个非零向量是线性无关；的，一个零向量是线性相关的.

6.设向量组A:线性无关，，，线性相关

7.设为阶方阵，且，是A X=0的两个不同解，则一定线性相关

8.向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是

等于。(填大于，小于或等于) 9.设向量组,,线性相关，则的值为

。

二、选择题：

1..阶方阵的行列式,则的列向量（A）

Ａ．线性相关Ｂ．线性无关Ｃ．Ｄ．

2.设为阶方阵，，则的行向量中（A）

A、必有个行向量线性无关

B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关

D、任一行都可由其余个行向量线性表示

3.设有维向量组（Ⅰ）：和（Ⅱ）：，则（B）．

A、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关

B、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关

C、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关

D、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关

4.下列命题中正确的是(D)

(A)任意个维向量线性相关(B)任意个维向量线性无关

(C)任意个维向量线性相关(D)任意个维向量线性无关

5.向量组线性相关且秩为s，则(D)

（A）(B)(C)(D)

6.维向量组(3≤s≤n）线性无关的充要条件是（）. (A）中任意两个向量都线性无关

(B)中任一个向量都不能用其余向量线性表示

(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(D)中不含零向量

7.向量组线性无关的充要条件是（C）

A、任意不为零向量

B、中任两个向量的对应分量不成比例

C、中有部分向量线性无关

D、中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示

8.设为阶方阵，，则的行向量中（D）

A、必有个行向量线性无关

B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关

D、任一行都可由其余个行向量线性表示

9.设为阶方阵，且秩是非齐次方程组的两个不同的解向量,则的通解为(A)

A、B、C、D、

10.已知向量组的秩为2，则（）.

A、3

B、-3

C、2

D、-2

11.设为阶方阵，，则的行向量中（A）

A、必有个行向量线性无关

B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关

D、任一行都可由其余个行向量线性表示

12.设向量组A:线性无关，则下列向量组线性无关的是（C）

A、，，

B、，，

C、，，

D、，，

13.A、B均为n阶方阵，X、Y、b为阶列向量，则方程有解的充要条件是（C）

A、B、C、D、

14.已知向量组A线性相关，则在这个向量组中(C)

(A)必有一个零向量.

(B)必有两个向量成比例.

（C)必有一个向量是其余向量的线性组合.

(D)任一个向量是其余向量的线性组合.

15.设为阶方阵，且秩,是非齐次方程组的两个不同的解向量,则的通解为()

（A）（B)（C)(D)

16.已知向量组线性相关，则（C）

（A）该向量组的任何部分组必线性相关.

（B)该向量组的任何部分组必线性无关.

（C)该向量组的秩小于.

(D)该向量组的最大线性无关组是唯一的.

17．已知则(C)

（A）线性无关（B)线性相关

（C)能由线性表示(D)能由线性表示

18.若有则k等于

(A)1(B)2(C)(D)4

第三题计算题：

1.已知向量组

（1）求向量组的秩以及它的一个极大线性无关组；

（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

解:：

其极大线性无关组可以取为

且：，

2.求向量组：，，，

，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.

解：由题意，

故向量组A的一个极大无关组为，其中

3.设

1)a为何值时,线性无关.

2)a为何值时,线性相关.

4.求向量组的极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.

解第一步先用初等行变换把矩阵化成行(最简形)阶梯形矩阵．

即，或均为的极大无关组，记

，由矩阵F可见，则有.

5.已知，问为何值时，可由唯一线性表示？并写出表示式

解

（1）当时，线性相关.

当时，线性无关.

6.设矩阵,

求矩阵A的列向量组的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.

解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵

,

知R(A)=3,故列向量组的极大无关组含3个向量.而三个非零行的首非零元在1、2、4列,故a1,a2,a4为列向量组的一个极大无关组.这是因为

名：

学号：

封

---------------------------线------------------------------------------------

出密封线）

,

知R (a 1,a 2,a 4)=3,故a 1,a 2,a 4线性无关.（4

分）

把上列行最简形矩阵记作B =(b 1,b 2,b 3,b 4,b 5),由于方程A x =0与B x =0同解,即方程

x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3+x 4a 4+x 5a 5

=0与x 1b 1+x 2b 2+x 3b 3+x 4b 4+x 5b 5=0同解,因此向量a 1,a 2,a 3,a 4,a 5之间与向量b 1,b 2,b 3,b 4,b 5之间有相同的线性关系.现在

,

b 5=4b 1+3b 2-3b 4,因此

a 3=-a 1-a 2

,a 5=4a 1+3a 2-3a 4.7.求向量组

:

，

，

，

，

的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.

解：由题意，

故向量组A 的一个极大无关组为，其中，

8.试求向量组

=(1,1,2,2)T ,=(0,2,1,5)T ,=(2,0,3,-1)T ,=(1,1,0,4)T 的秩和该向

量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。

解:

以,,,作为列构造矩阵A,即A=(,,,)

用初等行变换化A为行阶梯形矩阵T,则T的非零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T?0,则T?0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组. A=(,,,)=

=T,

所以R(A)=3.故R(,,,)=3.

9.求向量组=(1,-2,3,-1,2)T,=(3,-1,5,-3,-1)T,

=(5,0,7,-5,-4)T,=(2,1,2,-2,-3)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。

解:

以,,,为列构造一个矩阵A=(,,,),

对A施行初等行变换化为行最简形矩阵,

A=(,,,)

=

=B=(,,,)

故秩(,,,)=2.

此向量组的一个最大无关组为：,,

因为初等行变换将线性方程组变成同解的线性方程组，即A x=0与B x=0同解，

于是线性方程组与同解。

由B的结构可以看出：，，故

，

四、证明题：（10分）

1.设向量组线性无关，证明也线性无关。

设存在数，使成立

由得，

。

线性无关

线性无关。

2.设向量组：线性无关，求证：，，线性无关.

证明：设存在数，使成立。

由得，

。2分

线性无关

4分

，，线性无关.

3.已知向量组线性无关，，试证明向量组

线性无关.

证设有一组数使++=0，即

成立.整理得

由线性无关，故

因为此方程组的系数行列式，

故方程组仅有零解===0，因而向量组，，线性无关.

4.已知向量组线性无关，线性无关.

.证：因为

因而向量组线性无关.

5.若向量组线性无关，而，，

，试证：线性无关。

证明：

设存在常数，使得

得

由线性无关得，

由于它的系数行列式

由克莱姆法则，此方程只有零解,

因此线性无关。

方法2

由已知，=

由于，故矩阵可逆，

由矩阵的秩的性质可知：=

又因为向量组线性无关，所以=3.

则=3.

故线性无关.

6.已知向量组:，，向量组:，

，，证明：向量组与向量组等价.

证明：由对矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵

,

知＝=2.

显然在中有二阶非零子式,如故,

又=2.,所以

从而＝＝.

因此向量组A与向量组B等价.