全等三角形几种类型总结
全等三角形与角平分线
全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形: 能够完全重合的多边形就是全等多边形.
相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.
如下图,两个全等的五边形,记作:五边形 ABCDE 也五边形A'B'C'D'E'.
全等三角形:能够完全重合的三角形就是全等三角形. 全等三角形的对应边相等,对应角分别相等;
反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等. 全等三角形的概念与表示:
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、
角分别叫作对应顶点、对应边、对应角?全等符号为
么”.
全等三角形的性质: 对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的 角平分线相等,面积相等.
寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的,公共边常是对应边. (4) 有公共角的,公共角常是对应角. (5) 有对顶角的,对顶角常是对应角. 全等三角形的判定方法:
(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.
(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 判定三角形全等的基本思路:
找夹角 SAS
已知两边 找直角 HL
找另一边
SSS
边为角的对边T 找任意一角T AAS
找这条边上的另一角T ASA 找这条边上的对角T AAS 找该角的另一边T
SAS
找两角的夹边 ASA 找任意一边
AAS
已知一边一角
边就是角的一条边 这里符号“也”表示全等,读作“全等于”
E'
D'
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:
⑴平移全等型
由全等可得到的相关定理:
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
⑵ 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上. ⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等
(即等边对等角)?
⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. ⑸等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直
平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
⑺和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质:
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 它们具有互逆性.
角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式: 1 ?由角平分线上的一点向角的两边作垂线, 2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形,
3.
OA OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍,
三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理:
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一 (底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合 )
三角形中位线定义: 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理: 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理 (以后还要学习中线长公式),尤
其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见.
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
半例题精讲
板块一、全等三角形的认识与性质
在AB、AC上各取一点E、D,使AE AD,连接BD、CE相交于0再连结AO、BC ,
若1 2,则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试AF BD .
)如图,AC II DE , BC II EF , AC DE .求证:【例3】(2008年宜宾市)已知:如图,AD BC , AC BD,求证: C D .
【例1】
【巩固】如图所示, AB AD , BC DC , E、F在AC上,AC与BD相交于P .图中有几对全等三角形?请一一找出来,并简述全等的理由
.
C
【巩固】如图, AC 、BD 相交于0点,且 AC BD , AB CD ,求证:OA OD .
【例4】(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB DC ,
BE CF , B C .求证:OA OD .
【例5】 已知,如图, AB AC , CE AB , BF AC ,求证:BF CE .
【例6】 F 分别是正方形 ABCD 的BC 、CD 边上的点,且 BE
CF .求证:AE BF .
【巩固】
E 、
F 、
G 分别是正方形 ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点, BG CF BC .
GE EF , GE EF .求证:
【例7】在凸五边形中, B E , C D , BC DE , M 为 CD 中点?求证:AM CD .
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D
C
D
F
C
板块三、截长补短类
【例1】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作 DMN 60 , 射线
MN 与/ DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与MN 有怎样的数量关系?
【巩固】如图,点 M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点, MN DM 且与Z ABC 外角的平分线交于 点N ,
MD 与MN 有怎样的数量关系?
【例2】 如图,AD 丄AB , CB 丄
AB ,
的长为 ()
DM =CM = a , AD= h , CB=k , Z AMD =75° Z BMC=45° 贝U AB
D.
h
【例3】已知:如图, ABCD 是正方形,Z FAD= Z FAE.求证:BE + DF=AE.
A
【例4】 如图所示, ABC 是边长为1的正三角形, BDC 是顶角为120°的等腰三角形,以 D 为顶点
作一个60°的 MDN ,点M 、N 分别在 AB 、AC 上,求 AMN 的周长.
【例 5】 五边形 ABCDE 中,AB=AE ,BC+DE=CD ,/ ABC+ / AED = 180° 求证:AD 平分/ CDE
板块四、与角平分线有关的全等问题
OD 3,求 ABC 的面积.
BD CD ,求证:AB AC
.
【例1】如图,已知 ABC 的周长是21 , OB ,
OC 分别平分 ABC 和 ACB , OD BC 于 D ,且
【例2】在ABC 中,
D 为BC 边上的点,已知 BAD CAD ,
D
F
C
C
A