2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 双 曲 线
第六节双_曲_线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞F1F2时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
[小题体验]
1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为________．
解析：∵双曲线的标准方程为x 210－y 2
2＝1，∴a 2＝10，b 2＝2，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，c ＝23，
故焦距为4 3.
答案：4 3
2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长为________．
解析：双曲线2x 2
－y 2
＝8的标准方程为x 24－y 2
8
＝1，实轴长为2a ＝4.
答案：4
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
5＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．
解析：∵右焦点为(3,0)，∴c ＝3.∴a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝3
2.
答案：3
2
1．双曲线的定义中易忽视2a ＜F 1F 2这一条件．若2a ＝F 1F 2，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞F 1F 2，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．
若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．
3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2
＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b
a ，
当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a
b .
[小题纠偏]
1．设P 是双曲线x 216－y 2
20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF 1＝9，
则PF 2等于________．
解析：由题意知PF 1＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有PF 2－PF 1＝2a ＝8，故PF 2＝PF 1＋8＝17.
答案：17
2．若a ＞1，则双曲线x 2a
2－y 2
＝1的离心率的取值范围是________．
解析：由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1
a . 即e 2
＝a 2＋1a 2＝1＋1
a
2.
因为a ＞1，所以0＜1
a 2＜1，
所以1＜1＋1
a 2＜2，所以1＜e ＜ 2.
答案：(1，2)
3．离心率为3，且经过(－3，2)的双曲线的标准方程为________． 解析：当双曲线的焦点在x 轴上时，设方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1.
则有????? c
a
＝3，3a 2
－4
b 2＝1，a 2
＋b 2
＝c 2
.
解得?
????
a 2＝1，
b 2＝2.
所以所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
2
＝1.
当双曲线焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1.
则有?????
c
a ＝3，4a 2
－3
b 2＝1，a 2
＋b 2
＝c 2
.
解得?????
a 2＝52，
b 2＝5.
所以所求双曲线的标准方程为y 252－x 2
5＝1.
答案：x 2
－y 22＝1或y 252
－
x 2
5
＝1
考点一 双曲线的标准方程 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．若方程x 2k －3＋y 2
k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的取值范围是________．
解析：依题意可知(k －3)(k ＋3)＜0，解得－3＜k ＜3. 答案：(－3,3)
2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的标
准方程为________．
解析：因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝5
4，所以c ＝5，a ＝4，b 2
＝c 2
－a 2
＝9，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 2
9
＝1.
答案：x 216－y 2
9
＝1
3．若以F 1(－3，0)，F 2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．
解析：依题意，设题中的双曲线方程是x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有?????
4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，
解得a 2＝2，b 2＝1.
因此该双曲线的标准方程是x 22－y 2
＝1.
答案：x 22
－y 2
＝1
4．(2019·苏锡常镇调研)已知双曲线Γ过点(2，3)，且与双曲线x 24－y 2
＝1有相同的渐
近线，则双曲线Γ的标准方程为________．
解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为x 24－y 2
＝λ，将点(2，3)的坐标代入，得1
－3＝λ，∴λ＝－2，∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝－2，其标准方程为y 22－x 2
8
＝1.
答案：y 22－x 2
8
＝1
[谨记通法]
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2
＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 考点二 双曲线的定义 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2
＝90°且AF 1＝3AF 2，则双曲线的离心率为________．
解析：因为∠F 1AF 2＝90°，
故AF 21＋AF 22＝F 1F 22＝4c 2
，
又AF 1＝3AF 2，且AF 1－AF 2＝2a ， 故10a 2
＝4c 2
，故c 2a 2＝52
，
故e ＝c a ＝102.
答案：
102
2．(2018·海门中学检测)已知双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支
上一点．若PF 1＝4
3
PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．
解析：由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝1
3PF 2＝2a ＝2，
解得PF 2＝6，故PF 1＝8， 又F 1F 2＝10，
由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1
2PF 1·PF 2＝24.
答案：24
[由题悟法]
应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
[即时应用]
1．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P
使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝9
4
ab ，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题设条件得PF 1＋PF 2＝3b ，由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，两个式子平方相减得PF 1·PF 2＝9b 2－4a 24，则9b 2－4a 24＝94ab ，整理得(3b －4a )·(3b ＋a )＝0，即b a ＝4
3，所
以e ＝
1＋????b a 2＝5
3.
答案：53
2．设双曲线x 24－y 2
2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，
B 两点，则BF 2＋AF 2的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为x 24－y 2
2＝1，得a ＝2，
由双曲线的定义可得AF 2－AF 1＝4，BF 2－BF 1＝4， 所以AF 2－AF 1＋BF 2－BF 1＝8. 因为AF 1＋BF 1＝AB ，
当AB 是双曲线的通径时，AB 最小， 所以(AF 2＋BF 2)min ＝AB min ＋8＝2b 2
a ＋8＝10. 答案：10
考点三 双曲线的几何性质 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]
双曲线的几何性质是高考命题的热点． 常见的命题角度有：
(1)求双曲线的离心率或范围； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)双曲线性质的应用．
[题点全练]
角度一：求双曲线的离心率或范围
1．(2018·海安高三质量测试)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b
＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知b a ＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，所以e ＝c
a ＝2. 答案：2
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，以A 为圆心，
b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，设点M ，N 在渐近线y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0上，则圆
心A 到此渐近线的距离d ＝
|ba －a ×0|b 2＋a 2
＝ab
c .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°
＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23
＝233.
答案：
23
3
角度二：求双曲线的渐近线方程
3．(2019·徐州调研)若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C
的渐近线方程为________．
解析：∵双曲线C 的离心率为10，∴e ＝c
a ＝10，则c 2＝10a 2＝a 2＋
b 2，得b 2＝9a 2，
即b ＝3a ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±3x .
答案：y ＝±3x
角度三：双曲线性质的应用
4．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线右支
上的任意一点，若PF 21
PF 2
的最小值为9a ，则双曲线的离心率为________．
解析：在双曲线中，P 为右支上一点，则PF 1＝PF 2＋2a ，则PF 21
PF 2＝(PF 2＋2a )2PF 2＝PF 2＋
4a 2PF 2
＋4a ≥24a 2
＋4a ＝8a (当且仅当PF 2＝2a 时取等号)，因为已知????
PF 2
1PF 2min ＝9a ，故PF 2≠2a ，
在双曲线右支上点P 满足(PF 2)min ＝c －a ，则c －a ＞2a ，即c ＞3a ，故e ＞3，又由PF 21PF 2≥9a ，
即(c ＋a )2c －a
≥9a 可得e ≤2或e ≥5，综上可得，e ≥5，故当PF 21PF 2取最小值9a 时，e ＝5.
答案：5
[通法在握]
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．
[演练冲关]
1．(2019·通州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的四个顶点都在双曲线x 2
a 2
－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范
围是________．
解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A (m ，m )，则双曲线m 2a 2－m 2
b 2＝1，可
得m 2
＝a 2b 2b 2－a
2＜c 2，即c 2b 2－c 2a 2＞a 2b 2，又c 2＝b 2＋a 2，化简可得c 4－3c 2a 2＋a 4＞0，即e 4
－3e 2＋1＞0，又e ＞1，解得e ＞1＋52
，
故该双曲线的离心率的取值范围是? ????1＋52，＋∞. 答案：? ??
??1＋52，＋∞
2．(2018·无锡调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
4，焦点到渐近线的距
离为3，则C 的实轴长等于________．
解析：因为e ＝c a ＝54，所以c ＝5
4a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，
焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b
2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516
a 2
－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.
答案：8
3．(2018·盐城二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝4
3x 与双
曲线相交于A ，B 两点．若AF ⊥BF ，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)，
联立???
y ＝43
x ，x 2a 2
－y
2b 2
＝1，
整理得(9b 2
－16a 2
)x 2
＝9a 2b 2
，即x 2
＝9a 2b 2
9b 2－16a 2
，
∴A 与B 关于原点对称， 设A ????x ，43x ，B ?
???－x ，－4
3x ， 则FA ―→＝????x －c ，43x ，FB ―→
＝????－x －c ，－43x ， ∵AF ⊥BF ，∴FA ―→·FB ―→
＝0， 即(x －c )(－x －c )＋4
3x ×????－43x ＝0， 整理得c 2＝
259
x 2
，
∴a 2
＋b 2
＝25
9×9a 2b 29b 2－16a 2
，
即9b 4－32a 2b 2－16a 4＝0， ∴(b 2－4a 2)(9b 2＋4a 2)＝0，
∵a ＞0，b ＞0，∴9b 2＋4a 2≠0，∴b 2－4a 2＝0，故b ＝2a ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±2x . 答案：y ＝±2x
4．已知双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则
PA 1―→·PF 2―→的最小值为________．
解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1―→＝(－1－x ，－y )，PF 2―→
＝(2－x ，－y )，PA 1―→·PF 2―→
＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，PA 1―→·PF 2―→取
得最小值－2.
答案：－2
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·滨湖月考)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2
3x ，实轴长为12，则该双曲线的
标准方程为________________．
解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2
3
x ，实轴长为12，
∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，a ＞0，b ＞0，此时
?????
b a ＝23，2a ＝12，
解得a ＝6，b ＝4，∴双曲线方程为x 236－y 216
＝1.
当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2
a 2－x 2
b
2＝1，a ＞0，b ＞0，此时?????
a b ＝23
，2a ＝12，
解得a ＝6，b ＝9，∴双曲线方程为y 236－x 2
81
＝1.
答案：x 236－y 216＝1或y 236－x 2
81＝1
2．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是________． 解析：依题意得m ＜0，双曲线方程是x 2
－y 2
－1m
＝1，于是有
－1m ＝2×1，m ＝－14
.
答案：－1
4
3．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为________．
解析：由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝1＋
b 2a
2＝3，所以b
a ＝2，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x
4．(2018·苏州高三暑假测试)双曲线x 2m －y 2
＝1(m ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m ＝________.
解析：因为双曲线的右焦点为(m ＋1，0)，抛物线的焦点为(2,0)，所以m ＋1＝2，解得m ＝3.
答案：3
5．(2019·常州一中检测)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m 2－y 2＝1(m ＞0)的一条
渐近线方程为x －3y ＝0，则实数m 的值为________．
解析：∵双曲线x 2
m 2－y 2＝1(m ＞0)的渐近线方程为x ±my ＝0，
已知其中一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴m ＝ 3. 答案： 3
6．(2018·苏北四市摸底)已知双曲线x 2
－y 2
m
2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，
则实数m ＝________.
解析：双曲线x 2
－y 2
m
2＝1(m ＞0)的渐近线为y ＝±mx ，
又因为该双曲线的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，所以m ＝33
. 答案：
33
二保高考，全练题型做到高考达标
1．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．
解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b
a
＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以
e ＝ 2.
答案： 2
2．(2018·常州期末) 双曲线x 24－y 2
12＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．
解析：因为a 2
＝4，b 2
＝12，所以c 2
＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x ＝－a 2
c
＝－1，
故右焦点到左准线的距离为5.
答案：5
3．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2
4＝1(a ＞0)的一条
渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a ＝________.
解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2
a x .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2
a
＝2，解得a ＝1.
答案：1
4．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．
解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ， 设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，
所以AB 中点坐标为????x 1＋x 22，x 1－x 22， 所以????x 1＋x 222－????x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2， 所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2.
答案：2
5．(2018·镇江期末)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，
则双曲线的离心率为________．
解析：由题意c －a 2c ＝2a ，即????c a 2－2·c a －1＝0，e 2
－2e －1＝0，解得e ＝1±2. 又因为双曲线的离心率大于1，故双曲线的离心率为1＋ 2. 答案：1＋ 2
6．(2019·连云港调研)渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点的坐标为(10，0)的双曲线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，
∴设双曲线方程为x 2
－y 2
4
＝λ(λ≠0)，∵一个焦点的坐标为(10，0)，
∴(10)2
＝λ＋4λ，解得λ＝2，∴双曲线的标准方程为x 22－y 2
8
＝1.
答案：x 22－y 2
8
＝1
7．(2019·淮安模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，
且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．
解析：将圆x 2＋y 2－10x ＝0化成标准方程，得(x －5)2＋y 2＝25， 则圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心为(5,0)．
∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (5,0)，又该双曲线的离心率等于5，∴c ＝5，且c
a ＝
5，∴a 2
＝5，b 2
＝c 2
－a 2
＝20，故该双曲线的标准方程为x 25－y 2
20
＝1.
答案：x 25－y 2
20
＝1
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右
支上，且PF 1＝4PF 2，则双曲线的离心率e 的最大值为________．
解析：由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ， 又已知PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝2
3
a ，
在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2
－4c 22·83a ·23a ＝178－9
8e 2，要求e 的最大值，
即求cos ∠F 1PF 2的最小值，
因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤5
3
，即e 的最大值为53
. 答案：5
3
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．
解：(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.
(2)证明：设MF 1―→
＝(－23－3，－m )， MF 2―→
＝(23－3，－m )．
所以MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， 因为M 点在双曲线上， 所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0， 所以MF 1―→·MF 2―→＝0.
(3)因为△F 1MF 2的底边长F 1F 2＝4 3. 由(2)知m ＝±3.
所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝1
2
×43×3＝6.
10．(2018·启东中学检测)已知双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，
一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程； (2)若点M
???
?55，m 在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2
为直径的圆上．
解：(1)依题意得???
a
b ＝2，
2×0＋c 5
＝1，
a 2
＋b 2
＝c 2
，
解得?
????
a ＝2，
b ＝1，故双曲线的方程为y 2
4－x 2＝1.
(2)证明：因为点M ????55，m 在双曲线上，所以m 24－15＝1.所以m 2＝245，
又双曲线y 2
4
－x 2＝1的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，
所以MF 1―→·MF 2―→＝????－55，－5－m ·????－55，5－m ＝
????552－(5)2＋m 2＝15－5＋245＝0，
所以MF 1⊥MF 2，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 29
－y 2
m ＝1的两条渐近线的夹角为60°，则双曲
线的离心率为________．
解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x ，y 轴对称，
若夹角在x 轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，斜率为±3
3，故
b a ＝3
3
. ∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴c 2－a 2a 2＝13，即e 2－1＝13，解得e ＝23
3
.
若夹角在y 轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，斜率为±3，故
b
a ＝ 3.同理可求得e ＝2.
综上，e ＝23
3或2.
答案：
23
3
或2 2．(2018·南通中学高三数学练习)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，
点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．
解析：由题意得F (－c,0)，A ????－c ，b 2
a ，B ????－c ，－b
2
a ，E (a ，0)．因为△ABE 是锐角三角形，所以EA ―→·EB ―→＞0，即EA ―→·EB ―→＝????－c －a ，
b 2a ·????－
c －a ，－b 2a ＞0.整理，得3e 2
＋2e ＞e 4.所以e 3－e －2e －2＝e (e ＋1)(e －1)－2(e ＋1)＝(e ＋1)2(e －2)＜0，解得0＜e ＜2.又e ＞1，所以e ∈(1,2)．
答案：(1,2)
3．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，
而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→
＞2，求k 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，
得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，
得???
1－3k 2
≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0，
所以k 2＜1且k 2≠1
3.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k
1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2
. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1
. 又因为OA ―→·OB ―→
＞2， 即x 1x 2＋y 1y 2＞2， 所以3k 2＋7
3k 2－1＞2，
即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得1
3＜k 2＜3.②
由①②得1
3＜k 2＜1，
故k 的取值范围为????－1，－33∪???
?33，1.
2019年江苏高考数学试题
2016年江苏数学高考试题 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________________. 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173 x y -=的焦距是________________. 4.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是________________. 5.函数y ＝232x x --的定义域是________ 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________ 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________
8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________ 9.定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________ 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆 22 22 1( ) x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线 2 b y=与椭圆交于B，C两点，且90 BFC ∠=，则该椭圆的离心率是________ 11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1，1)上， ,10, ()2 ,01, 5 x a x f x x x +-≤< ? ? =? -≤< ? ? 其中. a∈R若 59 ()() 22 f f -=，则f（5a）的值是________ 12. 已知实数x，y满足 240 220 330 x y x y x y -+≥ ? ? +-≥ ? ?--≤ ? ，则x2＋y2的取值范围是________ 13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4 BC CA ?=，1 BF CF ?=-，则BE CE ?的值是________ 14.在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________
2018江苏高考数学试卷与解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，
cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；
2020新课改高考数学小题专项训练1
2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5-
2019江苏卷数学高考真题【2020新】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 样本数据12,,,n x x x …的方差()2 2 11n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑． 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ . 2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ . 4．函数y =的定义域是 ▲ . 5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ . 6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 8．已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ . 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ . 10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4 (0)y x x x =+ >上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自 然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ， 则 AB AC 的值是 ▲ . 13．已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数. 当2(]0,x ∈ 时，()f x =，(2),01 ()1,122 k x x g x x +<≤??=?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关 于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．． 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
高考数学复习小题训练15
高考数学复习小题训练15
高考数学复习小题训练（15） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则 A ．0≤x ≤ B ．4π≤x ≤45π C ．4π≤x ≤47π D ．2 π≤x ≤23π 4．函数)11 2lg(-+=x y 的图象关于（ ）对称； ....A y x B x C y D =直线轴轴原点 5．在正方体ABCD －A 1BC 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， 则异面直线CP 与BA 1所成的角的取值范围是 A.02πθ<< B.02πθ<≤ C. 30πθ≤≤ D.03πθ<≤ 6．已知数列{}n a 的通项公式)(,2 1 log 2 *∈++=N n n n a n ，设{}n a 的前n 项 的和为n S ，则使5 - 赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行 淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次 A.53 B.52 C.51 D.50 8．若将))((b x a x --逐项展开得ab bx ax x +--2 ，则2 x 出现的频率 为14，x 出现的频率为1 2 ，如此将))()()()((e x d x c x b x a x -----逐项展开后，3 x 出现的频率是（ ） 32 5 .51.61.165.D C B A 9．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所 得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作[mod()]a b m ≡，例如：513[mod(4)]≡.若:2008 2[mod(7)]r ≡,则r 可以为（ ） .1.2.3.4A B C D 10．如图，过抛物线)(022 >=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若 BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ( ) A ．x y 232= B ．x y 92= C ．x y 2 9 2 = D ．x y 32 = 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷相应位置。 11、设函数 2 (1)(1)()41 (1) x x f x x x ?+ 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的 周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ． 2014江苏高考数学压轴题二 1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n– ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n) 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤| u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x2– 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)= 1,[1,0] 1,[0,1] x x x x +∈- ? ? -∈ ? ，是否满足题设条件？ 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1 x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分） 设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当 x= －1时，f (x)取得极大值 23 ，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式； （2） 试在函数 f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 ??上； （3） 若+213),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4()().3 n n f x f y -< 2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上， f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC． 2016年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题,每小题5分,满分70分） 1．（5分）已知集合A={﹣1,2,3,6},B={x|﹣2＜x＜3},则A∩B=． 2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）,其中i为虚数单位,则z的实部是． 3．（5分）在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣=1的焦距是． 4．（5分）已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是． 5．（5分）函数y=的定义域是． 6．（5分）如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是． 7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是．8．（5分）已知{a n}是等差数列,S n是其前n项和,若a1+a22=﹣3,S5=10,则a9的值是． 9．（5分）定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是． 10．（5分）如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是． 11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数,在区间[﹣1,1）上,f（x）=,其中a∈R,若f（﹣）=f（）,则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x,y满足,则x2+y2的取值范围是． 13．（5分）如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,?=4,?=﹣1,则?的值是． 14．（5分）在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是． 二、解答题（共6小题,满分90分） 15．（14分）在△ABC中,AC=6,cosB=,C=． （1）求AB的长； （2）求cos（A﹣）的值． 16．（14分）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1．求证: （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=． 2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是． 3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为． 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人． 5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是． 6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为． 7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程． 8．已知函数的定义域是，则实数a的值为． 9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为． 10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣ a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11 ．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则? 等于． 12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是． 13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是． 14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图 象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B= （1）若a=2，b=2，求c的值； （2）若tanA=2，求tanC的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点． （1）求证：直线EF∥平面BC1A1； （2）求证：EF⊥B1C． 2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 二、小题专项，限时突破 限时标准练(一) (时间：40分钟 满分：80分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }，则( ) A ．M P B ．P M C ．N ∩P ≠? D ．M ∩N ≠? [解析] M 为偶数集，N 为奇数集，因此P M . [答案] B 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 [解析] z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i ) (1＋i )(1－i ) ＝2i ＋2 2＝i ＋1，则|z |＝ 12＋12＝ 2. [答案] C 3．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．6 [解析] 由题意可得? ?? a 1q 2－3a 1q ＝2， 2(5a 1q 3)＝12a 1q 2＋2a 1q 4 ，解得a 1＝－1， q ＝2.∴{a n }的公比等于2. [答案] C 4．已知x ，y 满足约束条件???? ? x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0， y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最 大值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 [解析] 已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1,2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3. [答案] D 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝c b x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.22 C.32 D.63 [解析] 由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝2 2. [答案] B 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 ． 6 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 63 20 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为 1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：24 9．抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，1 2 ] 10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，AB AD 21= ，BC BE 3 2 =， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1 2 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2 -=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示 为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为 F ， 右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 ． 3 3 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x y 1 = （0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或10 14．在正项等比数列}{n a 中，2 1 5= a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．12 数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥 1 3 Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B I ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是________▲________. 4.已知一组数据4.7,4.8, 5.1,5.4,5.5，则该组数据方差是________▲________. 5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ . 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ . 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22 221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ， C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ . (第10题) 选择填空题快速训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中， cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 9.设F 1，F 2是双曲线4 2 x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2 B.22 C.4 D.8 10.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ） A.31 B.40 C.31或40 D.71或80 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A ∩B＝． 2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是． 3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
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