2020-2021学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试 数学 word版

广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二上学期

期末考试 数学

命题人：郭荣斌 审核人：黄庆珍

一、单项选择题：(每小题5分，共40分.) 1．抛物线y x 42

-=的准线方程是（ ）

A. 161=

y B.1=y C. 16

1=x D.1-=y 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=,其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3=t 秒时的瞬时速度是（ ）

A 7米/秒

B 6米/秒

C 5米/秒

D 8米/秒

3. 设,a b R ∈，则“a b >”是“2

()0a b b ->”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 4．如图,四棱锥P OABC -的底面是矩形,设OA a =,OC b =,OP c =,

E 是PC 的中点,则( )

A.111222BE a b c =-

-+ B.11

22BE a b c =--

+ C.11

22

BE a b c =-++

D.111

222

BE a b c =---

5．已知斜率为1=k 的直线与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>交于B A ,两点，若B

A ,的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为( ) A. 03=±y x B.

03=±y x C. 02=±y x D. 02=±y x

6. 已知点P 是抛物线x y 22

=上的一个动点，则点P 到点D ），（32

3

,2的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A.2 B.

25 C. 3 D. 2

7 7．如右图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方

形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为

( )

A ．316π

B ．325π

C ．3

64π

D ．3100π

8．已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分

别是1，12，则PN PM ?的取值范围为( ) A.[－

12，0] B.[－34，0] C.[－12，1] D.[－3

4

，1] 二、多项选择题：(每小题5分，共20分.)

9．关于双曲线122

2

=-y x 有下列四个说法，正确的是 ( )

A. 以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为√3

B. 与椭圆1422

=+y x 有相同的焦点

C. 与双曲线12

22

=-x y 有相同的渐近线

D. 过右焦点的弦长最小值为4

10．如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则( )

A. 直线BD 1⊥平面A 1C 1D

B. 三棱锥P ?A 1C 1D 的体积为定值

C. 异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是]2

,4[

ππ D. 直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为

3

6 11．设B A ,是抛物线2

x y =上的两点，OA ⊥OB ，O 是坐标原点，下列结论成立的是( )

A. 直线AB 过定点(1,0)

B. O 到直线AB 的距离不大于1

C. 线段AB 中点的轨迹为抛物线

D. 2≥OB OA

12． 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在

平面直角坐标系xoy 中,把到定点),0,(1a F -)0,(2a F 距离之积等于)0(2

>a a 的点的

轨迹称为双纽线C .已知点),(00y x P 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有( )

A. 双纽线C 关于x 轴对称

B. 2

20a

y a ≤≤-

C. 双纽线C 上满足21PF PF =的点P 有两个

D. PO 的最大值为a 2

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．曲线3

)(x x f =在点))1(,1(f 处的切线方程为

14.已知直线02:=++y ax l 与圆

0222:2

2=---+y x y x C 相交于B A ,两点，若,120?=∠ACB ，则=a

15．过点)0,2(-P 的直线l 与抛物线x y C 8:2=相交于B A ,两点，若B A ,在第一象

限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为

16．双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左右焦点分别为,1F 2F ，过1F 作直线l 与双

曲线有唯一交点P ，若54

sin 21=

∠PF F ，则该双曲线的离心率为

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 的公差为)0(≠d d ，前n 项和为n S ，且满足 （从①)1(51010+=a S ﹔②621,,a a a 成等比数列；③355=S ，这三个条件中任选两．个．

补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）． （1）求n a ﹔ （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：.3

1

18．（本小题满分14分）

已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴,点),2(m Q 在抛物线E 上， 且.3=QF

⑴求抛物线E 的方程；

⑵过点)0,2(P 且斜率为)0(>k k 的直线l 与抛物线E 交于B A ,两点，且线段

AB 的中点横坐标为4，求ABO ?的面积.

F

D

E

C

B

A

19．（本小题满分14分）

如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60?，

DE CF ∥，,2CD DE AD ⊥=，3DE DC ==，6CF =．

（1）求证：BF ∥平面ADE ；

（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为1

4

．

20.（本小题满分14分）

汕头市有一块如图所示的海岸，OA ，OB 为岸边，岸边形成120°角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：

方案l ：在岸边OA ，OB 上分别取点E ，F ，用长度为1km 的围网依托岸边围成三角形EOF （EF 为围网）.

方案2：在∠AOB 的平分线上取一点P ，再从岸边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得∠MPO =∠NPO =θ，用长度为1km 的围网依托岸边围成四边形PMON （PM ，PN 为围网）. 记三角形EOF 的面积为S 1，四边形PMON 的面积为S 2.请分别计算S 1，S 2的最大值，并比较哪个方案好.

21．（本小题满分16分）

平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b

+=＞＞ 3

，抛

物线E ：2

2x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点

A ，B,线段A

B 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M.

（i ）求证：点M 在定直线上;

（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ?的面积为1S ，PDM ?的面积为2S ，求1

2

S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

数学参考答案

13．23-=x y ； 14. 34

-；

15．32

2； 16．17

2或 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（1）①由，得

，即

；

②由

，

，

成等比数列，得

，

，即

﹔

③由，得，即； （每个条件转

化得2分）

选择①②、①③、②③条件组合，均得11,3

a d ==

………………5分

故

13(1)32

n a n n =+-=- ………………6分

（2）111

(32)(31)

n n n b a a n n +=

=

-+ ………………7分

111

()

33231n n =--+

………………9分 123n n

T b b b b ∴=++++

11111111[(1)()()()]34477103231

n n =-+-+-++--+ 11(1)331

n =-+ ………………11分 *n N ∈ 1

031

n ∴>+

1

3

n T ∴< ………………12分

18.解:（1）依题意设抛物线E 的方程为22(0)y px p => ……………1分

则准线方程为2

p

x =- 由 3QF =，依定义得 232

p

+= ……………3分

解得2p =

∴抛物线E 的方程为24y x = ……………5分

（2）设直线l 的方程为：2x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ……………6分

由224x ty y x

=+??=?消x 得2

480y ty --= ……………7分

则12124,8y y t y y +==- ……………8分 线段AB 的中点横坐标为4 ∴

12

42

x x += ……………9分 即128x x += ∴12228ty ty +++= 即12()4t y y += ………10分 可得244t = ∴21t = …………11分

12y y -=== …………13分

故ABO ?

的面积为1212OP y y -=1

22??=…………14分 19．解：（1）因为四边形A

B C D 为矩形， 所以B C A D ∥. 因为A D ?平面A D E ，B C ?平面A D E ，

所以BC ∥平面A D E ．……………………………………………………2分 同理CF ∥平面A D E ．………………………………………………………3分

又因为B CC F C =，所以平面B C F ∥

平面A D E ．……………………4分 因为B F ?平面BCF ，所以B F ∥

平面A D E ．…………………………5分 （2）因为,C D A D C D D E ⊥⊥，

所以A D E ∠是二面角AC

DF --的平面角，即60A D E ∠=?．………6分 因为A DD E D =，所以C D ⊥平面A D E .

因为C D ?平面C D E F , 所以平面C D E F ⊥

平面A D E . 作A O D E ⊥于点O ，则A O ⊥平面C D E F . ……………8分

由2,3A D D E ==, 得1D O =，2E O =．

以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，O A 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O x y z -，则

()()

,3,1,0,0,1,0,(0,2,0),(3,5,0)C D E F --， (

O B O A A B O A D C =+=+=，……9分

设()30G t ，，，15

t -≤≤，

则()323B E =--，，，()

03B G t =-，， 设平面BEG 的法向量为() x y z =，，m ，

则由0,0,m BE m BG ?=?=?得3230,30,

x y ty z ?-+-=??-=??，取2,

3,3,

x t y z t ?=-?=??=? 得平面BEG 的一个法向量为()

2,3,3t t =-m

，……………………………11分 又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)=n

， 所以234413

c o s t

t t ?<=

=

-+，m n m n >m n ，…………………………12分 231

4

4413t

t t -+=，

解得1

2t =

或1322

t =-（舍去），………………………………………13分 此时

14

C G C F =

，得1342C G C F ==. 即所求线段C F 上的点G 满足3

2

C G =．………………………………14分 20.（本小题满分14分）

解：方案1：设，

在中，由余弦定理得：

┄┄1分

即

┄┄┄2分

（当且仅当时等号成立）┄3分

（当且仅当时等号成立）┄┄4分最大值为┄┄┄5分

方案2：在中，由正弦定理得：

即┄┄┄6分

┄┄┄7分

（当且仅当时等号成立）┄┄┄12分

最大值为┄┄┄13分

方案好┄┄┄14分

21．（本小题满分16分）