一次函数与不等式图像问题
晚自习作业
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一．选择题（共 6 小题）
1．（ 2015?徐州）若函数y=kx ﹣ b 的图象如图所示，则关于x 的不等式k（ x﹣ 3）﹣ b＞ 0 的解集为（）
1 题
2 题
3 题
A ． x＜2
B ． x＞ 2 C． x＜ 5 D ． x＞ 5
2．（ 2015?济南）如图，一次函数y1=x+b 与一次函数 y2=kx+4 的图象交于点P（ 1， 3），则关于 x 的不等式 x+b＞ kx+4 的解集是（）
A ． x＞﹣ 2
B ．x＞ 0
C ． x＞ 1
D ．x＜ 1
3．（ 2015?西宁）同一直角坐标系中，一次函数y1=k 1x+b 与正比例函数y2=k 2x 的图象如图所示，则满足y1≥y2的 x 取值范围是（）
A ． x≤﹣ 2
B ．x≥﹣ 2C． x＜﹣ 2 D ．x＞﹣ 2
4．（ 2015?辽阳）如图，直线y= ﹣ x+2与 y=ax+b （a≠0 且 a， b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于 x 的不等式﹣ x+2≥ax+b的解集为（）
4题5题6题
A ． x≥﹣ 1
B ．x≥3 C． x≤﹣ 1D． x≤3
5．（ 2015?镇江一模）如图，函数y=kx+b （ k≠0）的图象经过点B（ 2， 0），与函数 y=2x 的图象交于点 A ，则不等式0＜ kx+b ＜ 2x 的解集为（）
A ． x＞0
B ． 0＜ x＜ 1 C． 1＜ x＜ 2D． x＞ 2
6．（ 2015?历城区二模）如图，直线y= ﹣ x+m 与 y=x+3 的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣ x+m ＞x+3 ＞ 0 的取值范围为（）
A ． x＞﹣ 2
B ．x＜﹣ 2C．﹣ 3＜x＜﹣ 2D．﹣ 3＜ x＜﹣ 1
二．填空题（共 2 小题）
7．（ 2015?恩施州一模）如图，正比例函数y=2x 与一次函数y=kx+4 的图象交于点A（ m，2），则不等式2x＜ kx+4 的解集为．
8．（ 2014?鄂州）如图，直线y=kx+b 过 A （﹣ 1， 2）、 B （﹣ 2， 0）两点，则0≤kx+b ≤﹣2x 的解集为．
三．解答题（共 2 小题）
9．（ 2015 春 ?禅城区校级期末）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）当 x时，kx+b≥mx﹣n；
（2）不等式kx+b ＜0 的解集是；
（3）若直线 l1分别交 x 轴、 y 轴于点 M 、A ，直线 l2分别交 x 轴、 y 轴于点 B 、N，求点 M 的坐标和四边形 OMPN 的面积．
10．（ 2015?攀枝花）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10 元，售价 15 元；乙商品每件进价30 元，售价40 元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共 80 件，且恰好用去 1600 元，问购进甲、乙两种商品各多
少件？
（2）若该超市要使两种商品共80 件的购进费用不超过1640 元，且总利润（利润=售价﹣
进价）不少于 600 元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方
案．
2016 年 03 月 04 日 2B 青年的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 6 小题）
1．（ 2015?徐州）若函数y=kx ﹣ b 的图象如图所示，则关于x 的不等式k（ x﹣ 3）﹣ b＞ 0 的解集为（）
A ． x＜2
B ． x＞ 2 C． x＜ 5 D ． x＞ 5
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】压轴题．
【分析】根据函数图象知：一次函数过点（2， 0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，
可求出 k、b 的关系式；然后将k、 b 的关系式代入k（ x﹣3）﹣ b＞0 中进行求解即可．
【解答】解：∵一次函数y=kx ﹣ b 经过点（ 2， 0），
∴2k ﹣ b=0 ，b=2k ．
函数值 y 随 x 的增大而减小，则k＜ 0；
解关于 k（x﹣ 3）﹣ b＞ 0，
移项得： kx＞ 3k+b ，即 kx ＞ 5k；
两边同时除以k，因为 k＜ 0，因而解集是x＜ 5．
故选： C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
2．（ 2015?济南）如图，一次函数y1=x+b 与一次函数 y2=kx+4 的图象交于点P（ 1， 3），则关于 x 的不等式 x+b＞ kx+4 的解集是（）
A ． x＞﹣ 2
B ．x＞ 0
C ． x＞ 1
D ．x＜ 1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到当 x＞ 1 时，函数 y=x+b 的图象都在 y=kx+4 的图象上方，所以关于
x 的不等式 x+b＞ kx+4 的解集为 x＞1．
【解答】解：当 x＞1 时， x+b＞ kx+4 ，
即不等式x+b＞ kx+4 的解集为x＞ 1．
故选： C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．（ 2015?西宁）同一直角坐标系中，一次函数y1=k 1x+b 与正比例函数y2=k 2x 的图象如图所示，则满足y1≥y2的 x 取值范围是（）
A ． x≤﹣ 2
B ．x≥﹣ 2C． x＜﹣ 2 D ．x＞﹣ 2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到当x≤﹣ 2 时，直线 l1： y1=k 1x+b1都在直线 l 2： y2=k 2x 的上方，即 y1≥y2．
【解答】解：当 x≤﹣ 2 时，直线 l1： y1=k 1x+b1都在直线l2： y2=k 2x 的上方，即y1≥y2．
故选 A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定
直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了观察函数图象
的能力．
4．（ 2015?辽阳）如图，直线 y= ﹣ x+2与 y=ax+b （a≠0 且 a， b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于 x 的不等式﹣ x+2≥ax+b的解集为（）
A ． x≥﹣ 1
B ．x≥3 C． x≤﹣ 1D． x≤3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】函数 y= ﹣ x+2 与 y=ax+b （ a≠0 且 a， b 为常数）的交点坐标为（3，﹣ 1），求不等式﹣ x+2≥ax+b 的解集，就是看函数在什么范围内y=﹣ x+2 的图象对应的点在函数y=ax+b
的图象上面．
【解答】解：从图象得到，当x≤3 时， y= ﹣ x+2 的图象对应的点在函数y=ax+b 的图象上面，∴不等式﹣ x+2 ≥ax+b 的解集为x≤3．
故选 D．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题
关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
5．（ 2015?镇江一模）如图，函数y=kx+b （ k≠0）的图象经过点B（ 2， 0），与函数 y=2x 的图象交于点 A ，则不等式0＜ kx+b ＜ 2x 的解集为（）
A ． x＞0
B ． 0＜ x＜ 1 C． 1＜ x＜ 2D． x＞ 2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先利用正比例函数解析式确定 A 点坐标，然后观察函数图象得到，当1＜ x＜ 2 时，直线 y=2x 都在直线 y=kx+b 的上方，于是可得到不等式0＜kx+b ＜ 2x 的解集．
【解答】解：把 A（ x， 2）代入 y=2x 得 2x=2，解得 x=1，则 A 点坐标为（ 1， 2），
所以当 x＞1 时， 2x＞ kx+b ，
∵函数 y=kx+b （ k≠0）的图象经过点B（ 2， 0），
即不等式0＜ kx+b ＜2x 的解集为1＜ x＜2．
故选 C
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次
函数 y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定
直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（ 2015?历城区二模）如图，直线y= ﹣ x+m 与 y=x+3 的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣ x+m ＞x+3 ＞ 0 的取值范围为（）
A ． x＞﹣ 2
B ．x＜﹣ 2 C．﹣ 3＜x＜﹣ 2 D．﹣ 3＜ x＜﹣ 1 【考
点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】满足不等式﹣ x+m ＞ x+3＞ 0 就是直线 y=﹣ x+m 位于直线 y=x+3 的上方且位于 x 轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y= ﹣ x+m 与 y=x+3 的交点的横坐标为﹣2，
∴关于 x 的不等式﹣ x+m ＞ x+3 的解集为x＜﹣ 2，
∵y=x+3=0 时， x= ﹣ 3，
∴x+3 ＞ 0 的解集是x＞﹣ 3，
∴﹣ x+m ＞ x+3 ＞0 的解集是﹣ 3＜ x＜﹣ 2，
故选： C
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等
式﹣ x+m ＞ x+3 ＞0 就是直线 y= ﹣ x+m 位于直线 y=x+3 的上方且位于 x 轴的上方的图象来分析．二．填空题（共 2 小题）
7．（ 2015?恩施州一模）如图，正比例函数 y=2x 与一次函数 y=kx+4 的图象交于点 A（ m，2），则不等式 2x＜ kx+4 的解集为 x＜ 1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先利用正比例函数解析式确定 A 点坐标，然后观察函数图象得到，当x＜1 时，直线 y=2x 都在直线y=kx+4 的下方，于是可得到不等式2x＜kx+4 的解集．
【解答】解：把 A（ m， 2）代入 y=2x 得 2m=2 ，解得 m=1 ，则 A 点坐标为（ 1，2），
所以当 x＜1 时， 2x＜ kx+4 ，
即不等式2x＜ kx+4 的解集为x＜ 1．
故答案为x＜ 1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定
直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．（ 2014?鄂州）如图，直线 y=kx+b 过 A （﹣ 1， 2）、 B （﹣ 2， 0）两点，则 0≤kx+b ≤﹣2x的解集为﹣ 2≤x≤﹣1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】数形结合．
【分析】先确定直线OA 的解析式为y= ﹣ 2x，然后观察函数图象得到当﹣2≤x≤﹣1 时，y=kx+b 的图象在x 轴上方且在直线y= ﹣ 2x 的下方．
【解答】解：直线 OA 的解析式为y= ﹣ 2x，
当﹣ 2≤x≤﹣1 时， 0≤kx+b ≤﹣2x ．
故答案为：﹣ 2≤x≤﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三．解答题（共 3 小题）
9．（ 2015 春 ?禅城区校级期末）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）当 x≤1时，kx+b≥mx﹣n；
（2）不等式kx+b ＜0 的解集是x＞ 3；
（3）交点 P 的坐标（ 1， 1）是一元二次方程组：的解；
（4）若直线 l1分别交 x 轴、 y 轴于点 M 、A ，直线 l2分别交 x 轴、 y 轴于点 B 、N，求点 M 的坐标和四边形 OMPN 的面积．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与二元一次方程（组）；两条直线相交或平
行问题．
【分析】（ 1）根据函数图象，当x≤1 时，直线y=kx+b 没有在直线y=mx+n 的下方，即
kx+b ≥mx+n ；
（2）观察函数图象，写出直线y=kx+b 在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可；
（3）利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答；
（4）先利用待定系数法确定直线l1和 l 2的解析式，再根据坐标轴上点的坐标特征确定M 点和N 点坐标，然后利用四边形 OMPN 的面积 =S△ONB﹣S△PMB进行计
算．【解答】解：（ 1）当 x≤1 时， kx+b ≥mx ﹣ n；
（2）不等式 kx+b ＜0 的解集为 x＞ 3；
（3）交点 P 的坐标（ 1， 1）是一元二次方程组的解；
（4）把 A（ 0，﹣ 1）， P（ 1， 1）分别代入 y=mx ﹣ n 得，
解得，
所以直线l1的解析式为y=2x ﹣ 1，
当y=0 时， 2x﹣ 1=0 ，解得 x= ，
所以 M 点的坐标为（， 0）；
把 P（ 1， 1）、 B（3， 0）分别代入 y=kx+b 得，解得，
所以直线 l2的解析式为y=﹣ x+ ，
当 x=0 时， y= ﹣ x+ =，则 N 点坐标为（0，），
所以四边形 OMPN 的面积 =S△ONB﹣ S△PMB
= ×3× ﹣×（ 3﹣）×1
=1．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组、与一元一次不等式的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
10．（ 2015?攀枝花）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10 元，售价 15 元；乙商品每件进价30 元，售价40 元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共 80 件，且恰好用去 1600 元，问购进甲、乙两种商品各多
少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640 元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于 600 元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】（ 1）设该超市购进甲商品x 件，则购进乙商品（80﹣ x）件，根据恰好用去1600元，求出 x 的值，即可得到结果；
（2）设该超市购进甲商品x 件，乙商品（ 80﹣ x）件，根据两种商品共80 件的购进费用不超过 1640 元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于 600 元列出不等式组，求出不等式组
的解集确定出 x 的值，即可设计相应的进货方案，并找出使该超市利润最大的方案．
【解答】解：（ 1）设该超市购进甲商品x 件，则购进乙商品（80﹣ x）件，
根据题意得： 10x+30 （ 80﹣ x）=1600 ，
解得： x=40， 80﹣ x=40，
则购进甲、乙两种商品各40 件；
（2）设该超市购进甲商品x 件，乙商品（ 80﹣ x）件，
由题意得：，
解得： 38≤x≤40，
∵x 为非负整数，
∴x=38 ， 39， 40，相应地 y=42 ， 41， 40，
进而利润分别为5×38+10×42=190+420=610 ， 5×39+10×41=195+410=605 ，
5×40+10 ×40=200+400=600 ，
则该超市利润最大的方案是购进甲商品38 件，乙商品42 件．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，以及一元一次方程的应用，找出题中的等量关系及不等式关系是解本题的关键．
11．（ 2015?达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经
投标，购买 1 台平板电脑比购买 3 台学习机多600 元，购买 2 台平板电脑和 3 台学习机共需8400 元．
（1）求购买 1 台平板电脑和 1 台学习机各需多少元？
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100 台，要求购买的总费用不超过168000 元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的 1.7 倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】（ 1）设购买 1 台平板电脑和 1 台学习机各需x 元， y 元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x 与 y 的值，即可得到结果；
（2）设购买平板电脑x 台，学习机（ 100﹣ x）台，根据“购买的总费用不超过168000 元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的 1.7 倍”列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．
【解答】解：（ 1）设购买 1 台平板电脑和 1 台学习机各需x 元， y 元，
根据题意得：，
解得：，
则购买 1 台平板电脑和 1 台学习机各需3000 元， 800 元；
（2）设购买平板电脑x 台，学习机（ 100﹣ x）台，
根据题意得：，
解得： 37.03≤x≤40，
正整数 x 的值为 38， 39， 40，
当x=38 时， y=62 ； x=39 时， y=61 ； x=40 时， y=60，
方案 1：购买平板电脑 38 台，学习机 62 台，费用为 114000+49600=163600 （元）；方案
2：购买平板电脑 39 台，学习机 61 台，费用为 117000+48800=165800 （元）；
方案 3：购买平板电脑 40 台，学习机 60 台，费用为 120000+48000=168000 （元），则方
案 1 最省钱．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
一次函数与方程和不等式的关系
一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2
8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4
一次函数与一次不等式教案
11.3.2 一次函数与一次不等式 教学目标 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题； 学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题的思想； 经历不等式与函数关系问题的探究过程；学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。 教学重点 一次函数与一元一次不等式的关系的理解 教学难点 一次函数图象确定一元一次不等式的解集。 教学过程 I 提出问题，引入新课 通过上节课的学习，我们已经知道，“解一元一次方程0 = ax” +b 与“求当x为何值时，b =的值为0”是同一个问题，现在我们来 ax y+ 看看： （1）以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：0 x - 2> 4 ②当为何值时，函数4 y的值大于0？ =x 2- （2）你如何利用图象来说明②？ （3）“解不等式0 x”可以与怎样的一次函数问题是同一的？怎 - 2> 4
样在图象上加以说明？ II 1.根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式解集？并直接写出 （1 (对每一题都能写出四种情况（大于0，小于0，大于等于0，小于等于0），让学生在充分理解的基础和写出对应的x的取值范围，先小组内交流，然后反馈矫正。) 解： （1）（略） （2）由图象可以得出： 3 x；0 x； > +的解集是3 x-< < 3 x-> +的解集是3 x-≤ 3 ≥ x +的解集是3 x；0 ≤ 3 x-≥ +的解集是3 例2 P41例题 解法1： 分析：将不等式转化为一般形式，再画出对应的一次函数的图象，就是我们已会的求解了． 解法2：
分析： (1)如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢? (2)不等式两边都是一次函数的表达式，因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题． (3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢? (4)如何确定不等式的解集呢?
《一次函数与一元一次不等式》习题精选
《一次函数与一元一次不等式》习题精选 知识库 1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围． 2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 魔法师 例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4 | 分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方 或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方 解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3?的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3． 方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，?在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4?上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3． (1) (2) 演兵场 ☆我能选 》
1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（） A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤1 2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0?的解集是（） A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-2 3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（） A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0） ☆我能填 4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方． ： 5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2?的解集是________． 6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12?的解集是________． 7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x?轴的交点是__________． 8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3?的交点坐标是_________． ☆我能答 9．某单位需要用车，?准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，?观察图象，回答下列问题： （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算 （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同 < （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，?那么这个单位租哪家的车合算 10．在同一坐标系中画出一次函数y 1=-x+1与y 2 =2x-2的图象，并根据图象 回答下列问题： （1）写出直线y 1=-x+1与y 2 =2x-2的交点P的坐标． （2）直接写出：当x取何值时y 1>y 2 ；y 1 一元一次不等式与一次函数 1．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ） (5) A ．x＜ B ． x＜3C ． x＞ D ． x＞3 2．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ） A ．x＜﹣1B ． x＞﹣1C ． x＞1D ． x＜1 3．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（ ） A ．x＞1B ． x＞2C ． x＜1D ． x＜2 4．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ） A ．x＞1B ． x＜1C ． x＞﹣2D ． x＜﹣2 5．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（ ） A ．x＞0B ． x＞﹣3C ． x＞2D ． ﹣3＜x＜2 6．如图，函数y=kx和y=﹣x+3的图象相交于（a，2），则不等式kx＜﹣x+3的解集为（ ） A ．x＜ B ． x＞ C ． x＞2D ． x＜2 7．（如图，直线l是函数y=x+3的图象．若点P（x，y）满足x＜5，且y＞，则P点的坐标可能是（ ） (6) (8) A ．（4，7）B ． （3，﹣5）C ． （3，4）D ． （﹣2，1） 8．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ） A ．x＜5B ． x＞5C ． x＜﹣4D ． x＞﹣4 9．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）与（0，3），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ） (10) (11) A ．x＜2B ． x＞2C ． x＜3D ． x＞3 10．如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ． 3 二．填空题（共8小题） 11．如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为 _________ ． 12．如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入＞成本）时，销售量必须 _________ ． 精心整理 一次函数与一元一次不等式训练题及答案 一、选择题（共10 小题；共30 分） 1.如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是 A. B. C. D. 2.将一次函数的图象向上平移个单位，平移后，若，则的取值范围是?() A. B.4 C. D. 3.如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是 A. B. C. D.或 4.一次函数的图象如图所示，则方程的解为?() A. B. C. D. 5.如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是?()． A. B. C. D. 6.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解 集是 ?() A. B. C. D. 7.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示）， 则所解的二元一次方程组是 ?()． A. B. C. D. 8.已知函数，，的图象交于一点，则值为?() A. B. C. D. 精心整理 A. B. C. D. 10.已知关于的一次函数在上的函数值总是正的，则的取值范围是 A. B. C. D.以上答案都不对 二、填空题（共 5 小题；共15 分） 11.如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是?． 12.一次函数与的图象如图，则的解集是?． 13.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是?． 14.方程组的解是则直线和的交点坐标是?． 15.观察函数的图象，根据图所提供的信息填空： （ 1）当?时，； （ 2）当?时，； （ 3）当?时，； （ 4）当?时，． 三、解答题（共 5 小题；共55 分） 16.如图，函数和的图象相交于点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 17.已知一次函数的图象过点，，求函数表达式并画出它的图象，再利用图象求： （ 1）当为何值时，，，； （ 2）当时，的取值范围； （ 3）当时，的取值范围． 18.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地 的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了 ? ； （2）求线段对应的函数解析式； （3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 19.如图，直线经过点，． （ 1）求直线的解析式； （ 2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （ 3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 20.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运 动． （ 1）求直线的解析式． （ 2）求的面积． 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法 数学是科学的大门和钥匙--培根 数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 一次函数与一元一次不等式（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集?y ax b =+的函数值大于y cx d =+的 函数值时的自变量x 取值范围?直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ） A ．x ＞－3 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜ 3 【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集. 导学案：一元一次不等式与一次函数的关系学校____________ 班级____________ 姓名____________ 【学习目标】 1、一元一次不等式与一次函数的关系。 2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。 3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。 【学习重点】 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。 【学习难点】 根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。 【学习过程】 一、复习导学 前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说： “一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题， 那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？ 如：下面两个问题是同一问题吗？ （1）解不等式：2x-4＜0 （2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？ 今天我们就来探究类似这样的问题？ 二、自主探究、合作交流 1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如y=2x－5为一次函数． 在一次函数y=2x－5中， 当y=0时，有方程2x－5=0； 当y＞0时，有不等式2x－5＞0； 当y＜0时，有不等式2x－5＜0． 由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________． 2．做一做： 作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题． （1）x取哪些值时，2x－5=0？ （2）x取哪些值时，2x－5＞0？ （3）x取哪些值时，2x－5＜0？ （4）x取哪些值时，2x－5＞1？ 请回答： （1） （2） 一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________． 一次函数与一元一次不等式（提高） 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范 围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度 看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线 在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐 标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点（2，0），则关于的不等式＞0的解集为（） A．＜－1 B．＞－1 C．＞1 D．＜1 【答案】A； 【解析】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，∴＞0，＜0，把（2，0）代入解析式得：0＝2＋， 解得：＝－2，∵＞0， ∴， ∴－1＜， ∴＜－1， 【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出、的正负，并正确地解不等式是解此题的关键． 举一反三： 【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不 等式＋3≥0的解集是（） A．≥0 B．≤0 C．≥2 D．≤2 【答案】A； 提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点 为B（0，－3），即当＝0时，＝－3，所以当≥0时，函数值≥－3． 2、（2015?武汉模拟）已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9． （1）求这个一次函数解析式； （2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集． 【思路点拨】（1）把两组对应值分别代入y=kx+b得到关于k、b的方法组，然后解方程组求出k和b，从而可确定一次函数解析式；（2）解一元一次不等式2x﹣1≤7即可． 【答案与解析】 解：（1）根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为y=2x﹣1； （2）解2x﹣1≤7得x≤4． 【总结升华】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 举一反三： 【变式】（2015春?成武县期末）如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，（1）求直线y=kx+b的表达式； 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立 及能成立问题练习 一、选择题 1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ? ?? ??－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A.??????x ? ??x ＜12 B.?????? x ? ??0＜x ＜12 C.?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12 D.?????? x ???－12 ≤x ≤0或x ≥12 解析 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12. 答案 C 2.若不等式2x ln x ≥－x 2 ＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.(－∞，4] C.(0，＋∞) D.[4，＋∞) 解析 条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3 x 恒成立. 设f (x )＝2ln x ＋x ＋3 x ， 则f ′(x )＝（x ＋3）（x －1） x 2 (x ＞0). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4.所以a ≤4. 答案 B 3.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －12 x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案 D 4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时， xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析 令F (x )＝ f （x ） x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2 ，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F (x )＝f （x ） x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝ f （x ） x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A. 答案 A 5.(2016·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 解析 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝ f （x ） e x ，则F ′(x )＝ f ′（x ）－f （x ） e x ＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减. 又f (x )＜e x 等价于f （x ） e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0. 答案 B 二、填空题 6.已知不等式e x －x ＞ax 的解集为P ，若[0，2]?P ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意知不等式e x －x ＞ax 在x ∈[0，2]上恒成立. 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立. 当x ∈(0，2]时，原不等式即a ＜e x x －1，令g (x )＝e x x －1，则g ′(x )＝e x （x －1）x 2 ，当0＜x 一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持年级八年级课题一次函数与一元一次不等式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系 2．学会用图象求解不等式 3．进一步理解数形结合思想 过程 方法 1．培养提高从不同方向思考问题的能力 2．经历不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待问题情感 态度 积极参与活动，形成合作交流的意识及独立思考的习惯 教学重点1．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系。2．掌握用图象求解不等式的方法 教学难点图象法求解不等式中自变量取值范围的确定 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入 问题1：解不等式5x+6>3x+10 问题2：当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0 思考：以上两个问题是同一个问题吗？ 是否能用一次函数图象说明以上问题呢？ 二、自主探究 1．画出函数y=2x-4的图象，能否解决问题2 2．由以上问题，你能否说出一次函数与一次不等式之间有何关系？ 三、课堂训练 例1：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10 学生独立完成问题1 中的不等式可转化为 2x-4>0解得x>2 问题2可转化为 2x-4>0，x>2时函数 y=2x-4的值大于0， 因此为同一的问题 学生尝试画图 教师引导学生观察图 象，可以看出当x>2 时，直线上的点全在 x轴的上方，即x>2 时y=2x-4>0，由此可 发现，通过函数图象 可以求不等式的解集 小组内讨论，并发表 意见 师生共同归纳 由于任何一元一次不 等式都可转化为 ax+b>0或axkb<0(a， b为常数，a≠0)的形 式，所以解一元一次 不等式可看成：当一 次函数值大于（或小 于）0时，求自变量 相应的取值范围 目的是让学生向 一次函数方向联 想 让学生明确解决 问题应从变化与 对应的观点考虑 通过这一活动动 一次函数与不等式应用题 【例题经典】 例1（2006年武汉市）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1 甲乙 矿石（吨）10 4 煤（吨） 4 8 煤的价格为400元/400元，?甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，?乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完 ．．．．，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元． （1）写出m与x之间的关系式； （2）写出y与x的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？?最大利润是多少？ 【点评】主要考查的是一次函数与不等式的实际应用． 例2（2006年黄冈市）我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿花市场销售单价y（元）?与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、?种植技术有关外，某种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示． （1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t>0）?的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t>0）?的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克．） 【点评】主要考查同学们从两个图像中获取信息的能力． 【考点精练】 1．（2006年广安市）某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．?甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、?乙两种的费用分别为y1和y2元． （1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中画出y1，y2的图像； （3）根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？ 2．为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．?若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；?父母是如何奖励小强家务劳动的？ （2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式； （3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 导学案：一元一次不等式与一次函数的关系 学校____________ 班级____________ 姓名____________ 【学习目标】 1、一元一次不等式与一次函数的关系。 2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。 3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。 【学习重点】 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。 【学习难点】 根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。 【学习过程】 一、复习导学 前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标，也就是说： “一元一次方程ax +b =0”与“求当x 为何值时，y =ax +b 的值为0”是同一问题， 那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？ 如：下面两个问题是同一问题吗？ （1）解不等式：2x -4＜0 （2）当x 为何值时，函数y =2x -4的值小于0？ 今天我们就来探究类似这样的问题？ 二、自主探究、合作交流 1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如y =2x －5为一次函数． -4 2y x 在一次函数y=2x－5中， 当y=0时，有方程2x－5=0； 当y＞0时，有不等式2x－5＞0； 当y＜0时，有不等式2x－5＜0． 由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________．2．做一做： 作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题． （1）x取哪些值时，2x－5=0？ （2）x取哪些值时，2x－5＞0？ （3）x取哪些值时，2x－5＜0？ （4）x取哪些值时，2x－5＞1？ 请回答： （1） （2） （3） 学年论文 题目：浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明 摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式. 关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明 函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。 1. 凹凸函数的定义与性质 1.1 定义 设()f x 是在区间I 上有定义的连续的函数，如果对I 中的任意两点1x 与2x 和非负实数 1q 与2q ，且 121q q +=，成立不等式 11221122()()()f q x q x q f x q f x +≤+. （1） 则称函数()f x 区间I 上的凸函数；反之若有 11221122()()()f q x q x q f x q f x +≥+. （2） 则称函数()f x 区间I 上的凹函数。 注：1。 若将（1）式中的“≤”改为“<”,则称函数()f x 区间I 上的严格凸函数； 2。若将（2）式中的“≥”改为“>”,则称函数()f x 区间I 上的严格凹函数. 显然，若()f x 是凸（凹）的，则()f x -是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了. 1.2 几何图像上的直观反映 （图1.2a ） （图1.2b ） 图1.2a 就是凸函数的几何形状；图1.2b 是凹函数的几何形状. 1.3 性质 性质1 ：若()f x 为凸函数，则有： 1212()()()22 x x f x f x f ++≤ . （3） 若()f x 为凹函数，则有： 1212()() ( )22 x x f x f x f ++≥. （4） 很显然，我们分别在（1），（2）式中令121 2 q q ==，就可得到上述性质。 性质2：若()f x 为凸函数，则如下不等式成立 1 1 ()()n n i i i i i i f q x q f x ==≤∑∑ （5） 此不等式被称为詹森不等式。 依照凸函数定义[参看（1）式]，显然（5）式是（1）的更一般情形，我们用数学归纳法即可证明，由于现行的数学分析教材中都有其（5）式的证明，在此省略证明。 1.4 凹凸函数的判定定理 引理：()f x 为区间I 上的凸函数的充要条件是：对于123,,x x x I ?∈，若123x x x <<，总有 21322132 ()() f x x f x x x x x x --≤--. （6） 此引理在书目[1]中有详细的证明，在此不予重复。 定理1：设()f x 是区间I 上的可导函数，()f x 为凸函数的充要条件是：对于12,x x I ?∈ ，若12x x ≤，有 12()()f x f x ''≤. 证明：必要性 假定()f x 是凸的，对于12,x x I ?∈，设12x x x <<，由（6）式得：一元一次不等式与一次函数习题精选(含答案)
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